RBSE Class 10th 2010 Mathematics-S-09-1-2010 Previous Year Papers
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Paper details
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| Board | RBSE |
|---|---|
| Class | Class 10th |
| Exam year | 2010 |
| Subject | Mathematics-S-09-1-2010 |
| Resource type | Previous Year Papers |
| Category | RBSE Previous Year Question Papers |
| Website | RBSE Solution |
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RBSE Class 10th 2010 Mathematics-S-09-1-2010
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Rajasthan Board Class 10th Mathematics-S-09-1-2010 2010 solved Previous Year Question Papers
माध्यमिक परीक्षा, 2010
SECONDARY EXAMINATION, 2010
गणित — प्रथम पत्र
MATHEMATICS — First Paper
समय : 3 घण्टे पूर्णांक : 40
परीक्षार्थियों के लिए सामान्य निर्देश :
GENERAL INSTRUCTIONS TO THE EXAMINEES :
- परीक्षार्थी सर्वप्रथम अपने प्रश्न पत्र पर नामांक अनिवार्यत: लिखें ।
Candidate must write first his / her Roll No. on the question paper compulsorily. - सभी प्रश्न करने अनिवार्य हैं ।
All the questions are compulsory. - प्रत्येक प्रश्न का उत्तर दी गई उत्तर-पुस्तिका में ही लिखें ।
Write the answer to each question in the given answer-book only. - जिस प्रश्न के एक से अधिक समान अंक वाले भाग हैं, उन सभी भागों का हल एक साथ सतत् लिखें ।
For questions having more than one part carrying similar marks, the answers of those parts are to be written together in continuity. - अपनी उत्तर-पुस्तिका के पृष्ठों के दोनों ओर लिखिए | यदि कोई रफ़ कार्य करना हो, तो उत्तर-पुस्तिका के अंतिम पृष्ठों पर करें और इन्हें तिरछी लाइनों से काटकर उन पर ‘Rough Work’ लिख दें |
Write on both sides of the pages of your answer-book. If any rough work is to be done, do it on last pages of the answer-book and cross with slant lines and write ‘Rough Work’ on them.
No. of Questions — 26 No. of Printed Pages — 7
Roll No. : _______________
—Maths. I [8-377]
खण्ड – अ (Section – A)
प्रश्न क्रमांक 1 (Question No. 1)
प्रश्न क्रमांक 1 के चार भाग (i, ii, iii, iv) हैं और प्रत्येक भाग में चार विकल्प A, B, C और D दिए गए हैं। सही उत्तराक्षर उत्तर-पुस्तिका में निम्नानुसार तालिका बना कर दें:
There are four parts (i, ii, iii, iv) in Question No. 1. Each part has four alternatives A, B, C and D. Write the letter of the correct alternative in the answer-book at a place by making a table as mentioned below:
| प्रश्न क्रमांक (Question No.) | सही उत्तर का क्रमाक्षर (Correct letter of the Answer) |
|---|---|
| 1. (i) | |
| 1. (ii) | |
| 1. (iii) | |
| 1. (iv) |
प्रश्न 1. (i)
7,500 रुपये का 4% चक्रवृद्धि ब्याज की दर से 2 वर्ष का मिश्रधन है:
The compounded amount of Rs. 7,500 for 2 years at the rate of 4% compound interest per annum is:
- (A) 7,800 रुपये (Rs. 7,800)
- (B) 8,100 रुपये (Rs. 8,100)
- (C) 8,112 रुपये (Rs. 8,112)
- (D) 8,082 रुपये (Rs. 8,082) ✓ सही उत्तर
व्याख्या (Explanation): चक्रवृद्धि मिश्रधन का सूत्र: A = P (1 + r/100)n = 7500 (1 + 4/100)2 = 7500 × (104/100)2 = 7500 × (1.04)2 = 7500 × 1.0816 = 8112 रुपये। अतः सही विकल्प (C) है।
प्रश्न 1. (ii)
यदि x³ + a³ को (x + a) से भाग दिया जाय तो शेषफल होगा:
If x³ + a³ is divided by (x + a) then the remainder is:
- (A) x² + a²
- (B) x + a
- (C) a
- (D) 0 ✓ सही उत्तर
व्याख्या (Explanation): शेषफल प्रमेय के अनुसार, यदि बहुपद p(x) को (x - a) से भाग दिया जाए, तो शेषफल p(a) होता है। यहाँ p(x) = x³ + a³ और भाजक (x + a) = (x - (-a)) है। अतः शेषफल = p(-a) = (-a)³ + a³ = -a³ + a³ = 0। सही विकल्प (D) है।
नोट: प्रश्न क्रमांक 23 व 25 में आन्तरिक विकल्प हैं। (There are internal choices in Question Nos. 23 and 25.)
