RBSE Class 10th 2013 -S-09-2013 Previous Year Papers
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Paper details
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| Board | RBSE |
|---|---|
| Class | Class 10th |
| Exam year | 2013 |
| Subject | -S-09-2013 |
| Resource type | Previous Year Papers |
| Category | RBSE Previous Year Question Papers |
| Website | RBSE Solution |
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RBSE Class 10th 2013 -S-09-2013
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Rajasthan Board Class 10th -S-09-2013 2013 solved Previous Year Question Papers
माध्यमिक पूरक परीक्षा, 2013
SECONDARY SUPPLEMENTARY EXAMINATION, 2013
गणित
MATHEMATICS
समय : 3 घण्टे 15 मिनट पूर्णांक : 80
परीक्षार्थियों के लिए सामान्य निर्देश :
GENERAL INSTRUCTIONS TO THE EXAMINEES :
- परीक्षार्थी सर्वप्रथम अपने प्रश्नपत्र पर नामांक अनिवार्यतः लिखें।
Candidate must write first his/her Roll No. on the question paper compulsorily. - सभी प्रश्न करने अनिवार्य हैं।
All the questions are compulsory. - प्रत्येक प्रश्न का उत्तर दी गई उत्तर पुस्तिका में ही लिखें।
Write the answer to each question in the given answer-book only. - जिन प्रश्नों में आन्तरिक खण्ड हैं, उन सभी के उत्तर एक साथ ही लिखें।
For questions having more than one part, the answers to those parts are to be written together in continuity.
No. of Questions — 30 No. of Printed Pages — 1
S—09—Maths. (Supp.) [S-2] [ Turn over
निर्देश (Instructions)
5. भाषा संबंधी निर्देश
प्रश्न पत्र के हिन्दी व अंग्रेजी रूपांतर में किसी प्रकार की त्रुटि / अंतर / विरोधाभास होने पर हिन्दी भाषा के प्रश्न को ही सही मानें।
If there is any error / difference / contradiction in Hindi and English versions of the question paper, the question of Hindi version should be treated valid.
6. प्रश्नों का विभाजन (Division of Questions)
| भाग (Part) | प्रश्न संख्या (Question Nos.) | प्रत्येक प्रश्न के अंक (Marks per question) |
|---|---|---|
| A | 1-10 | - |
| B | 11-15 | 2 |
| C | 16-25 | 3 |
| D | 26-30 | 6 |
7. आन्तरिक विकल्प (Internal Choices)
प्रश्न क्रमांक 28 और 30 में आन्तरिक विकल्प हैं।
There are internal choices in Question Nos. 28 and 30.
8. उत्तर लेखन संबंधी निर्देश (Answer Writing Instructions)
अपनी उत्तर पुस्तिका के पृष्ठों के दोनों ओर लिखिए। यदि कोई रफ कार्य करना हो, तो उत्तर-पुस्तिका के अन्तिम पृष्ठों पर करें और इन्हें तिरछी लाइनों से काटकर उन पर 'Rough Work' लिख दें।
Write on both sides of the pages of your answer-book. If any rough work is to be done, do it on last pages of the answer-book and cross with slant lines and write 'Rough Work' on them.
9. लेखाचित्र संबंधी निर्देश (Graph Drawing Instruction)
प्रश्न क्रमांक 26 का लेखाचित्र ग्राफ पेपर पर बनाइए।
Draw the graph of Question No. 26 on graph paper.
S—09—Maths. (Supp.) [S-2]
खंड - A / PART - A
-
परिमेय संख्या
3/75का बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया किए दशमलव प्रसार लिखिए।
Write the decimal expansion of the rational number3/75without actually performing the long division.हल:
3/75 = 1/25 = 0.04Solution:
3/75 = 1/25 = 0.04 -
एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है तथा उनका अन्तर 26 है। समस्या का रैखिक समीकरण युग्म बनाइए।
One number is three times the other and the difference between the two numbers is 26. Form the pair of linear equations of the problem.हल: माना पहली संख्या = x, दूसरी संख्या = y
प्रश्नानुसार,
x = 3y …(i)
x – y = 26 …(ii)Solution: Let first number = x, second number = y
According to problem,
x = 3y …(i)
x – y = 26 …(ii) -
समांतर श्रेढ़ी : 3, 8, 13, …, 78 में कितने पद हैं?
How many terms are there in the AP: 3, 8, 13, …, 78?हल: यहाँ a = 3, d = 8 – 3 = 5, an = 78
an = a + (n – 1)d
⇒ 78 = 3 + (n – 1) × 5
⇒ 75 = (n – 1) × 5
⇒ n – 1 = 15
⇒ n = 16अतः श्रेढ़ी में 16 पद हैं।
Solution: Here a = 3, d = 8 – 3 = 5, an = 78
an = a + (n – 1)d
⇒ 78 = 3 + (n – 1) × 5
⇒ 75 = (n – 1) × 5
⇒ n – 1 = 15
⇒ n = 16Hence, there are 16 terms in the AP.
