RBSE Class 10th 2010 Mathematics-S-09-2-2010 Previous Year Papers
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Paper details
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| Board | RBSE |
|---|---|
| Class | Class 10th |
| Exam year | 2010 |
| Subject | Mathematics-S-09-2-2010 |
| Resource type | Previous Year Papers |
| Category | RBSE Previous Year Question Papers |
| Website | RBSE Solution |
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RBSE Class 10th 2010 Mathematics-S-09-2-2010
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Rajasthan Board Class 10th Mathematics-S-09-2-2010 2010 solved Previous Year Question Papers
माध्यमिक परीक्षा, 2010
SECONDARY EXAMINATION, 2010
गणित – द्वितीय पत्र
(MATHEMATICS – Second Paper)
समय : 3 घण्टे पूर्णांक : 40
परीक्षार्थियों के लिए सामान्य निर्देश :
GENERAL INSTRUCTIONS TO THE EXAMINEES :
-
परीक्षार्थी सर्वप्रथम अपने प्रश्न पत्र पर नामांक अनिवार्यत: लिखें ।
Candidate must write first his / her Roll No. on the question paper compulsorily. -
सभी प्रश्न करने अनिवार्य हैं ।
All the questions are compulsory. -
प्रत्येक प्रश्न का उत्तर दी गई उत्तर-पुस्तिका में ही लिखें ।
Write the answer to each question in the given answer-book only. -
जिस प्रश्न के एक से अधिक समान अंक वाले भाग हैं, उन सभी भागों का हल एक साथ सतत् लिखें ।
For questions having more than one part carrying similar marks, the answers of those parts are to be written together in continuity. -
अपनी उत्तर-पुस्तिका के पृष्ठों के दोनों ओर लिखिए । यदि कोई रफ़ कार्य करना हो, तो उत्तर-पुस्तिका के अंतिम पृष्ठों पर करें और इन्हें तिरछी लाइनों से काटकर उन पर ‘रफ़ कार्य' लिख दें ।
Write on both sides of the pages of your answer-book. If any rough work is to be done, do it on last pages of the answer-book and cross with slant lines and write ‘Rough Work’ on them.
No. of Questions — 26 S—09—2—Maths. II
No. of Printed Pages — 1
S—09—2—Maths. II [ Turn over
प्रश्न क्रमांक 6 और 7 के निर्देश
प्रश्न क्रमांक 25 व 26 में आन्तरिक विकल्प हैं ।
There are internal choices in Question Nos. 25 and 26.
प्रश्न क्रमांक 2 से 7 तक अति लघूत्तरात्मक प्रश्न हैं ।
Question Nos. 2 to 7 are Very Short Answer type.
प्रश्न क्रमांक 1 के निर्देश
प्रश्न क्रमांक 1 के चार भाग (i, ii, iii, iv) हैं और प्रत्येक भाग में चार विकल्प A, B, C और D दिए गए हैं । सही उत्तराक्षर उत्तर-पुस्तिका में निम्नानुसार तालिका बना कर दें :
There are four parts (i, ii, iii, iv) in Question No. 1. Each part has four alternatives A, B, C and D. Write the letter of the correct alternative in the answer-book at a place by making a table as mentioned below :
| प्रश्न क्रमांक Question No. |
सही उत्तर का क्रमाक्षर Correct letter of the Answer |
|---|---|
| 1. (i) | |
| 1. (ii) | |
| 1. (iii) | |
| 1. (iv) |
प्रश्न 1. (i)
समान्तर चतुर्भुज ABCD में ∠A = 70° हो, तो ∠B का मान है :
In a parallelogram ABCD, ∠A = 70°, then the value of ∠B is :
- (A) 20°
- (B) 70°
- (C) 110°
- (D) 90°
हल: समान्तर चतुर्भुज में आसन्न कोणों का योग 180° होता है। अतः ∠A + ∠B = 180° ⇒ 70° + ∠B = 180° ⇒ ∠B = 110°.