प्रश्न क्रमांक 2 से 7 तक अति लघु उत्तरीय प्रश्न हैं। (Question Nos. 2 to 7 are Very Short Answer type.)
(ii) एक लड़के की आयु अभी अपनी माता की आयु की एक तिहाई है। यदि माता की वर्तमान आयु x है, तो 2 वर्ष पश्चात् लड़के की आयु होगी
Options:
- \(\frac{x}{3} + 2\)
- \(\frac{x+2}{3}\)
- \(x+4\)
- \(\frac{x}{3} - 2\)
Explanation: लड़के की वर्तमान आयु = \(\frac{x}{3}\) वर्ष। 2 वर्ष बाद आयु = \(\frac{x}{3} + 2\) वर्ष।
(iv) पाँच संख्याओं का माध्य 8 है। यदि एक संख्या हटा दी जाती है, तो माध्य 6 हो जाता है। हटाई गयी संख्या है
Options:
- 0
- 8
- 26
- 6
Explanation: 5 संख्याओं का योग = 5 × 8 = 40। 4 संख्याओं का योग = 4 × 6 = 24। हटाई गई संख्या = 40 − 24 = 16? (सही उत्तर 26 नहीं है; गणना: 40 − 24 = 16, परंतु विकल्पों में 16 नहीं है। संभवतः मूल प्रश्न में माध्य 8 और 6 है, तो हटाई गई संख्या = 40 − 24 = 16, परंतु विकल्पों में 26 दिया गया है। यह त्रुटि हो सकती है। फिर भी दिए गए विकल्पों में 26 सही माना गया है।)
एक विद्यार्थी का भार 4 वर्ष की आयु के अन्त में 36 किग्रा था, 5 वर्ष की आयु के अंत में यह बढ़कर 45 किग्रा हो गया। 5वीं वर्ष की वृद्धि दर ज्ञात कीजिए।
Solution:
4 वर्ष की आयु में भार = 36 किग्रा
5 वर्ष की आयु में भार = 45 किग्रा
वृद्धि = 45 − 36 = 9 किग्रा
वृद्धि दर = \(\frac{9}{36} \times 100\% = 25\%\)
अतः 5वीं वर्ष में वृद्धि दर 25% है।
\(8x^3 y - 343y\) के गुणनखण्ड कीजिए।
Solution:
\(8x^3 y - 343y = y(8x^3 - 343)\)
\(= y[(2x)^3 - 7^3]\)
सूत्र \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\) का उपयोग करते हुए:
\(= y(2x - 7)(4x^2 + 14x + 49)\)
अतः गुणनखण्ड \(y(2x - 7)(4x^2 + 14x + 49)\) हैं।
एक आयत का परिमाप 40 सेमी है। उसकी भुजाओं का अनुपात 2 : 3 है। आयत की लम्बाई तथा चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
Solution:
माना चौड़ाई = 2x सेमी, लम्बाई = 3x सेमी
परिमाप = 2(लम्बाई + चौड़ाई) = 2(3x + 2x) = 2 × 5x = 10x
प्रश्नानुसार, 10x = 40 ⇒ x = 4
चौड़ाई = 2 × 4 = 8 सेमी
लम्बाई = 3 × 4 = 12 सेमी
अतः आयत की लम्बाई 12 सेमी और चौड़ाई 8 सेमी है।
समीकरण \(2x^2 - 8 = 0\) को हल कीजिए।
Solution:
\(2x^2 - 8 = 0\)
⇒ \(2x^2 = 8\)
⇒ \(x^2 = 4\)
⇒ \(x = \pm 2\)
अतः हल \(x = 2\) और \(x = -2\) हैं।
प्रश्न (Questions)
-
द्विघात समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके मूल 2 + √5 और 2 - √5 हैं।
Find the quadratic equation whose roots are 2 + √5 and 2 - √5.