-
दो बिन्दुओं (3, 7) और (–1, 5) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
Find the distance between the points (3, 7) and (–1, 5).हल: दूरी = √[(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²]
= √[(-1 – 3)² + (5 – 7)²]
= √[(-4)² + (-2)²]
= √[16 + 4]
= √20 = 2√5 इकाई
Solution: Distance = √[(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²]
= √[(-1 – 3)² + (5 – 7)²]
= √[(-4)² + (-2)²]
= √[16 + 4]
= √20 = 2√5 units
-
बिन्दुओं (2, –2) और (–6, –4) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड के मध्य बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Find the co-ordinates of the mid-point of the line segment joining the points (2, –2) and (–6, –4).हल: मध्य बिन्दु के निर्देशांक = [(x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2]
= [(2 + (-6))/2, (-2 + (-4))/2]
= [(-4)/2, (-6)/2]
= (–2, –3)
Solution: Mid-point = [(x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2]
= [(2 + (-6))/2, (-2 + (-4))/2]
= [(-4)/2, (-6)/2]
= (–2, –3)
-
यदि किसी वृत्त के केन्द्र से 3 सेमी दूरी पर स्थित बिन्दु Q से वृत्त पर खींची गयी स्पर्श रेखा PQ की लम्बाई 2 सेमी है, तो वृत्त की त्रिज्या की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
If from the point Q, 3 cm away from the centre of a circle the length of tangent PQ to the circle is 2 cm, then find the length of radius of the circle.हल: माना वृत्त का केन्द्र O है।
OQ = 3 सेमी, PQ = 2 सेमी
स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लम्ब होती है, अतः ∠OPQ = 90°
समकोण त्रिभुज OPQ में,
OQ² = OP² + PQ² (पाइथागोरस प्रमेय)
⇒ 3² = r² + 2²
⇒ 9 = r² + 4
⇒ r² = 5
⇒ r = √5 सेमी
Solution: Let O be the centre of the circle.
OQ = 3 cm, PQ = 2 cm
Tangent is perpendicular to radius, so ∠OPQ = 90°
In right triangle OPQ,
OQ² = OP² + PQ² (Pythagoras theorem)
⇒ 3² = r² + 2²
⇒ 9 = r² + 4
⇒ r² = 5
⇒ r = √5 cm
प्रश्न 7
8 सेमी लम्बे रेखा खण्ड AB को 1 : 3 के अनुपात में विभाजित कीजिए।
Divide the line segment AB of length 8 cm in the ratio 1 : 3.
हल / Solution:
- एक रेखा AB = 8 सेमी खींचिए।
- बिन्दु A पर न्यूनकोण बनाते हुए एक किरण AX खींचिए।
- AX पर 1 + 3 = 4 समान भाग (A₁, A₂, A₃, A₄) अंकित कीजिए।
- A₄ को B से मिलाइए।
- A₁ से A₄B के समान्तर रेखा खींचिए जो AB को बिन्दु P पर काटती है।
- अतः AP : PB = 1 : 3 होगा।
प्रश्न 8
त्रिज्या 7 सेमी वाले वृत्त का एक चाप केन्द्र पर 60° का कोण अन्तरित करता है। संगत चाप की लम्बाई ज्ञात कीजिए (π = 22/7 लीजिए)।
Find the area of a sector of a circle with radius 7 cm if angle of the sector is 60°. (Use π = 22/7)
हल / Solution:
त्रिज्या (r) = 7 सेमी, कोण (θ) = 60°
चाप की लम्बाई (l) = (θ/360°) × 2πr
= (60/360) × 2 × (22/7) × 7
= (1/6) × 2 × 22
= (44/6) = 22/3 सेमी
अतः चाप की लम्बाई = 22/3 सेमी या 7.33 सेमी (लगभग)।
प्रश्न 9
दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 4 सेमी और 3 सेमी हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल इन दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।
The radii of two circles are 4 cm and 3 cm respectively. Find the radius of the circle having area equal to the sum of the areas of the two circles.
हल / Solution:
पहले वृत्त का क्षेत्रफल = π × (4)² = 16π वर्ग सेमी
दूसरे वृत्त का क्षेत्रफल = π × (3)² = 9π वर्ग सेमी
दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों का योग = 16π + 9π = 25π वर्ग सेमी
माना नए वृत्त की त्रिज्या R है।
πR² = 25π
R² = 25
R = 5 सेमी
अतः अभीष्ट वृत्त की त्रिज्या = 5 सेमी।
प्रश्न 10
एक थैले में कार्ड हैं। कार्डों पर 2, 3, 4, 5, 6, 7 संख्याएँ अंकित हैं। थैले में से एक कार्ड यादृच्छया निकाला गया है। निकाले गये कार्ड पर एक सम संख्या होने की प्रायिकता लिखिए।
Cards bearing the numbers 2, 3, 4, 5, 6, 7 are kept in a bag. A card is drawn at random from the bag. Write the probability of getting a card with an even number.