सही उत्तर: (C) 110°
प्रश्न 1. (ii)
यदि बिन्दु (x, 3) और (5, 7) के बीच की दूरी 5 हो, तो x का मान है :
If the distance between points (x, 3) and (5, 7) is 5, then the value of x is :
- (A) 2
- (B) 4
- (C) 0
- (D) 3
हल: दूरी सूत्र के अनुसार, √[(x - 5)² + (3 - 7)²] = 5 ⇒ (x - 5)² + 16 = 25 ⇒ (x - 5)² = 9 ⇒ x - 5 = ±3 ⇒ x = 8 या x = 2. दिए गए विकल्पों में से x = 2 सही है।
सही उत्तर: (A) 2
(iii) sin θ cosec θ + cos θ sec θ बराबर है
- (A) 2
- (B) 1
- (C) 0
- (D) -1
सही उत्तर: (A) 2
(iv) चित्र में, यदि व्यास EC, जीवा AD के समांतर है और ∠ABC = 50°, तो ∠CAD का मान है
- (A) 50°
- (B) 40°
- (C) 30°
- (D) 25°
सही उत्तर: (B) 40°
प्रश्न 2
चित्र में ABCD और AEFG समान्तर चतुर्भुज हैं। यदि ∠C = 60° हो, तो ∠GFE का मान लिखिए।
In figure, ABCD and AEFG are two parallelograms. If ∠C = 60°, write the value of ∠GFE.
हल:
समान्तर चतुर्भुज ABCD में, ∠C = 60° दिया है। समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं, अतः ∠A = ∠C = 60°।
अब, ∠A और ∠GFE संगत कोण हैं (क्योंकि AEFG भी एक समान्तर चतुर्भुज है और AB || EF तथा AE एक तिर्यक रेखा है)। अतः ∠GFE = ∠A = 60°।
उत्तर: ∠GFE = 60°
प्रश्न 3
एक वृत्त के उस चाप का नाम लिखिए, जो वृत्त के शेष भाग पर समकोण बनाता है।
Write the name of that arc of the circle which subtends a right angle on the remaining part of the circle.
हल:
वृत्त के उस चाप को अर्धवृत्त (semicircle) कहते हैं, जो वृत्त के शेष भाग पर समकोण (90°) बनाता है। अर्धवृत्त में स्थित कोण हमेशा समकोण होता है।
उत्तर: अर्धवृत्त (Semicircle)
प्रश्न 4
किसी वर्ग के सम्मुख शीर्ष (-5, -4) और (3, 2) हैं। इसके विकर्ण की लम्बाई लिखिए।
The opposite vertices of a square are (-5, -4) and (3, 2). Write the length of its diagonal.
हल:
वर्ग के विकर्ण की लम्बाई = दो सम्मुख शीर्षों के बीच की दूरी
दूरी सूत्र: √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]
= √[(3 - (-5))² + (2 - (-4))²]
= √[(8)² + (6)²]
= √[64 + 36]
= √100
= 10 इकाई
उत्तर: विकर्ण की लम्बाई = 10 इकाई
प्रश्न 5
\(\frac{\sin^2 \theta - \cos^2 \theta}{\sin \theta - \cos \theta}\) का मान लिखिए।
Write the value of \(\frac{\sin^2 \theta - \cos^2 \theta}{\sin \theta - \cos \theta}\).
हल:
हम जानते हैं कि a² - b² = (a - b)(a + b)
अतः \(\sin^2 \theta - \cos^2 \theta = (\sin \theta - \cos \theta)(\sin \theta + \cos \theta)\)
इसलिए, \(\frac{\sin^2 \theta - \cos^2 \theta}{\sin \theta - \cos \theta} = \frac{(\sin \theta - \cos \theta)(\sin \theta + \cos \theta)}{\sin \theta - \cos \theta}\)
\(\sin \theta - \cos \theta \neq 0\) होने पर, यह \(\sin \theta + \cos \theta\) के बराबर होगा।
उत्तर: \(\sin \theta + \cos \theta\)
6.
