RBSE Class 10th 2013 Mathematics-S-09-2013 Previous Year Papers
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Paper details
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| Board | RBSE |
|---|---|
| Class | Class 10th |
| Exam year | 2013 |
| Subject | Mathematics-S-09-2013 |
| Resource type | Previous Year Papers |
| Category | RBSE Previous Year Question Papers |
| Website | RBSE Solution |
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How to practise with this question paper
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RBSE Class 10th 2013 Mathematics-S-09-2013
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Rajasthan Board Class 10th Mathematics-S-09-2013 2013 solved Previous Year Question Papers
माध्यमिक परीक्षा, 2013
SECONDARY EXAMINATION, 2013
गणित
MATHEMATICS
समय : 3¼ घण्टे पूर्णांक : 80
परीक्षार्थियों के लिए सामान्य निर्देश :
GENERAL INSTRUCTIONS TO THE EXAMINEES :
- परीक्षार्थी सर्वप्रथम अपने प्रश्नपत्र पर नामांक अनिवार्यतः लिखें ।
Candidate must write first his / her Roll No. on the question paper compulsorily. - सभी प्रश्न करने अनिवार्य हैं ।
All the questions are compulsory. - प्रत्येक प्रश्न का उत्तर दी गई उत्तर पुस्तिका में ही लिखें ।
Write the answer to each question in the given answer-book only. - जिन प्रश्नों में आन्तरिक खण्ड हैं, उन सभी के उत्तर एक साथ ही लिखें ।
For questions having more than one part, the answers to those parts are to be written together in continuity.
No. of Questions — 30
No. of Printed Pages — 1
S—009—Maths. [S-ii] | Turn over
General Instructions (Continued)
5. प्रश्न पत्र के हिन्दी व अंग्रेजी रूपांतर में किसी प्रकार की त्रुटि / अंतर / विरोधाभास होने पर हिन्दी भाषा के प्रश्न को ही सही मानें ।
If there is any error / difference / contradiction in Hindi and English versions of the question paper, the question of Hindi version should be treated valid.
6.
| खण्ड (Part) | प्रश्न संख्या (Question Nos.) | अंक प्रत्येक प्रश्न (Marks per question) |
|---|---|---|
| A | 1-10 | 1 |
| B | 11-15 | 2 |
| C | 16-25 | 3 |
| D | 26-30 | 6 |
7. प्रश्न क्रमांक 28 व 30 में आन्तरिक विकल्प हैं ।
There are internal choices in Question Nos. 28 and 30.
8. अपनी उत्तर पुस्तिका के पृष्ठों के दोनों ओर लिखिए । यदि कोई रफ कार्य करना हो, तो उत्तर-पुस्तिका के अन्तिम पृष्ठों पर करें और इन्हें तिरुछी लाइनों से काटकर उन पर ‘Rough Work’ लिख दें ।
Write on both sides of the pages of your answer-book. If any rough work is to be done, do it on last pages of the answer-book and cross with slant lines and write ‘Rough Work’ on them.
9. प्रश्न क्रमांक 26 का लेखाचित्र ग्राफ पेपर पर बनाइए ।
Draw the graph of Question No. 26 on graph paper.
S—09—Maths. [S-ii]
खंड - & (ए4र - &)
-
प्रश्न 1. संख्याएँ 44 और 99 का महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) ज्ञात कीजिये।
Find the H.C.F. of numbers 44 and 99.
हल: 44 = 2 × 2 × 11
99 = 3 × 3 × 11
उभयनिष्ठ गुणनखंड = 11
अतः H.C.F. = 11Solution: 44 = 2 × 2 × 11, 99 = 3 × 3 × 11. Common factor = 11. Hence H.C.F. = 11.
-
प्रश्न 2. 7 पेंसिल तथा 5 पेन का कुल मूल्य 29 रु० है। इसे बीजगणितीय रूप में लिखिए।
Total price of 7 pencils and 5 pens is Rs. 29. Write it down in the algebraic form.
हल: माना एक पेंसिल का मूल्य = x रु० और एक पेन का मूल्य = y रु०।
तब, 7x + 5y = 29Solution: Let cost of one pencil = Rs. x and one pen = Rs. y. Then, 7x + 5y = 29.