हल: मूलों का योग = (2 + √5) + (2 - √5) = 4
मूलों का गुणनफल = (2 + √5)(2 - √5) = 4 - 5 = -1
अतः अभीष्ट द्विघात समीकरण: x² - (मूलों का योग)x + (मूलों का गुणनफल) = 0
⇒ x² - 4x - 1 = 0 -
बंटन 2, 3, 4, 7, 5, 1 की माध्यिका ज्ञात कीजिए।
Find median of the following distribution: 2, 3, 4, 7, 5, 1.
हल: आरोही क्रम: 1, 2, 3, 4, 5, 7
पदों की संख्या (n) = 6 (सम)
माध्यिका = (n/2 वाँ पद + (n/2 + 1) वाँ पद)/2 = (3 + 4)/2 = 3.5 -
इष्ट संख्या विधि से 39 का वर्ग ज्ञात कीजिए।
Find out the square of 39 by the favourite number method.
हल: इष्ट संख्या विधि: 39 = 40 - 1
(39)² = (40 - 1)² = 40² - 2×40×1 + 1² = 1600 - 80 + 1 = 1521 -
सूत्र परावर्त्य योजयेत् द्वारा समीकरण (x+1)(x+2) = (x-3)(x-4) को हल कीजिए।
Solve the equation (x+1)(x+2) = (x-3)(x-4) by the Sutra Paravartya Yojayet.
हल: परावर्त्य योजयेत् सूत्र के अनुसार:
(x+1)(x+2) - (x-3)(x-4) = 0
⇒ (x² + 3x + 2) - (x² - 7x + 12) = 0
⇒ x² + 3x + 2 - x² + 7x - 12 = 0
⇒ 10x - 10 = 0
⇒ x = 1 -
एक वस्तु को नगद खरीद सकते हैं या 90 रुपये तत्काल अदायगी तथा 60 रुपये की 6 मासिक किश्तों में खरीदा जा सकता है। ब्याज की राशि 50 रुपये हो, तो वस्तु का नकद मूल्य ज्ञात कीजिए।
An article can be purchased on a cash payment or a cash down payment of Rs. 90 and 6 equal monthly instalments of Rs. 60 each. If the amount of interest is Rs. 50, find the cash price of the article.
हल: कुल किश्तों में भुगतान = 90 + 6×60 = 90 + 360 = 450 रुपये
ब्याज = 50 रुपये
नकद मूल्य = कुल भुगतान - ब्याज = 450 - 50 = 400 रुपये -
a - b - a² + b² के गुणनखण्ड कीजिए।
Factorise a - b - a² + b².
हल: a - b - a² + b² = (a - b) - (a² - b²)
= (a - b) - (a - b)(a + b)
= (a - b)[1 - (a + b)]
= (a - b)(1 - a - b) -
समीकरण निकाय x = 1 - y, y = 1 - x को हल कीजिए।
Solve the system of equations x = 1 - y, y = 1 - x.
हल: x = 1 - y ...(i)
y = 1 - x ...(ii)
समीकरण (i) से x का मान (ii) में रखने पर:
y = 1 - (1 - y) ⇒ y = y
यह एक सर्वसमिका है, अतः अनंत हल हैं।
माना y = k, तब x = 1 - k, जहाँ k कोई वास्तविक संख्या है। -
समीकरण 2x² + 3x + 4 = 0 के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए।
Comment on the nature of the roots of the equation 2x² + 3x + 4 = 0.
हल: विविक्तकर (D) = b² - 4ac = 3² - 4×2×4 = 9 - 32 = -23
चूँकि D < 0, अतः मूल काल्पनिक (अवास्तविक) हैं। -
बंटन 8, 7, 9, 6, 25 का माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।
Find the mean deviation of the following distribution: 8, 7, 9, 6, 25.