प्रश्न: अर्धवृत्त का व्यास 8 सेमी है। उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Diameter of a semicircle is 8 cm. Find its area.
हल: अर्धवृत्त की त्रिज्या \( r = \frac{8}{2} = 4 \) सेमी।
अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = \( \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 4^2 = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 16 = \frac{176}{7} \) वर्ग सेमी।
अतः क्षेत्रफल = \( \frac{176}{7} \) वर्ग सेमी या लगभग 25.14 वर्ग सेमी।
प्रश्न: त्रिज्या \( r \) वाले वृत्त के केन्द्र पर 80° कोण अन्तरित करने वाले चाप की लम्बाई लिखिए।
Write the length of arc which subtends an angle of 80° at the centre of circle of radius r.
हल: चाप की लम्बाई = \( \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r = \frac{80^\circ}{360^\circ} \times 2\pi r = \frac{4}{9} \pi r \) या \( \frac{4\pi r}{9} \).
प्रश्न: जिस त्रिभुज में लम्बकेन्द्र, परिकेन्द्र और अन्तःकेन्द्र एक ही हों, उस त्रिभुज का नाम लिखिए।
Write the name of the triangle, in which the orthocentre, the incentre and the circumcentre are the same.
हल: समबाहु त्रिभुज (Equilateral triangle) में लम्बकेन्द्र, परिकेन्द्र और अन्तःकेन्द्र एक ही बिन्दु पर होते हैं।
प्रश्न: वृत्त में किन्हीं दो त्रिज्याओं और उनके अन्तिम बिन्दुओं से बनने वाले चाप से घिरे क्षेत्र का नाम लिखिए।
Write the name of area enclosed by any two radii and arc determined by the end points of the radii.
हल: त्रिज्यखण्ड (Sector) कहलाता है।
प्रश्न: एक समबाहु त्रिभुज ABC में, AD भुजा BC पर लम्बवत् है, तो AB² : AD² ज्ञात कीजिए।
In an equilateral triangle ABC, AD is perpendicular to BC, then find AB² : AD².
हल: माना समबाहु त्रिभुज की भुजा = a है।
AD ऊँचाई है, अतः \( AD = \frac{\sqrt{3}}{2}a \).
AB² = a², AD² = \( \frac{3}{4}a^2 \).
अतः AB² : AD² = a² : \( \frac{3}{4}a^2 \) = 1 : \( \frac{3}{4} \) = 4 : 3.
प्रश्न: 3 sin 60° - 4 sin³ 60° का मान ज्ञात कीजिए।
Find the value of 3 sin 60° - 4 sin³ 60°.
हल: sin 60° = \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).
3 sin 60° - 4 sin³ 60° = \( 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 \)
= \( \frac{3\sqrt{3}}{2} - 4 \times \frac{3\sqrt{3}}{8} = \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2} = 0 \).
अतः मान = 0.
प्रश्न: यदि समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग 64 वर्ग सेमी हो, तो उसके विकर्णों के वर्गों का योग ज्ञात कीजिए।
If sum of the squares of the sides of a rhombus is 64 sq.cm, then find the sum of squares of its diagonals.