-
प्रश्न 3. समांतर श्रेढ़ी 2, 7, 12, ...... का 11वाँ पद ज्ञात कीजिये।
Find the eleventh term of the A.P. 2, 7, 12, ...... .
हल: प्रथम पद a = 2, सार्वअंतर d = 7 - 2 = 5
nवाँ पद = a + (n-1)d
11वाँ पद = 2 + (11-1) × 5 = 2 + 10 × 5 = 2 + 50 = 52Solution: First term a = 2, common difference d = 7 - 2 = 5. nth term = a + (n-1)d. 11th term = 2 + (11-1)×5 = 2 + 50 = 52.
-
प्रश्न 4. उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिये, जो बिन्दुओं (-1, 7) और (4, -3) के जोड़ को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।
Find the coordinates of the point which divides the join of points (-1, 7) and (4, -3) in the ratio 2 : 3.
हल: माना बिन्दु P(x, y) है। विभाजन सूत्र से:
x = (m₁x₂ + m₂x₁)/(m₁ + m₂) = (2×4 + 3×(-1))/(2+3) = (8 - 3)/5 = 5/5 = 1
y = (m₁y₂ + m₂y₁)/(m₁ + m₂) = (2×(-3) + 3×7)/(2+3) = (-6 + 21)/5 = 15/5 = 3
अतः अभीष्ट बिन्दु = (1, 3)Solution: Let point be P(x, y). Using section formula: x = (2×4 + 3×(-1))/(2+3) = 1, y = (2×(-3) + 3×7)/(2+3) = 3. Hence point = (1, 3).
-
प्रश्न 5. बिन्दु (7, -3) की y-अक्ष से दूरी लिखिये।
Write down the distance of the point (7, -3) from y-axis.
हल: y-अक्ष से दूरी = x-निर्देशांक का निरपेक्ष मान = |7| = 7 इकाई।
Solution: Distance from y-axis = absolute value of x-coordinate = |7| = 7 units.
-
प्रश्न 6. यदि एक बिन्दु P से O केन्द्र वाले किसी वृत्त पर PA तथा PB स्पर्श रेखाएँ परस्पर 80° के कोण पर झुकी हों, तो ∠POA ज्ञात कीजिये।
If tangents PA and PB from a point P to a circle with centre O are inclined to each other at an angle of 80°, then find ∠POA.
हल: चूँकि PA और PB स्पर्श रेखाएँ हैं, OA ⟂ PA और OB ⟂ PB।
चतुर्भुज OAPB में, ∠OAP = ∠OBP = 90°
∠APB = 80° (दिया है)
∴ ∠AOB = 360° - (90° + 90° + 80°) = 100°
ΔOAP और ΔOBP सर्वांगसम हैं (RHS), अतः ∠POA = ∠POB = ∠AOB/2 = 100°/2 = 50°Solution: Since PA and PB are tangents, OA ⟂ PA and OB ⟂ PB. In quadrilateral OAPB, ∠OAP = ∠OBP = 90°, ∠APB = 80°. So ∠AOB = 360° - (90°+90°+80°) = 100°. Triangles OAP and OBP are congruent (RHS), so ∠POA = ∠POB = ∠AOB/2 = 50°.
-
प्रश्न 7. यदि एक वृत्त की त्रिज्या 14 सेमी हो, तो वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
If the radius of a circle is 14 cm, then find the area of the circle.
हल: वृत्त का क्षेत्रफल = πr² = (22/7) × 14 × 14 = 22 × 2 × 14 = 616 वर्ग सेमी।
Solution: Area of circle = πr² = (22/7) × 14 × 14 = 22 × 2 × 14 = 616 sq cm.
8. 7.5 सेमी रेखा खण्ड को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित कीजिये । केवल आकृति बनाइये ।
Divide the line segment of 7.5 cm in the ratio of 2 : 3. Draw figure only.