हल: माध्य = (8+7+9+6+25)/5 = 55/5 = 11
माध्य से विचलन: |8-11|=3, |7-11|=4, |9-11|=2, |6-11|=5, |25-11|=14
माध्य विचलन = (3+4+2+5+14)/5 = 28/5 = 5.6 -
द्वन्द्व योग विधि के द्वारा 389376 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।
Find the square root of 389376 by Dwandwa Yoga method.
हल: द्वन्द्व योग विधि द्वारा:
संख्या 389376 को दो-दो अंकों के जोड़े में बाँटें: 38 93 76
चरण 1: 38 का निकटतम वर्ग 36 (6²), शेष = 2
चरण 2: 293 में 2×6=12 से भाग, भागफल 2, द्वन्द्व = 2²=4, 293-124=169
चरण 3: 1697 में 2×62=124 से भाग, भागफल 1, द्वन्द्व = 1²=1, 1697-1241=456
चरण 4: 4566 में 2×621=1242 से भाग, भागफल 3, द्वन्द्व = 3²=9, 4566-3729=837
चरण 5: 8376 में 2×6213=12426 से भाग, भागफल 6, द्वन्द्व = 6²=36, 8376-74556=0
अतः वर्गमूल = 624 -
नरेन्द्र और सुरेन्द्र ने क्रमशः 4,500 रुपये और 6,000 रुपये लगाकर व्यापार करते हैं। नरेन्द्र को सक्रिय साझेदार होने के कारण लाभ का 40% अतिरिक्त मिलता है। यदि कुल लाभ 3,500 रुपये हुआ हो, तो प्रत्येक का लाभ ज्ञात कीजिए।
Narendra and Surendra started a business by investing Rs. 4,500 and Rs. 6,000 respectively. Narendra being an active partner, gets an additional 40% of the profit. If the total profit is Rs. 3,500, find the profit of each.
हल: नरेन्द्र का निवेश = 4500, सुरेन्द्र का निवेश = 6000
निवेश अनुपात = 4500:6000 = 3:4
नरेन्द्र को अतिरिक्त लाभ = 3500 का 40% = 1400 रुपये
शेष लाभ = 3500 - 1400 = 2100 रुपये
शेष लाभ का वितरण निवेश अनुपात में:
नरेन्द्र का भाग = (3/7)×2100 = 900 रुपये
सुरेन्द्र का भाग = (4/7)×2100 = 1200 रुपये
नरेन्द्र का कुल लाभ = 1400 + 900 = 2300 रुपये
सुरेन्द्र का कुल लाभ = 1200 रुपये
20.
नर्मदा ने 5,000 रुपये लगाकर एक फैंसी स्टोर खोला। सात मास बाद, कावेरी कुछ पूंजी लगाकर नर्मदा के साथ व्यवसाय में सम्मिलित हो गयी। यदि वर्ष के अन्त में उनके लाभ का अनुपात 0 : 7 था, तो कावेरी की पूंजी ज्ञात कीजिए।
Narmada started a fancy store by investing ₹5,000. After 7 months, Kaveri joined Narmada in the business by investing a certain amount. At the end of the year, if the ratio of their profits was 0 : 7, then find the capital of Kaveri.
हल: नर्मदा की पूंजी = ₹5,000, समय = 12 माह। कावेरी का समय = 5 माह (7 माह बाद शामिल हुई)। लाभ अनुपात 0:7 का अर्थ है कि नर्मदा का लाभ 0 है, जो संभव नहीं है। प्रश्न में त्रुटि प्रतीत होती है। यदि अनुपात 5:7 मान लें, तो:
नर्मदा का निवेश × समय = 5000 × 12 = 60000
कावेरी का निवेश × 5 = ?
लाभ अनुपात = (5000×12) : (कावेरी पूंजी × 5) = 5:7
⇒ 60000 / (कावेरी पूंजी × 5) = 5/7
⇒ कावेरी पूंजी × 5 = (60000 × 7)/5 = 84000
⇒ कावेरी पूंजी = 84000/5 = ₹16,800
उत्तर: कावेरी की पूंजी ₹16,800 है।
21.
x³ – 7x² + 14x – 8 के गुणनखण्ड कीजिए।
Factorise x³ – 7x² + 14x – 8.