हल: समचतुर्भुज की चारों भुजाएँ बराबर होती हैं। माना प्रत्येक भुजा = a सेमी।
भुजाओं के वर्गों का योग = 4a² = 64 ⇒ a² = 16 ⇒ a = 4 सेमी।
समचतुर्भुज में, विकर्णों के वर्गों का योग = भुजाओं के वर्गों के योग का दोगुना = 2 × 64 = 128 वर्ग सेमी।
अतः विकर्णों के वर्गों का योग = 128 वर्ग सेमी।
प्रश्न 3
चित्र में, यदि ∠ADC = 80° है, तो ∠CBE का मान लिखिए।
हल:
चूँकि ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है, इसलिए इसके सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।
∠ADC + ∠ABC = 180°
80° + ∠ABC = 180°
∠ABC = 100°
अब, ∠ABC और ∠CBE रैखिक युग्म बनाते हैं, इसलिए:
∠ABC + ∠CBE = 180°
100° + ∠CBE = 180°
∠CBE = 80°
प्रश्न 4
चित्र में, वृत्त का केन्द्र O है और OC, ∠ACB का समद्विभाजक है। यदि AC = 4 सेमी है, तो BC ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि OC, ∠ACB का समद्विभाजक है, इसलिए:
∠ACO = ∠BCO
त्रिभुज AOC और त्रिभुज BOC में:
- OA = OB (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
- OC = OC (उभयनिष्ठ भुजा)
- ∠ACO = ∠BCO (दिया है)
अतः, SAS सर्वांगसमता नियम से, △AOC ≅ △BOC
सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए:
BC = AC = 4 सेमी
गणित (Mathematics) – 2010
प्रश्न 1
5 सेमी त्रिज्याओं के दो वृत्त परस्पर A और B पर काटते हैं। यदि उभयनिष्ठ जीवा AB = 6 सेमी हो, तो उनके केन्द्रों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
Two circles of radii 5 cm intersect each other at A and B. If the common chord AB = 6 cm, then find the distance between their centres.
हल:
माना दो वृत्तों के केंद्र O और O' हैं, त्रिज्या = 5 सेमी, उभयनिष्ठ जीवा AB = 6 सेमी।
केंद्रों को मिलाने वाली रेखा OO', AB को समकोण पर समद्विभाजित करती है। माना प्रतिच्छेद बिंदु M है।
AM = MB = 3 सेमी
त्रिभुज OAM में, OA = 5 सेमी, AM = 3 सेमी
OM = √(OA² – AM²) = √(25 – 9) = √16 = 4 सेमी
इसी प्रकार, O'M = 4 सेमी
अतः केंद्रों के बीच की दूरी OO' = OM + O'M = 4 + 4 = 8 सेमी
प्रश्न 2
एक घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई का योग 9 सेमी है तथा विकर्ण की लम्बाई √29 सेमी है। घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
The sum of length, breadth and height of a cuboid is 9 cm and the length of its diagonal is √29 cm. Find the total surface area of the cuboid.
हल:
माना लम्बाई = l, चौड़ाई = b, ऊँचाई = h
दिया है: l + b + h = 9 सेमी
विकर्ण = √(l² + b² + h²) = √29 सेमी
⇒ l² + b² + h² = 29
हम जानते हैं: (l + b + h)² = l² + b² + h² + 2(lb + bh + hl)
⇒ 9² = 29 + 2(lb + bh + hl)
⇒ 81 = 29 + 2(lb + bh + hl)
⇒ 2(lb + bh + hl) = 81 – 29 = 52
⇒ सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl) = 52 वर्ग सेमी
प्रश्न 3
नीचे दी गई सारणी से फील्ड बुक का कच्चा चित्र बनाइए तथा क्षेत्रफल की गणना कीजिए:
From the table given below, prepare a rough diagram of the field book and calculate the area.