हल / Solution:
रेखा खण्ड AB = 7.5 सेमी खींचिए। बिन्दु A से एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण AX खींचिए। AX पर 2 + 3 = 5 समान भाग (A₁, A₂, A₃, A₄, A₅) अंकित कीजिए। A₅ को B से मिलाइए। A₂ से A₅B के समान्तर रेखा खींचिए जो AB को बिन्दु P पर काटती है। अब AP : PB = 2 : 3 होगा।
(आकृति स्वयं बनाएं)
9. त्रिज्या r वाले वृत्त के एक त्रिज्य खंड जिसका कोण अंशों में θ है, तो संगत चाप की लम्बाई का सूत्र लिखिये ।
Radius of the circle is r and θ is the angle of the sector in degree. Write down the formula of length of corresponding arc.
उत्तर / Answer:
चाप की लम्बाई (Length of arc) = (θ/360) × 2πr
या, चाप की लम्बाई = (πrθ)/180
10. किसी प्रयोग की सभी प्रारम्भिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग लिखिये ।
Write down the sum of the probabilities of all the elementary events of an experiment.
उत्तर / Answer:
सभी प्रारम्भिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग 1 (एक) होता है।
The sum of the probabilities of all elementary events of an experiment is 1.
खंड-8 / PART - 8
11. यदि ΔABC में DE || BC है, AD = 1.5 सेमी, BD = 3 सेमी तथा AE = 1 सेमी हो, तो EC ज्ञात कीजिये ।
If DE || BC in ΔABC, AD = 1.5 cm, BD = 3 cm and AE = 1 cm, then find EC.
हल / Solution:
ΔABC में, DE || BC है। अतः थेल्स प्रमेय (मूल आनुपातिकता प्रमेय) से:
AD / DB = AE / EC
मान रखने पर:
1.5 / 3 = 1 / EC
⇒ 1.5 × EC = 3 × 1
⇒ EC = 3 / 1.5
⇒ EC = 2 सेमी
अतः EC = 2 सेमी है।
12. यदि sin A = 3/4 हो, तो cos A और cosec A ज्ञात कीजिये ।
If sin A = 3/4, then find cos A and cosec A.
हल / Solution:
दिया है: sin A = 3/4
हम जानते हैं: sin² A + cos² A = 1
⇒ (3/4)² + cos² A = 1
⇒ 9/16 + cos² A = 1
⇒ cos² A = 1 - 9/16 = 7/16
⇒ cos A = √7 / 4 (धनात्मक मान लेते हैं क्योंकि A न्यूनकोण है)
अब, cosec A = 1 / sin A = 1 / (3/4) = 4/3
अतः cos A = √7/4 और cosec A = 4/3 है।
प्रश्न 3 (Question 3)
tan 65° / cot 25° का मान ज्ञात कीजिए।
Find the value of tan 65° / cot 25°.
हल (Solution):
हम जानते हैं कि cot θ = tan (90° - θ)
इसलिए, cot 25° = tan (90° - 25°) = tan 65°
अतः, tan 65° / cot 25° = tan 65° / tan 65° = 1
प्रश्न 4 (Question 4)
sin 35° cos 55° + cos 35° sin 55° का मान ज्ञात कीजिए।
Find the value of sin 35° cos 55° + cos 35° sin 55°.
हल (Solution):
हम जानते हैं कि sin A cos B + cos A sin B = sin (A + B)
यहाँ, A = 35° और B = 55°
अतः, sin 35° cos 55° + cos 35° sin 55° = sin (35° + 55°) = sin 90° = 1
प्रश्न 5 (Question 5)
1 सेमी व्यास वाली 8 सेमी लम्बी ताँबे की छड़ को एक समान चौड़ाई वाले 8 मीटर लम्बे एक तार के रूप में खींचा जाता है। तार की मोटाई ज्ञात कीजिए।
A copper rod of diameter 1 cm and length 8 cm is drawn into a wire of length 8 m of uniform thickness. Find the thickness of the wire.