हल / Solution:
कुल कार्डों की संख्या = 6 (2, 3, 4, 5, 6, 7)
सम संख्याएँ = 2, 4, 6 (कुल 3)
अनुकूल परिणामों की संख्या = 3
प्रायिकता = अनुकूल परिणाम / कुल परिणाम = 3/6 = 1/2
अतः सम संख्या आने की प्रायिकता = 1/2 है।
PART - B
प्रश्न 1. 25 मी लम्बी एक सीढ़ी एक दीवार पर टिकाने पर भूमि से 7 मी ऊँचाई पर स्थित एक खिड़की तक पहुँचती है। दीवार के आधार से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी ज्ञात कीजिए।
A ladder 25 m long reaches a window 7 m above the ground if it rests on the wall. Find the distance of the foot of the ladder from the base of the wall.
हल: माना सीढ़ी का निचला सिरा दीवार के आधार से x मी दूर है। सीढ़ी, दीवार और भूमि एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं जिसमें कर्ण = 25 मी, ऊँचाई = 7 मी, आधार = x मी।
पाइथागोरस प्रमेय से: (कर्ण)² = (आधार)² + (ऊँचाई)²
⇒ 25² = x² + 7²
⇒ 625 = x² + 49
⇒ x² = 625 – 49 = 576
⇒ x = √576 = 24 मी
अतः दीवार के आधार से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी 24 मी है।
प्रश्न 2. यदि एक समकोण त्रिभुज PQR में QR = 9 सेमी और PR – PQ = 1 सेमी हो, तो sin R का मान ज्ञात कीजिए।
If in a right angled triangle PQR, QR = 9 cm and PR – PQ = 1 cm, then find the value of sin R.
हल: समकोण त्रिभुज PQR में, माना ∠Q = 90° है। तब कर्ण PR है।
दिया है: QR = 9 सेमी, PR – PQ = 1 सेमी ⇒ PR = PQ + 1
पाइथागोरस प्रमेय से: PR² = PQ² + QR²
⇒ (PQ + 1)² = PQ² + 9²
⇒ PQ² + 2PQ + 1 = PQ² + 81
⇒ 2PQ + 1 = 81
⇒ 2PQ = 80 ⇒ PQ = 40 सेमी
अतः PR = 40 + 1 = 41 सेमी
अब, sin R = ∠R के सामने की भुजा / कर्ण = PQ / PR = 40/41
अतः sin R = 40/41
प्रश्न 3. यदि A, B और C त्रिभुज ABC के अन्त: कोण हों तो दर्शाइए कि cos((B+C)/2) = sin(A/2).
If A, B and C are the interior angles of a triangle ABC, then show that cos((B+C)/2) = sin(A/2).
हल: त्रिभुज के तीनों अन्त:कोणों का योग 180° होता है।
∴ A + B + C = 180°
⇒ B + C = 180° – A
⇒ (B + C)/2 = (180° – A)/2 = 90° – A/2
अब, cos((B+C)/2) = cos(90° – A/2) = sin(A/2) [∵ cos(90° – θ) = sin θ]
अतः cos((B+C)/2) = sin(A/2) सिद्ध हुआ।
प्रश्न 4. दर्शाइए कि cosA/(1+sinA) + (1+sinA)/cosA = 2secA.
Show that cosA/(1+sinA) + (1+sinA)/cosA = 2secA.
हल: बायाँ पक्ष = cosA/(1+sinA) + (1+sinA)/cosA
= [cos²A + (1+sinA)²] / [cosA(1+sinA)]
= [cos²A + 1 + 2sinA + sin²A] / [cosA(1+sinA)]
= [(cos²A + sin²A) + 1 + 2sinA] / [cosA(1+sinA)]
= [1 + 1 + 2sinA] / [cosA(1+sinA)]
= [2 + 2sinA] / [cosA(1+sinA)]
= 2(1 + sinA) / [cosA(1+sinA)]
= 2/cosA = 2secA = दायाँ पक्ष
अतः cosA/(1+sinA) + (1+sinA)/cosA = 2secA सिद्ध हुआ।
प्रश्न 5. दो घनों जिनमें प्रत्येक का आयतन 8 सेमी³ है, के संलग्न फलकों को मिलाकर एक ठोस बनाया जाता है। इससे प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Two cubes each of volume 8 cm³ are joined end to end to form a solid. Find the surface area of the cuboid so formed.