| मीटर (Metre) | विवरण (Details) |
|---|---|
| 50 | D तक (Upto D) |
| 75 | E की ओर 25 (towards E 25) |
| 50 | C की ओर 50 (towards C 50) |
| 100 | B की ओर 25 (towards B 25) |
| 0 | A से उत्तर की ओर (From A towards north) |
हल:
कच्चा चित्र (Rough Diagram):
D (50)
|
|
E---M---C
| | |
| | |
B---A (0)
क्षेत्रफल की गणना:
यह एक बहुभुजाकार क्षेत्र है जिसे त्रिभुजों और समलंबों में विभाजित किया जा सकता है।
माना A से उत्तर की ओर रेखा आधार है।
- त्रिभुज A-B-M: आधार AM = 100 मी, ऊँचाई = 25 मी, क्षेत्रफल = ½ × 100 × 25 = 1250 वर्ग मी
- त्रिभुज M-C-D: आधार MD = 50 मी, ऊँचाई = 50 मी, क्षेत्रफल = ½ × 50 × 50 = 1250 वर्ग मी
- समलंब B-E-M: समांतर भुजाएँ 25 मी और 75 मी, ऊँचाई = 50 मी, क्षेत्रफल = ½ × (25+75) × 50 = 2500 वर्ग मी
कुल क्षेत्रफल = 1250 + 1250 + 2500 = 5000 वर्ग मीटर
प्रश्न 8
त्रिभुज ABC में, AD, ∠A का समद्विभाजक है। DE तथा DF क्रमशः AB तथा AC पर लम्ब हैं। सिद्ध कीजिए कि DE = DF.
In a triangle ABC, AD is the bisector of ∠A. DE and DF are perpendiculars on AB and AC respectively. Prove that DE = DF.
हल / Solution:
त्रिभुज ADE और त्रिभुज ADF में:
- ∠AED = ∠AFD = 90° (दिया है, DE ⊥ AB और DF ⊥ AC)
- ∠EAD = ∠FAD (AD, ∠A का समद्विभाजक है)
- AD = AD (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः, कोण-कोण-भुजा (AAS) सर्वांगसमता नियम से, △ADE ≅ △ADF.
सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए DE = DF. सिद्ध.
प्रश्न 9
चित्र में, PQRS एक आयत है, जिसमें PQ = 10 सेमी तथा QR = 7 सेमी हैं। आयत के प्रत्येक शीर्ष पर चित्रानुसार समान त्रिज्या के वृत्त खींचे गये हैं। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
In figure, PQRS is a rectangle. The side PQ = 10 cm and QR = 7 cm. As shown in figure circles of same radius are drawn at each vertex of the rectangle. Find the area of shaded portion.
हल / Solution:
आयत PQRS में, PQ = 10 सेमी, QR = 7 सेमी।
प्रत्येक शीर्ष पर वृत्तों की त्रिज्या = आयत की छोटी भुजा का आधा = 7/2 = 3.5 सेमी।
चारों शीर्षों पर बने वृत्तों के चाप मिलकर एक पूर्ण वृत्त बनाते हैं (क्योंकि आयत के कोण 90° के होते हैं, और चारों 90° के चाप मिलकर 360° का कोण बनाते हैं)।
अतः, चारों वृत्तों के छायांकित भागों का क्षेत्रफल = एक पूर्ण वृत्त का क्षेत्रफल = πr² = (22/7) × (3.5)² = (22/7) × 12.25 = 22 × 1.75 = 38.5 वर्ग सेमी।
आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई = 10 × 7 = 70 वर्ग सेमी।
अतः, छायांकित भाग का क्षेत्रफल = आयत का क्षेत्रफल - चारों वृत्तों के छायांकित भागों का क्षेत्रफल = 70 - 38.5 = 31.5 वर्ग सेमी.