हल (Solution):
दिया है: छड़ का व्यास = 1 सेमी, त्रिज्या (r₁) = 0.5 सेमी, छड़ की लंबाई (h₁) = 8 सेमी
तार की लंबाई (h₂) = 8 मीटर = 800 सेमी
चूँकि ताँबे की छड़ को पिघलाकर तार बनाया जाता है, आयतन समान रहेगा।
छड़ का आयतन = π r₁² h₁ = π × (0.5)² × 8 = π × 0.25 × 8 = 2π घन सेमी
माना तार की त्रिज्या r₂ सेमी है। तार का आयतन = π r₂² h₂ = π × r₂² × 800
आयतन समान होने पर:
π × r₂² × 800 = 2π
r₂² = 2 / 800 = 1 / 400
r₂ = √(1/400) = 1/20 = 0.05 सेमी
तार की मोटाई (व्यास) = 2 × r₂ = 2 × 0.05 = 0.1 सेमी
PART - C (भाग - स)
प्रश्न 6 (Question 6)
उस बड़े से बड़े धनात्मक पूर्णांक को ज्ञात कीजिए जो 396, 436 और 542 को विभाजित करने के पश्चात् शेषफल क्रमशः 5, 11 और 15 रहता हो।
Find the highest positive integer by which dividing the numbers 396, 436 and 542 remainders are 5, 11 and 15 respectively.
हल (Solution):
माना अभीष्ट संख्या x है।
प्रश्नानुसार, जब 396 को x से भाग दिया जाता है तो शेषफल 5 बचता है। इसका अर्थ है कि (396 - 5) = 391, x से पूर्णतः विभाज्य है।
इसी प्रकार, (436 - 11) = 425, x से पूर्णतः विभाज्य है।
और (542 - 15) = 527, x से पूर्णतः विभाज्य है।
अतः x, 391, 425 और 527 का महत्तम समापवर्तक (HCF) होगा।
अब, 391, 425 और 527 का HCF ज्ञात करते हैं:
391 = 17 × 23
425 = 5² × 17
527 = 17 × 31
उभयनिष्ठ गुणनखंड = 17
अतः HCF = 17
इसलिए, अभीष्ट संख्या 17 है।
प्रश्न 7 (Question 7)
x³ - 8x² + 8x - 5 को x - 1 - x² से भाग दीजिए और विभाजन एल्गोरिथ्म की सत्यता की जाँच कीजिए।
Divide x³ - 8x² + 8x - 5 by x - 1 - x² and verify the division algorithm.
हल (Solution):
भाजक (Divisor) = x - 1 - x² = -x² + x - 1
भाज्य (Dividend) = x³ - 8x² + 8x - 5
भाजक को मानक रूप में लिखने पर: -x² + x - 1
भाग देने पर:
-x + 7
_______________
-x²+x-1 | x³ - 8x² + 8x - 5
x³ - x² + x
------------
-7x² + 7x - 5
-7x² + 7x - 7
------------
2
अतः, भागफल (Quotient) = -x + 7, शेषफल (Remainder) = 2
विभाजन एल्गोरिथ्म की जाँच:
भाजक × भागफल + शेषफल = (-x² + x - 1)(-x + 7) + 2
= (-x²)(-x) + (-x²)(7) + (x)(-x) + (x)(7) + (-1)(-x) + (-1)(7) + 2
= x³ - 7x² - x² + 7x + x - 7 + 2
= x³ - 8x² + 8x - 5
= भाज्य
अतः विभाजन एल्गोरिथ्म सत्यापित होता है।
20.
प्रश्न: सुरेश ने ₹5,000 के मासिक वेतन पर कार्य प्रारम्भ किया और प्रत्येक वर्ष ₹200 की वेतन वृद्धि प्राप्त की। किस वर्ष में उसका वेतन ₹7,000 हो गया?
Suresh started work at an annual salary of Rs. 5,000 and received an increment of Rs. 200 each year. In which year did his income reach Rs. 7,000?
हल: माना कि n वर्षों के बाद वेतन ₹7,000 हो जाता है।
प्रारंभिक वेतन (a) = ₹5,000
वार्षिक वृद्धि (d) = ₹200
n वर्षों के बाद वेतन = a + (n-1)d = 5000 + (n-1) × 200
प्रश्नानुसार: 5000 + (n-1) × 200 = 7000
⇒ (n-1) × 200 = 2000
⇒ n-1 = 10
⇒ n = 11
अतः 11वें वर्ष में उसका वेतन ₹7,000 हो जाएगा।
2.