हल: प्रत्येक घन का आयतन = 8 सेमी³
माना प्रत्येक घन की भुजा = a सेमी
तब, a³ = 8 ⇒ a = 2 सेमी
दो घनों को जोड़ने पर बने घनाभ की लम्बाई = 2 + 2 = 4 सेमी, चौड़ाई = 2 सेमी, ऊँचाई = 2 सेमी
घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(लम्बाई × चौड़ाई + चौड़ाई × ऊँचाई + ऊँचाई × लम्बाई)
= 2(4×2 + 2×2 + 2×4)
= 2(8 + 4 + 8)
= 2 × 20 = 40 सेमी²
अतः प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल 40 सेमी² है।
PART – 02
16. अभाज्य गुणन खण्ड विधि द्वारा संख्याओं 36 और 64 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए । महत्तम समापवर्तक का प्रयोग करते हुए इनका लघुतम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए ।
Find the highest common factor of the numbers 36 and 64 by using prime factorisation method. Using highest common factor, find the least common multiple.
हल / Solution:
Step 1: अभाज्य गुणनखण्ड (Prime Factorisation)
- 36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 2² × 3²
- 64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁶
Step 2: महत्तम समापवर्तक (HCF)
HCF = उभयनिष्ठ गुणनखण्डों का गुणनफल = 2² = 4
Step 3: लघुतम समापवर्त्य (LCM)
हम जानते हैं: LCM × HCF = पहली संख्या × दूसरी संख्या
LCM × 4 = 36 × 64
LCM = (36 × 64) / 4 = 36 × 16 = 576
अतः: HCF = 4, LCM = 576
17. P(x) = 3x³ + x² + 2x + 5 को g(x) = x² + 2x + 1 से भाग दीजिए । भागफल और शेषफल भी लिखिए ।
Divide P(x) = 3x³ + x² + 2x + 5 by g(x) = x² + 2x + 1. Also find the quotient and remainder.
हल / Solution:
भागफल (Quotient) = 3x – 5
शेषफल (Remainder) = 9x + 10
विस्तृत विधि:
3x³ + x² + 2x + 5 को x² + 2x + 1 से भाग देने पर:
- पहला पद: 3x³ ÷ x² = 3x, गुणा करने पर: 3x³ + 6x² + 3x, घटाने पर: –5x² – x + 5
- दूसरा पद: –5x² ÷ x² = –5, गुणा करने पर: –5x² – 10x – 5, घटाने पर: 9x + 10
अतः भागफल = 3x – 5, शेषफल = 9x + 10
18. समान्तर श्रेढ़ी : 24, 21, 18, ...... के 13 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए ।
Find the sum of the 13 terms of A.P.: 24, 21, 18, ...... .
हल / Solution:
प्रथम पद (a) = 24
सार्वअंतर (d) = 21 – 24 = –3
पदों की संख्या (n) = 13
समान्तर श्रेढ़ी के n पदों का योग: Sn = n/2 [2a + (n – 1)d]
S13 = 13/2 [2 × 24 + (13 – 1)(–3)]
= 13/2 [48 + 12 × (–3)]
= 13/2 [48 – 36]
= 13/2 × 12
= 13 × 6 = 78
अतः 13 पदों का योग = 78
19. सिद्ध कीजिए : √(1 + sin A) / √(1 – sin A) = sec A + tan A.
Prove that √(1 + sin A) / √(1 – sin A) = sec A + tan A.
हल / Solution:
बायाँ पक्ष (LHS) = √(1 + sin A) / √(1 – sin A)
अंश और हर में √(1 + sin A) से गुणा करने पर:
= [√(1 + sin A) × √(1 + sin A)] / [√(1 – sin A) × √(1 + sin A)]
= (1 + sin A) / √(1 – sin² A)
= (1 + sin A) / √(cos² A)
= (1 + sin A) / cos A
= 1/cos A + sin A/cos A
= sec A + tan A = दायाँ पक्ष (RHS)
अतः सिद्ध हुआ।
20.
भूमि से 5 मी ऊँचाई पर एक पतंग उड़ रही है। पतंग में लगी डोरी को अस्थायी रूप से भूमि के एक बिन्दु से बाँध दिया गया है। भूमि के साथ डोरी का झुकाव 60° है। यह मान कर कि डोरी में ढील नहीं है, डोरी की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
A kite is flying at a height of 5 m above the ground. The string attached to the kite is temporarily tied to a point on the ground. The inclination of the string with the ground is 60°. Find the length of the string assuming that there is no slack in the string.
हल: माना पतंग की ऊँचाई AB = 5 मी है, और डोरी की लम्बाई AC है। भूमि के साथ कोण ∠ACB = 60° है। समकोण त्रिभुज ABC में,
sin 60° = AB / AC ⇒ √3/2 = 5 / AC ⇒ AC = 5 × 2 / √3 = 10/√3 मी
परिमेयकरण करने पर: AC = (10√3)/3 मी ≈ 5.77 मी
अतः डोरी की लम्बाई 10/√3 मी या (10√3)/3 मी है।
21.
दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 25 सेमी व 7 सेमी हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है।
Two concentric circles are of radii 25 cm and 7 cm respectively. Find the length of the chord of the bigger circle which touches the smaller circle.
हल: माना बड़े वृत्त का केंद्र O है, त्रिज्या R = 25 सेमी। छोटे वृत्त की त्रिज्या r = 7 सेमी। माना जीवा AB छोटे वृत्त को बिंदु M पर स्पर्श करती है। तब OM ⟂ AB और OM = r = 7 सेमी।
समकोण त्रिभुज OMA में, OA = R = 25 सेमी, OM = 7 सेमी।
पाइथागोरस प्रमेय से: AM² = OA² – OM² = 25² – 7² = 625 – 49 = 576 ⇒ AM = √576 = 24 सेमी
चूँकि OM जीवा AB का लम्बार्द्धक है, AB = 2 × AM = 2 × 24 = 48 सेमी
अतः जीवा की लम्बाई 48 सेमी है।
22.
त्रिज्या 3 सेमी का एक वृत्त खींचिए। वृत्त के केन्द्र से 6 सेमी दूरी पर स्थित बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखा युग्म की रचना कीजिए और उनकी लम्बाई मापिए।
Draw a circle of radius 3 cm. From a point 6 cm away from its centre construct a pair of tangents to the circle and measure their lengths.
रचना के चरण:
- केंद्र O लेकर 3 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।
- केंद्र O से 6 सेमी दूरी पर एक बिंदु P लीजिए।
- OP को समद्विभाजित करते हुए इसका मध्यबिंदु M ज्ञात कीजिए।
- M को केंद्र मानकर MO त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए जो दिए गए वृत्त को बिंदुओं Q और R पर काटता है।
- PQ और PR को मिलाइए। ये अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
माप: स्पर्श रेखा की लम्बाई PQ = PR = √(OP² – OQ²) = √(6² – 3²) = √(36 – 9) = √27 = 3√3 सेमी ≈ 5.2 सेमी।
23.
भुजा 28 सेमी वाले एक वर्ग के प्रत्येक कोने से 7 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त का चतुर्थाश काटा गया है। वर्ग के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 लीजिए)
From each corner of a square of side 28 cm a quadrant of a circle of radius 7 cm is cut. Find the area of the remaining portion of the square. (use π = 22/7)
हल: वर्ग की भुजा = 28 सेमी
वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा² = 28 × 28 = 784 वर्ग सेमी
प्रत्येक कोने से काटा गया चतुर्थाश (90° का त्रिज्यखंड) की त्रिज्या r = 7 सेमी
एक चतुर्थाश का क्षेत्रफल = (1/4) × πr² = (1/4) × (22/7) × 7 × 7 = (1/4) × 22 × 7 = (154/4) = 38.5 वर्ग सेमी
चारों कोनों से काटे गए चतुर्थाशों का कुल क्षेत्रफल = 4 × 38.5 = 154 वर्ग सेमी
शेष भाग का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल – चतुर्थाशों का क्षेत्रफल = 784 – 154 = 630 वर्ग सेमी
अतः वर्ग के शेष भाग का क्षेत्रफल 630 वर्ग सेमी है।
24.
पानी से भरी हुई एक अर्ध-गोलाकार टंकी को एक पाइप द्वारा 3½ ली प्रति सेकंड की दर से खाली किया जाता है। यदि टंकी का व्यास 3 मी है तो वह कितने समय में पूरी खाली हो जायेगी?
A hemispherical tank full of water is emptied by a pipe at the rate of 3½ litre per second. How much time will it take to empty the full tank if it is 3 metre in diameter.
हल:
टंकी का व्यास = 3 मी, अतः त्रिज्या r = 3/2 = 1.5 मी
अर्ध-गोलाकार टंकी का आयतन = (2/3)πr³ = (2/3) × (22/7) × (1.5)³
= (2/3) × (22/7) × 3.375 = (2 × 22 × 3.375) / (3 × 7)
= (148.5) / 21 = 7.0714 घन मी (लगभग)
1 घन मी = 1000 लीटर, अतः आयतन = 7.0714 × 1000 = 7071.4 लीटर
पाइप द्वारा खाली करने की दर = 3½ = 7/2 लीटर प्रति सेकंड
समय = कुल आयतन / दर = 7071.4 / (7/2) = 7071.4 × 2/7
= 14142.8 / 7 = 2020.4 सेकंड
सेकंड को मिनट में बदलने पर: 2020.4 / 60 = 33.67 मिनट (लगभग 33 मिनट 40 सेकंड)
अतः टंकी को खाली होने में लगभग 33 मिनट 40 सेकंड लगेंगे।
25.
एक पासे को एक बार फेंका जाता है। प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:
i) एक सम संख्या
ii) 3 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या।
A die is thrown once. Find the probability of getting —
i) an even number
ii) a number lying between 3 and 6.