प्रश्न 20
यदि sec θ + tan θ = p हो, तो सिद्ध कीजिए कि \(\frac{p^2 - 1}{p^2 + 1} = \sin \theta\)
If sec θ + tan θ = p, then prove that \(\frac{p^2 - 1}{p^2 + 1} = \sin \theta\)
हल:
दिया है: sec θ + tan θ = p
हम जानते हैं: sec²θ - tan²θ = 1
⇒ (sec θ - tan θ)(sec θ + tan θ) = 1
⇒ (sec θ - tan θ) × p = 1
⇒ sec θ - tan θ = 1/p
अब, sec θ + tan θ = p और sec θ - tan θ = 1/p को जोड़ने पर:
2 sec θ = p + 1/p = (p² + 1)/p
⇒ sec θ = (p² + 1)/(2p)
इन्हीं समीकरणों को घटाने पर:
2 tan θ = p - 1/p = (p² - 1)/p
⇒ tan θ = (p² - 1)/(2p)
अब, sin θ = tan θ / sec θ = [(p² - 1)/(2p)] / [(p² + 1)/(2p)] = (p² - 1)/(p² + 1)
अतः सिद्ध हुआ कि \(\frac{p^2 - 1}{p^2 + 1} = \sin \theta\)
प्रश्न 21
यदि बिन्दु A(2, 5) और B को मिलाने वाले रेखा खण्ड को बिन्दु P(-, 2) 3 : 4 के अनुपात में अन्त: विभाजित करता है, तो B के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
If the point P(-, 2) divides the line segment joining A(2, 5) and B internally in ratio 3 : 4, find the coordinates of B.
हल:
माना बिन्दु B के निर्देशांक (x, y) हैं।
बिन्दु P, AB को 3 : 4 के अनुपात में अन्त: विभाजित करता है। अतः विभाजन सूत्र से:
P का x-निर्देशांक = (3×x + 4×2)/(3+4) = (3x + 8)/7
P का y-निर्देशांक = (3×y + 4×5)/(3+4) = (3y + 20)/7
प्रश्नानुसार, P का y-निर्देशांक 2 है। अतः:
(3y + 20)/7 = 2
⇒ 3y + 20 = 14
⇒ 3y = -6
⇒ y = -2
P का x-निर्देशांक प्रश्न में अधूरा दिया है (P(-, 2)), अतः x-निर्देशांक ज्ञात नहीं किया जा सकता।
अतः B के निर्देशांक (x, -2) हैं, जहाँ x अज्ञात है।
प्रश्न 22
यदि θ = 30° हो, तो \(\frac{3 \cot (90° - \theta) - \tan^3 \theta}{1 - 3 \cot^2 (90° - \theta)}\) का मान ज्ञात कीजिए।
If θ = 30°, then find \(\frac{3 \cot (90° - \theta) - \tan^3 \theta}{1 - 3 \cot^2 (90° - \theta)}\)
हल:
θ = 30° रखने पर:
cot(90° - θ) = cot(90° - 30°) = cot 60° = 1/√3
tan θ = tan 30° = 1/√3
अब व्यंजक में मान रखने पर:
अंश = 3 × (1/√3) - (1/√3)³ = 3/√3 - 1/(3√3) = (9 - 1)/(3√3) = 8/(3√3)
हर = 1 - 3 × (1/√3)² = 1 - 3 × (1/3) = 1 - 1 = 0
चूँकि हर शून्य है, व्यंजक अपरिभाषित है।
अतः θ = 30° के लिए दिए गए व्यंजक का मान अपरिभाषित है।
प्रश्न 23
यदि किसी शंकु की ऊँचाई, वक्रपृष्ठ और आयतन क्रमश: h, c और v हों, तो सिद्ध कीजिए कि
\(3\pi v h^3 - c^2 h^2 + 9v^2 = 0\)
If h, c and v are the height, the area of the curved surface and the volume of a cone respectively, then prove that
\(3\pi v h^3 - c^2 h^2 + 9v^2 = 0\)
हल:
माना शंकु की त्रिज्या r और तिर्यक ऊँचाई l है।
शंकु का आयतन: v = (1/3)πr²h
⇒ r² = 3v/(πh) ...(i)
शंकु का वक्रपृष्ठ: c = πrl
तिर्यक ऊँचाई: l = √(r² + h²)
⇒ c = πr√(r² + h²)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
c² = π²r²(r² + h²)
समीकरण (i) से r² का मान रखने पर:
c² = π² × (3v/(πh)) × (3v/(πh) + h²)
c² = (3πv/h) × (3v/(πh) + h²)
c² = (3πv/h) × (3v/(πh)) + (3πv/h) × h²
c² = 9v²/h² + 3πvh
दोनों पक्षों को h² से गुणा करने पर:
c²h² = 9v² + 3πvh³
⇒ 3πvh³ - c²h² + 9v² = 0
अतः सिद्ध हुआ।
प्रश्न 24
किसी स्तम्भ की चोटी का उन्नतांश समतल पर स्थित एक बिन्दु से 15° है। स्तम्भ की ओर 100 मीटर चलने पर उन्नतांश 30° हो जाता है। स्तम्भ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
The angle of elevation of top of a pillar from a point on the ground is 15°. On walking 100 metre towards the pillar, the angle of elevation becomes 30°. Find the height of the pillar.