प्रश्न: यदि tan 2A = cot (A - 8°), जहाँ 2A एक न्यून कोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए।
If tan 2A = cot (A - 8°), where 2A is an acute angle, then find the value of A.
हल: tan 2A = cot (A - 8°)
⇒ tan 2A = tan [90° - (A - 8°)] (∵ cot θ = tan (90° - θ))
⇒ 2A = 90° - A + 8°
⇒ 2A + A = 98°
⇒ 3A = 98°
⇒ A = 98°/3 = 32.67° (लगभग) या 32°40'
चूँकि 2A न्यून कोण है, अतः A = 32°40' (लगभग) मान्य है।
6.
प्रश्न: एक समतल जमीन पर खड़ी मीनार की छाया उस स्थिति में 40 मीटर अधिक लम्बी हो जाती है जबकि सूर्य का उन्नतांश 60° से घटकर 30° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
The shadow of a tower standing on a plane ground is found to be 40 m longer when the sun’s altitude reduces to 30° from 60°. Find the height of the tower.
हल: माना मीनार की ऊँचाई = h मीटर है।
जब सूर्य का उन्नतांश 60° है, तब छाया की लंबाई = x मीटर (माना)।
tan 60° = h/x ⇒ √3 = h/x ⇒ x = h/√3
जब सूर्य का उन्नतांश 30° है, तब छाया की लंबाई = (x + 40) मीटर।
tan 30° = h/(x+40) ⇒ 1/√3 = h/(x+40) ⇒ x+40 = h√3
अब, x का मान रखने पर:
h/√3 + 40 = h√3
⇒ 40 = h√3 - h/√3
⇒ 40 = h(√3 - 1/√3)
⇒ 40 = h( (3-1)/√3 )
⇒ 40 = h(2/√3)
⇒ h = 40 × √3/2 = 20√3 मीटर
अतः मीनार की ऊँचाई = 20√3 मीटर (लगभग 34.64 मीटर) है।
सिद्ध कीजिए:
प्रश्न: सिद्ध कीजिए कि एक बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लम्बाइयाँ बराबर होती हैं।
Prove that the lengths of tangents drawn from an external point to the circle are equal.
दिया है: O केंद्र वाले वृत्त के बाहर एक बिंदु P है। P से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ PA और PB खींची गई हैं, जहाँ A और B स्पर्श बिंदु हैं।
सिद्ध करना है: PA = PB
रचना: OA, OB और OP को मिलाइए।
उपपत्ति: चूँकि स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है,
∴ ∠OAP = ∠OBP = 90°
अब, ΔOAP और ΔOBP में:
OA = OB (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
OP = OP (उभयनिष्ठ भुजा)
∠OAP = ∠OBP = 90° (सिद्ध)
∴ ΔOAP ≅ ΔOBP (RHS सर्वांगसमता नियम से)
अतः PA = PB (सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ)
इस प्रकार, एक बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लम्बाइयाँ बराबर होती हैं।
22.
Construct a triangle with sides 5 cm, 6 cm and 7 cm and then another triangle whose sides are 2/3 times the corresponding sides of the first triangle. Write down steps of construction.
Steps of Construction:
- Draw a line segment BC = 7 cm.
- With B as centre and radius 5 cm, draw an arc.
- With C as centre and radius 6 cm, draw another arc intersecting the previous arc at A.
- Join AB and AC. Thus, ΔABC is the required triangle with sides 5 cm, 6 cm, and 7 cm.
- Draw a ray BX making an acute angle with BC on the opposite side of A.
- Mark 3 points B₁, B₂, B₃ on BX such that BB₁ = B₁B₂ = B₂B₃.
- Join B₃C.
- From B₂, draw a line parallel to B₃C meeting BC at C'.
- From C', draw a line parallel to CA meeting BA at A'.
- Thus, ΔA'BC' is the required triangle whose sides are 2/3 times the corresponding sides of ΔABC.
23.