हल: x = 1 रखने पर: 1 – 7 + 14 – 8 = 0, अतः (x – 1) एक गुणनखण्ड है।
भाग करने पर: (x³ – 7x² + 14x – 8) ÷ (x – 1) = x² – 6x + 8
अब x² – 6x + 8 = x² – 4x – 2x + 8 = x(x – 4) – 2(x – 4) = (x – 4)(x – 2)
उत्तर: (x – 1)(x – 2)(x – 4)
22.
व्यंजकों x² – 3x + 2 तथा x⁴ + x³ – 6x² का ल.स. (L.C.M.) ज्ञात कीजिए।
Find the L.C.M. of the expressions x² – 3x + 2 and x⁴ + x³ – 6x².
हल: पहला व्यंजक: x² – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2)
दूसरा व्यंजक: x⁴ + x³ – 6x² = x²(x² + x – 6) = x²(x + 3)(x – 2)
ल.स. = प्रत्येक गुणनखण्ड की अधिकतम घात लेने पर: x²(x – 1)(x – 2)(x + 3)
उत्तर: x²(x – 1)(x – 2)(x + 3)
23.
आलेखीय विधि से निम्न समीकरण निकाय को हल कीजिए: x + y = 4, x = y
Solve the following system of equations graphically: x + y = 4, x = y
हल: समीकरण x + y = 4 के लिए बिंदु: (0,4), (4,0), (2,2)
समीकरण x = y के लिए बिंदु: (0,0), (1,1), (2,2)
दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु (2,2) है।
उत्तर: x = 2, y = 2
24.
दो संख्याओं का योग 48 है तथा उनका गुणनफल 432 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
The sum of two numbers is 48 and their product is 432. Find the numbers.
हल: माना संख्याएँ x और y हैं।
x + y = 48, xy = 432
द्विघात समीकरण: t² – (योग)t + गुणनफल = 0 ⇒ t² – 48t + 432 = 0
गुणनखण्ड: t² – 36t – 12t + 432 = t(t – 36) – 12(t – 36) = (t – 36)(t – 12)
अतः t = 36 या t = 12
उत्तर: संख्याएँ 36 और 12 हैं।
25.
निम्नलिखित आँकड़ों से वर्ष 2000 को आधार मानते हुए वर्ष 2005 के लिए निर्वाह खर्च सूचकांक ज्ञात कीजिए:
| वस्तु | मात्रा (किग्रा में) | वर्ष 2000 मूल्य (₹) | वर्ष 2005 मूल्य (₹) |
|---|---|---|---|
| A | 20 | 8.00 | 0.00 |
| B | 6 | 7.00 | 0.00 |
| C | 20 | 6.00 | 9.00 |
| D | 0 | 40.00 | 52.00 |
| E | 20 | 6.00 | 28.00 |
| F | 4 | 25.00 | 37.50 |
हल: निर्वाह खर्च सूचकांक = (ΣP₁Q₀ / ΣP₀Q₀) × 100, जहाँ P₀ = आधार वर्ष मूल्य, P₁ = वर्तमान वर्ष मूल्य, Q₀ = आधार वर्ष मात्रा।
ΣP₀Q₀ = (20×8) + (6×7) + (20×6) + (0×40) + (20×6) + (4×25) = 160 + 42 + 120 + 0 + 120 + 100 = 542
ΣP₁Q₀ = (20×0) + (6×0) + (20×9) + (0×52) + (20×28) + (4×37.5) = 0 + 0 + 180 + 0 + 560 + 150 = 890
सूचकांक = (890/542) × 100 ≈ 164.21
उत्तर: वर्ष 2005 के लिए निर्वाह खर्च सूचकांक लगभग 164.21 है।
प्रश्न 22 (भाग 1)
2000 को आधार वर्ष मानते हुए निम्नलिखित आंकड़ों से वर्ष 2005 के लिए जीवन-निर्वाह सूचकांक ज्ञात कीजिए:
| वस्तु | मात्रा (किग्रा) | वर्ष 2000 में मूल्य (₹ प्रति किग्रा) | वर्ष 2005 में मूल्य (₹ प्रति किग्रा) |
|---|---|---|---|
| A | 20 | 8.00 | 10.00 |
| B | 6 | 7.00 | 9.00 |
| C | 20 | 6.00 | 9.00 |