हल:
माना स्तम्भ की ऊँचाई \(h\) मीटर है। प्रारम्भिक बिन्दु A से स्तम्भ के आधार तक की दूरी \(x\) मीटर है।
पहली स्थिति में: \(\tan 15° = \frac{h}{x}\)
दूसरी स्थिति में (100 मीटर पास जाने पर): \(\tan 30° = \frac{h}{x - 100}\)
\(\tan 15° = 2 - \sqrt{3}\) और \(\tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}}\)
समीकरण (1) से: \(x = \frac{h}{2 - \sqrt{3}}\)
समीकरण (2) से: \(x - 100 = \frac{h}{1/\sqrt{3}} = h\sqrt{3}\)
अतः \(\frac{h}{2 - \sqrt{3}} - 100 = h\sqrt{3}\)
\(\frac{h}{2 - \sqrt{3}} - h\sqrt{3} = 100\)
\(h\left(\frac{1}{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{3}\right) = 100\)
\(\frac{1}{2 - \sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}\) (परिमेयकरण से)
\(h(2 + \sqrt{3} - \sqrt{3}) = 100\)
\(h \times 2 = 100\)
\(h = 50\) मीटर
अतः स्तम्भ की ऊँचाई 50 मीटर है।
प्रश्न 25
चित्र में PA और PB एक वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं। वृत्त पर एक बिन्दु M है, तो सिद्ध कीजिए कि PL + LM = PN + NM.
B
/|
/ |
/ |
/ |
/ |
P-----N
\ |
\ |
\ |
\ |
\|
A
L
M
In figure, PA and PB are tangents to a circle. If M is a point on the circle, then prove that PL + LM = PN + NM.
हल:
PA और PB वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं, अतः PA = PB (एक ही बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं)।
माना L और N, PA और PB पर ऐसे बिन्दु हैं कि LM और NM वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।
चूँकि L से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ LA और LM हैं, अतः LA = LM.
इसी प्रकार, N से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ NB और NM हैं, अतः NB = NM.
अब, PL + LM = PL + LA = PA (क्योंकि PL + LA = PA)
और PN + NM = PN + NB = PB (क्योंकि PN + NB = PB)
चूँकि PA = PB, अतः PL + LM = PN + NM.
इति सिद्धम्।
अथवा
एक वृत्त में PQ और PR दो समान जीवाएँ हैं। सिद्ध कीजिए कि बिन्दु P पर स्पर्श रेखा जीवा QR के समान्तर होगी।
If PQ and PR are two equal chords of a circle, prove that the tangent at P is parallel to the chord QR.
हल:
माना O वृत्त का केंद्र है। PQ = PR (दिया है)।
चूँकि समान जीवाएँ केंद्र पर समान कोण अंतरित करती हैं, अतः ∠POQ = ∠POR.