Find the area of the sector of a circle with radius 4 cm and of angle 60°. Also find the area of the corresponding major sector. (Use π = 3.14)
Solution:
Radius (r) = 4 cm, Angle (θ) = 60°
Area of sector = (θ/360°) × πr²
= (60°/360°) × 3.14 × 4 × 4
= (1/6) × 3.14 × 16
= (3.14 × 16) / 6
= 50.24 / 6
= 8.373 cm² (approximately)
Area of major sector = Area of circle – Area of minor sector
= πr² – 8.373
= 3.14 × 16 – 8.373
= 50.24 – 8.373
= 41.867 cm² (approximately)
Thus, area of minor sector = 8.37 cm² and area of major sector = 41.87 cm².
24.
A metallic sphere of radius 4.2 cm is melted and recast into the shape of a cylinder of radius 7 cm. Find the height of the cylinder.
Solution:
Radius of sphere (r₁) = 4.2 cm
Volume of sphere = (4/3)πr₁³ = (4/3) × π × (4.2)³
= (4/3) × π × 74.088
= (4 × 74.088 × π) / 3
= (296.352π) / 3
= 98.784π cm³
Radius of cylinder (r₂) = 7 cm
Let height of cylinder = h cm
Volume of cylinder = πr₂²h = π × 7² × h = 49πh cm³
Since sphere is melted and recast into cylinder, volumes are equal:
49πh = 98.784π
h = 98.784 / 49
h = 2.016 cm
Thus, the height of the cylinder is 2.016 cm.
25.
2 defective pens are accidentally mixed with 32 good ones. It is not possible to just look at a pen and tell whether it is defective or not. One pen is taken out at random from this lot. Determine the probability that the pen taken out is a good one.
Solution:
Total number of pens = 2 defective + 32 good = 34 pens
Number of good pens = 32
Probability (good pen) = (Number of favourable outcomes) / (Total number of outcomes)
= 32 / 34
= 16 / 17
Thus, the probability that the pen taken out is good is 16/17.
खंड - 0 / PART - 0
26.
हिंदी: क्रिकेट टीम के एक कोच ने एक बल्ला और 2 गेंदें 300 रु० में खरीदी। बाद में एक ही प्रकार के अन्य 2 बल्ले तथा 3 गेंदें 525 रु० में खरीदी। इस स्थिति को बीजगणितीय रूपों में व्यक्त कीजिये एवं इसको ग्राफीय विधि से हल कीजिए। यह भी ज्ञात कीजिए कि कोच एक बल्ला तथा एक गेंद कितने रुपयों में खरीद सकेगा?
English: Coach of a cricket team buys one bat and 2 balls for Rs. 300. Later he buys another 2 bats and 3 balls of the same kind for Rs. 525. Represent this situation algebraically and solve it by graphical method. Also find out that how much money coach will pay for the purchase of one bat and one ball.
Solution:
Let the cost of one bat = Rs. x and cost of one ball = Rs. y.
Algebraic representation:
- First purchase: x + 2y = 300 ...(i)
- Second purchase: 2x + 3y = 525 ...(ii)
Graphical method:
For equation (i): x + 2y = 300
- When x = 0, y = 150 → point (0, 150)
- When y = 0, x = 300 → point (300, 0)
For equation (ii): 2x + 3y = 525
- When x = 0, y = 175 → point (0, 175)
- When y = 0, x = 262.5 → point (262.5, 0)
Plot these points on a graph paper. The two lines intersect at point (75, 112.5).
Thus, x = 75, y = 112.5.
Cost of one bat and one ball: x + y = 75 + 112.5 = Rs. 187.5
Answer: Coach will pay Rs. 187.5 for one bat and one ball.
27.
हिंदी: 3 मीटर व्यास वाले एक वृत्ताकार पार्क की परिसीमा के एक बिन्दु पर एक खम्भा इस प्रकार गाड़ना है कि इस पार्क के एक व्यास के दोनों अन्त बिन्दुओं पर बने दो फाटकों A और B से खम्भे की दूरियों का अन्तर 7 मीटर हो। क्या ऐसा करना सम्भव है? यदि है, तो दोनों फाटकों से कितनी दूरियों पर खम्भा गाड़ना है?