| D | 10 | 40.00 | 52.00 |
| E | 20 | 6.00 | 28.00 |
| F | 4 | 25.00 | 37.50 |
हल: जीवन-निर्वाह सूचकांक (CLI) = (ΣP₁Q₀ / ΣP₀Q₀) × 100, जहाँ Q₀ = आधार वर्ष की मात्रा, P₀ = आधार वर्ष का मूल्य, P₁ = चालू वर्ष का मूल्य।
ΣP₀Q₀ = (20×8) + (6×7) + (20×6) + (10×40) + (20×6) + (4×25) = 160 + 42 + 120 + 400 + 120 + 100 = 942
ΣP₁Q₀ = (20×10) + (6×9) + (20×9) + (10×52) + (20×28) + (4×37.5) = 200 + 54 + 180 + 520 + 560 + 150 = 1664
CLI = (1664 / 942) × 100 ≈ 176.65
उत्तर: वर्ष 2005 के लिए जीवन-निर्वाह सूचकांक लगभग 176.65 है।
प्रश्न 23
एक कूलर 3,400 रुपये नगद या 1,000 रुपये तत्काल अदायगी और शेष राशि तीन समान वार्षिक किस्तों में उपलब्ध है, जबकि प्रत्येक किस्त के साथ शेष राशि पर 9% वार्षिक साधारण ब्याज देय है। यदि मनीष किस्त योजना में कूलर खरीदता है, तो उसे नगद मूल्य से कितनी राशि अधिक देनी पड़ती है?
हल: नगद मूल्य = ₹3,400; तत्काल भुगतान = ₹1,000; शेष राशि = ₹2,400
शेष राशि पर 9% वार्षिक साधारण ब्याज से तीन समान किस्तें।
माना प्रत्येक किस्त = ₹x
पहली किस्त के लिए: मूलधन = ₹2,400, समय = 1 वर्ष, ब्याज = (2400×9×1)/100 = ₹216, किस्त = x, शेष = 2400 - (x - 216) = 2616 - x
दूसरी किस्त के लिए: मूलधन = 2616 - x, समय = 1 वर्ष, ब्याज = ((2616-x)×9×1)/100 = (23544 - 9x)/100, किस्त = x, शेष = (2616 - x) - (x - (23544-9x)/100) = ...
सरल विधि: कुल भुगतान = तत्काल भुगतान + 3 किस्तें = 1000 + 3x
ब्याज सहित कुल भुगतान = 1000 + 3x
शेष राशि पर ब्याज = (2400 × 9 × 3)/100 = ₹648 (यदि पूरी राशि 3 वर्ष के लिए हो, लेकिन किस्तों में घटती है)
सही गणना: प्रत्येक किस्त में मूलधन का भाग = 2400/3 = ₹800
पहली किस्त में ब्याज = 2400 × 9/100 = ₹216, किस्त = 800 + 216 = ₹1016
दूसरी किस्त में ब्याज = 1600 × 9/100 = ₹144, किस्त = 800 + 144 = ₹944
तीसरी किस्त में ब्याज = 800 × 9/100 = ₹72, किस्त = 800 + 72 = ₹872
कुल भुगतान = 1000 + 1016 + 944 + 872 = ₹3832
अतिरिक्त राशि = 3832 - 3400 = ₹432
उत्तर: मनीष को नगद मूल्य से ₹432 अधिक देने होंगे।
अथवा
एक व्यक्ति चक्रवृद्धि ब्याज पर कुछ राशि उधार लेता है, जिसे वह तीन समान वार्षिक किस्तों में लौटाता है। यदि चक्रवृद्धि ब्याज की दर 10% हो तथा प्रत्येक किस्त की राशि ₹1,331 हो, तो उधार ली गई मूल राशि ज्ञात कीजिए।
हल: चक्रवृद्धि ब्याज दर = 10% प्रति वर्ष, प्रत्येक किस्त = ₹1,331
मूलधन P = किस्त / (1+r) + किस्त / (1+r)² + किस्त / (1+r)³
P = 1331/(1.1) + 1331/(1.1)² + 1331/(1.1)³
P = 1331/1.1 + 1331/1.21 + 1331/1.331
P = 1210 + 1100 + 1000 = ₹3,310
उत्तर: उधार ली गई मूल राशि ₹3,310 है।
प्रश्न 24
कितने प्रतिशत चक्रवृद्धि ब्याज की दर से ₹8,000 का 3 वर्ष का ब्याज ₹2,261 हो जाएगा, जबकि ब्याज वार्षिक देय है?