हल:
एक पासे को फेंकने पर कुल संभावित परिणाम = 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6)
i) सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता:
सम संख्याएँ = {2, 4, 6} ⇒ अनुकूल परिणाम = 3
प्रायिकता = अनुकूल परिणाम / कुल परिणाम = 3/6 = 1/2
ii) 3 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता:
3 और 6 के बीच की संख्याएँ = {4, 5} (3 और 6 को शामिल नहीं करते) ⇒ अनुकूल परिणाम = 2
प्रायिकता = 2/6 = 1/3
उत्तर: i) 1/2, ii) 1/3
26.
ग्राफ द्वारा जाँच कीजिए कि समीकरण युग्म x + 3y – 6 = 0 और 2x – 3y – 2 = 0 संगत हैं। यदि ऐसा है, तो इनका हल ज्ञात कीजिए। x-अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए।
Check graphically whether the pair of equations x + 3y – 6 = 0 and 2x – 3y – 2 = 0 is consistent. If so, find the solution. Shade the triangular region formed by these lines and the y-axis.
हल:
दिए गए समीकरण:
समीकरण 1: x + 3y – 6 = 0 ⇒ x + 3y = 6
समीकरण 2: 2x – 3y – 2 = 0 ⇒ 2x – 3y = 2
ग्राफ के लिए बिंदु ज्ञात करना:
समीकरण 1 (x + 3y = 6):
यदि x = 0, तो 0 + 3y = 6 ⇒ y = 2 ⇒ बिंदु A(0, 2)
यदि y = 0, तो x + 0 = 6 ⇒ x = 6 ⇒ बिंदु B(6, 0)
यदि x = 3, तो 3 + 3y = 6 ⇒ 3y = 3 ⇒ y = 1 ⇒ बिंदु C(3, 1)
समीकरण 2 (2x – 3y = 2):
यदि x = 0, तो 0 – 3y = 2 ⇒ y = –2/3 ⇒ बिंदु D(0, –2/3)
यदि y = 0, तो 2x – 0 = 2 ⇒ x = 1 ⇒ बिंदु E(1, 0)
यदि x = 4, तो 8 – 3y = 2 ⇒ –3y = –6 ⇒ y = 2 ⇒ बिंदु F(4, 2)
ग्राफीय विश्लेषण:
दोनों रेखाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं, अतः समीकरण युग्म संगत है।
प्रतिच्छेद बिंदु (हल) ज्ञात करना:
समीकरण 1 और 2 को जोड़ने पर:
(x + 3y) + (2x – 3y) = 6 + 2
⇒ 3x = 8 ⇒ x = 8/3
x का मान समीकरण 1 में रखने पर:
8/3 + 3y = 6 ⇒ 3y = 6 – 8/3 = (18 – 8)/3 = 10/3 ⇒ y = 10/9
अतः हल: x = 8/3, y = 10/9
त्रिभुजाकार पटल:
रेखाएँ और y-अक्ष (x = 0) से बना त्रिभुज:
y-अक्ष पर प्रतिच्छेद बिंदु: A(0, 2) और D(0, –2/3)
दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु: (8/3, 10/9)
इन तीन बिंदुओं से बने त्रिभुज को छायांकित किया जाता है।
नोट: ग्राफ पेपर पर इन बिंदुओं को अंकित कर रेखाएँ खींचकर त्रिभुज को छायांकित करें।
27. सिद्ध कीजिए कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
Prove that the ratio of the areas of two similar triangles is equal to the square of the ratio of their corresponding sides.
हल: मान लीजिए दो समरूप त्रिभुज ABC और DEF हैं, जिनमें ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F और संगत भुजाओं का अनुपात AB/DE = BC/EF = AC/DF = k है।
त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = (1/2) × आधार × ऊँचाई। दोनों त्रिभुजों में ऊँचाई भी संगत भुजाओं के समान अनुपात में होती है।
अतः, क्षेत्रफल(ABC) / क्षेत्रफल(DEF) = (AB²)/(DE²) = (BC²)/(EF²) = (AC²)/(DF²) = k²।
इस प्रकार, दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
28. यदि A(-5, 7), B(-4, -5), C(-1, -6) और D(4, 5) एक चतुर्भुज ABCD के शीर्ष हैं तो इस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
If A(-5, 7), B(-4, -5), C(-1, -6) and D(4, 5) are the vertices of a quadrilateral, find the area of the quadrilateral ABCD.