त्रिभुज POQ और POR में:
- OP = OP (उभयनिष्ठ)
- OQ = OR (त्रिज्याएँ)
- PQ = PR (दिया है)
अतः △POQ ≅ △POR (SSS सर्वांगसमता)
इसलिए ∠OPQ = ∠OPR, अर्थात OP, ∠QPR का समद्विभाजक है।
समद्विबाहु त्रिभुज PQR में, शीर्ष P से आधार QR पर डाला गया लंब आधार को समद्विभाजित करता है। अतः OP ⟂ QR.
P पर स्पर्श रेखा त्रिज्या OP पर लंब होती है, अतः स्पर्श रेखा ⟂ OP.
चूँकि स्पर्श रेखा और QR दोनों OP पर लंब हैं, अतः स्पर्श रेखा ∥ QR.
इति सिद्धम्।
प्रश्न 26
त्रिभुज ABC की रचना कीजिए, जिसमें BC = 5.8 सेमी, ∠A = 65° तथा लम्ब AD = 3.1 सेमी हो।
अथवा
त्रिभुज ABC की रचना कीजिए, जबकि BC = 4.8 सेमी, ∠A = 70° तथा A से माध्यिका 3.2 सेमी हो।
Construct a triangle ABC, in which BC = 5.8 cm, ∠A = 65° and altitude AD = 3.1 cm.
OR
Construct a triangle ABC, when BC = 4.8 cm, ∠A = 70° and the median from A is 3.2 cm.
हल (पहला विकल्प) – त्रिभुज ABC की रचना (BC = 5.8 सेमी, ∠A = 65°, AD = 3.1 सेमी)
- एक रेखाखंड BC = 5.8 सेमी खींचिए।
- बिंदु B पर BC से 65° का कोण बनाते हुए एक किरण BX खींचिए।
- बिंदु C पर BC से 65° का कोण बनाते हुए दूसरी किरण CY खींचिए (दोनों किरणें एक ही दिशा में हों)।
- किरण BX और CY के समांतर, BC से 3.1 सेमी की दूरी पर एक रेखा l खींचिए। यह रेखा BC के ऊपर होगी।
- माना रेखा l, किरण BX को बिंदु B' पर और किरण CY को बिंदु C' पर काटती है।
- B'C' रेखाखंड खींचिए।
- अब, BC के लंबवत समद्विभाजक खींचिए जो BC को बिंदु D पर काटेगा।
- बिंदु D से, BC पर लंब खींचिए जो रेखा l को बिंदु A पर काटेगा।
- AB और AC को मिलाइए।
इस प्रकार, अभीष्ट त्रिभुज ABC प्राप्त होता है जिसमें BC = 5.8 सेमी, ∠A = 65° और शीर्ष A से BC पर लंब AD = 3.1 सेमी है।
हल (दूसरा विकल्प) – त्रिभुज ABC की रचना (BC = 4.8 सेमी, ∠A = 70°, माध्यिका = 3.2 सेमी)
- एक रेखाखंड BC = 4.8 सेमी खींचिए।
- BC का लंबवत समद्विभाजक खींचिए जो BC को बिंदु M पर काटेगा। M, BC का मध्यबिंदु है।
- बिंदु M को केंद्र मानकर, 3.2 सेमी त्रिज्या का एक चाप खींचिए।
- बिंदु B पर, BC से 70° का कोण बनाते हुए एक किरण BX खींचिए।
- बिंदु C पर, BC से 70° का कोण बनाते हुए एक किरण CY खींचिए (दोनों किरणें एक ही दिशा में हों)।
- किरण BX और CY के समांतर एक रेखा l खींचिए जो बिंदु M से गुज़रे।
- रेखा l और चाप (केंद्र M, त्रिज्या 3.2 सेमी) का प्रतिच्छेदन बिंदु A है।
- AB और AC को मिलाइए।
इस प्रकार, अभीष्ट त्रिभुज ABC प्राप्त होता है जिसमें BC = 4.8 सेमी, ∠A = 70° और शीर्ष A से माध्यिका AM = 3.2 सेमी है।