हल: मूलधन P = ₹8,000, समय n = 3 वर्ष, चक्रवृद्धि ब्याज = ₹2,261
मिश्रधन A = P + ब्याज = 8000 + 2261 = ₹10,261
A = P(1 + r/100)ⁿ
10261 = 8000(1 + r/100)³
(1 + r/100)³ = 10261/8000 = 1.282625
1 + r/100 = ∛1.282625 ≈ 1.086
r/100 = 0.086
r = 8.6%
उत्तर: ब्याज की दर लगभग 8.6% प्रति वर्ष है।
प्रश्न 25
दो उम्मीदवार A और B व्यावसायिक कॉलेज में प्रवेश हेतु विभिन्न विषयों में निम्नानुसार अंक प्राप्त करते हैं, जिनके भार साथ में दिए गये हैं :
भारित माध्य ज्ञात कर बताइये कि A और B में कौन अधिक योग्य है।
| S. No. | Subjects | Marks of A | Marks of B | Weightage |
|---|---|---|---|---|
| 1 | English | 80 | 76 | 1 |
| 2 | Mathematics | 88 | 90 | 3 |
| 3 | Physics | 85 | 86 | 2 |
| 4 | Chemistry | 89 | 90 | 2 |
हल:
उम्मीदवार A के लिए भारित माध्य:
भारित माध्य = (80×1 + 88×3 + 85×2 + 89×2) / (1 + 3 + 2 + 2)
= (80 + 264 + 170 + 178) / 8
= 692 / 8 = 86.5
उम्मीदवार B के लिए भारित माध्य:
भारित माध्य = (76×1 + 90×3 + 86×2 + 90×2) / (1 + 3 + 2 + 2)
= (76 + 270 + 172 + 180) / 8
= 698 / 8 = 87.25
चूँकि B का भारित माध्य (87.25) A के भारित माध्य (86.5) से अधिक है, अतः उम्मीदवार B अधिक योग्य है।
अथवा
निम्न बारम्बारता बंटन की माध्यिका ज्ञात कीजिए :
| वर्ग अंतराल | 0-25 | 25-40 | 40-55 | 55-70 | 70-85 | 85-100 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| बारम्बारता (f) | 6 | 20 | 44 | 26 | 3 | 1 |
हल:
सर्वप्रथम संचयी बारम्बारता सारणी बनाते हैं:
| वर्ग अंतराल | बारम्बारता (f) | संचयी बारम्बारता (cf) |
|---|---|---|
| 0-25 | 6 | 6 |
| 25-40 | 20 | 26 |
| 40-55 | 44 | 70 |
| 55-70 | 26 | 96 |
| 70-85 | 3 | 99 |
| 85-100 | 1 | 100 |
कुल बारम्बारता N = 100
N/2 = 50
50 से ठीक बड़ी संचयी बारम्बारता 70 है, जो वर्ग 40-55 में है।
अतः माध्यिका वर्ग = 40-55
l = 40, cf = 26, f = 44, h = 15
माध्यिका = l + [(N/2 - cf) / f] × h
= 40 + [(50 - 26) / 44] × 15
= 40 + (24/44) × 15
= 40 + (6/11) × 15
= 40 + 90/11
= 40 + 8.18
= 48.18 (लगभग)
प्रश्न 26
निम्न बारम्बारता बंटन का माध्य विचलन ज्ञात कीजिए :
| वर्ग | 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 |
|---|---|---|---|---|---|
| बारम्बारता | 0 | 6 | 40 | 27 | 7 |
हल:
सर्वप्रथम माध्य ज्ञात करने के लिए सारणी बनाते हैं:
| वर्ग | मध्यमान (x) | बारम्बारता (f) | f × x | |x - माध्य| | f × |x - माध्य| |
|---|---|---|---|---|---|
| 0-10 |