हल: चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए इसे दो त्रिभुजों ABC और ACD में विभाजित करते हैं।
त्रिभुज ABC के लिए: A(-5,7), B(-4,-5), C(-1,-6)
क्षेत्रफल = (1/2) | x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂) |
= (1/2) | -5(-5 + 6) + (-4)(-6 - 7) + (-1)(7 + 5) |
= (1/2) | -5(1) + (-4)(-13) + (-1)(12) |
= (1/2) | -5 + 52 - 12 | = (1/2) × 35 = 17.5 वर्ग इकाई
त्रिभुज ACD के लिए: A(-5,7), C(-1,-6), D(4,5)
क्षेत्रफल = (1/2) | -5(-6 - 5) + (-1)(5 - 7) + 4(7 + 6) |
= (1/2) | -5(-11) + (-1)(-2) + 4(13) |
= (1/2) | 55 + 2 + 52 | = (1/2) × 109 = 54.5 वर्ग इकाई
चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = 17.5 + 54.5 = 72 वर्ग इकाई
अथवा / OR
शीर्षों (0, -1), (2, 1) और (0, 3) वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। इस क्षेत्रफल का दिए हुए त्रिभुज के क्षेत्रफल के साथ अनुपात ज्ञात कीजिए।
Find the area of the triangle formed by joining the mid-points of the sides of the triangle whose vertices are (0, -1), (2, 1) and (0, 3). Find the ratio of this area to the area of the given triangle.
हल: माना त्रिभुज के शीर्ष A(0,-1), B(2,1), C(0,3) हैं।
भुजाओं के मध्य बिंदु:
AB का मध्य बिंदु D = ((0+2)/2, (-1+1)/2) = (1, 0)
BC का मध्य बिंदु E = ((2+0)/2, (1+3)/2) = (1, 2)
CA का मध्य बिंदु F = ((0+0)/2, (-1+3)/2) = (0, 1)
त्रिभुज DEF का क्षेत्रफल:
= (1/2) | 1(2 - 1) + 1(1 - 0) + 0(0 - 2) |
= (1/2) | 1(1) + 1(1) + 0 | = (1/2) × 2 = 1 वर्ग इकाई
दिए गए त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल:
= (1/2) | 0(1 - 3) + 2(3 + 1) + 0(-1 - 1) |
= (1/2) | 0 + 2(4) + 0 | = (1/2) × 8 = 4 वर्ग इकाई
अतः, क्षेत्रफलों का अनुपात = 1 : 4
29. एक मोटर बोट जिसकी स्थिर जल में चाल 9 किमी/घंटा है, 12 किमी धारा के प्रतिकूल जाने में, वही दूरी धारा के अनुकूल जाने की अपेक्षा 1 घंटा अधिक लेती है। धारा की चाल ज्ञात कीजिए।
A motor boat whose speed is 9 km/h in still water takes 1 hour more to go 12 km upstream than to return downstream to the same distance. Find the speed of the stream.
हल:
माना धारा की चाल = x किमी/घंटा है।
स्थिर जल में बोट की चाल = 9 किमी/घंटा
धारा के अनुकूल चाल = (9 + x) किमी/घंटा
धारा के प्रतिकूल चाल = (9 - x) किमी/घंटा
दूरी = 12 किमी
धारा के प्रतिकूल जाने में लगा समय = 12/(9 - x) घंटे
धारा के अनुकूल जाने में लगा समय = 12/(9 + x) घंटे
प्रश्नानुसार, धारा के प्रतिकूल जाने में 1 घंटा अधिक लगता है:
12/(9 - x) - 12/(9 + x) = 1
⇒ [12(9 + x) - 12(9 - x)] / [(9 - x)(9 + x)] = 1
⇒ [108 + 12x - 108 + 12x] / (81 - x²) = 1
⇒ 24x / (81 - x²) = 1
⇒ 24x = 81 - x²
⇒ x² + 24x - 81 = 0
⇒ x² + 27x - 3x - 81 = 0
⇒ x(x + 27) - 3(x + 27) = 0
⇒ (x + 27)(x - 3) = 0
⇒ x = 3 या x = -27 (चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती)
अतः धारा की चाल = 3 किमी/घंटा है।
30. विद्यार्थियों के एक समूह द्वारा एक मोहल्ले के 20 परिवारों पर किये गये सर्वेक्षण के परिणामस्वरूप विभिन्न परिवारों के सदस्यों की संख्या से संबंधित आँकड़े निम्नानुसार प्राप्त हुए। इन आँकड़ों से बहुलक ज्ञात कीजिए।
| परिवार माप (सदस्यों की संख्या) | परिवारों की संख्या |
|---|---|
| 1-3 | 7 |
| 3-5 | 8 |
| 5-7 | 2 |
| 7-9 | 2 |
| 9-11 | 1 |
हल:
बहुलक वर्ग वह वर्ग है जिसकी बारंबारता सबसे अधिक होती है। यहाँ सबसे अधिक बारंबारता 8 है, जो वर्ग 3-5 में है।
अतः बहुलक वर्ग = 3-5
बहुलक सूत्र: Mode = L + [(f₁ - f₀) / (2f₁ - f₀ - f₂)] × h
जहाँ:
- L = बहुलक वर्ग की निचली सीमा = 3
- f₁ = बहुलक वर्ग की बारंबारता = 8
- f₀ = बहुलक वर्ग से पहले वर्ग की बारंबारता = 7
- f₂ = बहुलक वर्ग के बाद वर्ग की बारंबारता = 2
- h = वर्ग अंतराल = 2
बहुलक = 3 + [(8 - 7) / (2×8 - 7 - 2)] × 2
= 3 + [1 / (16 - 9)] × 2
= 3 + (1/7) × 2
= 3 + 2/7
= 3 + 0.2857
= 3.2857 (लगभग)
अतः दिए गए आँकड़ों का बहुलक लगभग 3.29 है।
अथवा
निम्नलिखित आँकड़ों की माध्यिका 28.5 है। यदि बारंबारताओं का योग 60 हो, तो x और y के मान ज्ञात कीजिए:
| वर्ग अन्तराल | बारंबारता |
|---|---|
| 0-10 | 5 |
| 10-20 | x |
| 20-30 | 20 |
| 30-40 | 15 |
| 40-50 | y |
| 50-60 | 5 |
हल:
दिया है: बारंबारताओं का योग = 60
⇒ 5 + x + 20 + 15 + y + 5 = 60
⇒ 45 + x + y = 60
⇒ x + y = 15 ...(i)
माध्यिका = 28.5 है, जो वर्ग 20-30 में स्थित है।
अतः माध्यिका वर्ग = 20-30
माध्यिका सूत्र: Median = L + [(N/2 - cf) / f] × h
जहाँ:
- L = माध्यिका वर्ग की निचली सीमा = 20
- N = कुल बारंबारता = 60
- N/2 = 30
- cf = माध्यिका वर्ग से पहले की संचयी बारंबारता = 5 + x
- f = माध्यिका वर्ग की बारंबारता = 20
- h = वर्ग अंतराल = 10
28.5 = 20 + [(30 - (5 + x)) / 20] × 10
⇒ 28.5 - 20 = [(25 - x) / 20] × 10
⇒ 8.5 = (25 - x) / 2
⇒ 17 = 25 - x
⇒ x = 8
समीकरण (i) से: 8 + y = 15
⇒ y = 7
अतः x = 8 और y = 7 हैं।
Question 1
A survey which is conducted on 20 households in a locality by a group of students resulted in the following frequency table for the number of family members in a household. Find the mode of this data:
| Family size | 1–3 | 3–5 | 5–7 | 7–9 | 9–11 |
|---|---|---|---|---|---|
| Number of families | 7 | 8 | 2 | 2 | 1 |
Solution:
To find the mode, identify the class interval with the highest frequency. Here, the highest frequency is 8, which corresponds to the class interval 3–5.
Thus, the modal class is 3–5.
Using the mode formula for grouped data:
Mode = L + [(f₁ – f₀) / (2f₁ – f₀ – f₂)] × h
Where:
- L = lower limit of modal class = 3
- f₁ = frequency of modal class = 8
- f₀ = frequency of class preceding modal class = 7
- f₂ = frequency of class succeeding modal class = 2
- h = class size = 2
Mode = 3 + [(8 – 7) / (2×8 – 7 – 2)] × 2
Mode = 3 + [1 / (16 – 9)] × 2
Mode = 3 + (1/7) × 2
Mode = 3 + 2/7
Mode = 3 + 0.2857
Mode ≈ 3.29
OR
The median of the following distribution given below is 28.5. If the sum of the frequencies is 60, then find the values of x and y.
| Class-interval | 0–10 | 10–20 | 20–30 | 30–40 | 40–50 | 50–60 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Frequency | 5 | x | 20 | 5 | y | 5 |
Solution:
Given: Median = 28.5, Total frequency (N) = 60.
First, find cumulative frequencies:
| Class | Frequency | Cumulative Frequency |
|---|---|---|
| 0–10 | 5 | 5 |
| 10–20 | x | 5 + x |
| 20–30 | 20 | 25 + x |
| 30–40 | 5 | 30 + x |
| 40–50 | y | 30 + x + y |
| 50–60 | 5 | 35 + x + y |
Since total frequency = 60, we have:
35 + x + y = 60 → x + y = 25 …(1)
Median = 28.5 lies in the class 20–30 (since cumulative frequency just before this class is 5 + x, and median position is N/2 = 30).
So, median class = 20–30.
Using median formula:
Median = L + [(N/2 – cf) / f] × h
Where:
- L = lower limit of median class = 20
- N/2 = 30
- cf = cumulative frequency of class preceding median class = 5 + x
- f = frequency of median class = 20
- h = class size = 10
28.5 = 20 + [(30 – (5 + x)) / 20] × 10
28.5 – 20 = [(25 – x) / 20] × 10
8.5 = (25 – x) / 2
17 = 25 – x
x = 8
From equation (1): 8 + y = 25 → y = 17
Thus, x = 8 and y = 17.