English: A pole has to be erected at a point on the boundary of a circular park of diameter 3 metres in such a way that the difference of its distances from two diametrically opposite fixed gates A and B on the boundary is 7 metres. Is it possible to do so? If yes, at what distances from the two gates should the pole be erected?
Solution:
Let the pole be at point P on the boundary of the circular park. Let A and B be the two diametrically opposite gates. Given diameter = 3 m, so radius = 1.5 m, and AB = 3 m (diameter).
Let PA = x metres and PB = y metres. Given: |x - y| = 7 ...(i)
Since A and B are endpoints of a diameter, angle APB = 90° (angle in a semicircle). By Pythagoras theorem:
PA² + PB² = AB² ⇒ x² + y² = 3² = 9 ...(ii)
From (i), let x - y = 7 (assuming x > y). Then x = y + 7.
Substitute in (ii): (y + 7)² + y² = 9
⇒ y² + 14y + 49 + y² = 9
⇒ 2y² + 14y + 40 = 0
⇒ y² + 7y + 20 = 0
Discriminant D = 7² - 4×1×20 = 49 - 80 = -31 < 0
Since D is negative, no real solution exists. Similarly, if y - x = 7, we get the same result.
Answer: It is not possible to erect the pole under the given conditions because the distances would have to satisfy both the Pythagorean theorem and the difference condition, which leads to a quadratic equation with no real roots.
प्रश्न 28
हिंदी संस्करण: यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए, तो सिद्ध कीजिए कि ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित होती हैं।
English Version: If a line is drawn parallel to one side of a triangle to intersect the other two sides in distinct points, then prove that the two sides are divided in the same ratio.
हल / Solution:
माना त्रिभुज ABC में, DE || BC है, जहाँ D भुजा AB पर और E भुजा AC पर स्थित है।
सिद्ध करना है: AD/DB = AE/EC
रचना: B और E को मिलाएँ, तथा C और D को मिलाएँ।
उपपत्ति:
त्रिभुज ADE और त्रिभुज BDE में, समान ऊँचाई (शीर्ष E से AB पर लंब) होने के कारण:
ar(ADE) / ar(BDE) = AD / DB ...(1)
इसी प्रकार, त्रिभुज ADE और त्रिभुज CDE में, समान ऊँचाई (शीर्ष D से AC पर लंब) होने के कारण:
ar(ADE) / ar(CDE) = AE / EC ...(2)
अब, चूँकि DE || BC है, त्रिभुज BDE और त्रिभुज CDE एक ही आधार DE और समान समांतर रेखाओं DE और BC के बीच स्थित हैं, अतः:
ar(BDE) = ar(CDE)
समीकरण (1) और (2) से,
AD/DB = AE/EC
इति सिद्धम्।
प्रश्न 28 (अथवा / OR)
हिंदी संस्करण: सिद्ध कीजिए कि यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो, तो पहली भुजा का सम्मुख कोण समकोण होता है।
English Version: Prove that in a triangle, if the square of one side is equal to the sum of the squares of the other two sides, then the angle opposite the first side is a right angle.
हल / Solution:
माना त्रिभुज ABC में, AC² = AB² + BC² है।
सिद्ध करना है: ∠B = 90°
रचना: एक समकोण त्रिभुज PQR बनाएँ जिसमें ∠Q = 90° हो, तथा PQ = AB और QR = BC हो।
उपपत्ति:
समकोण त्रिभुज PQR में, पाइथागोरस प्रमेय से:
PR² = PQ² + QR² = AB² + BC²
परंतु दिया है: AC² = AB² + BC²
अतः PR² = AC² ⇒ PR = AC
अब, त्रिभुज ABC और त्रिभुज PQR में:
AB = PQ (रचना से)
BC = QR (रचना से)
AC = PR (सिद्ध किया)
अतः SSS सर्वांगसमता से, ΔABC ≅ ΔPQR
इसलिए, ∠B = ∠Q = 90°
इति सिद्धम्।
प्रश्न 29
हिंदी संस्करण: शीर्षों A(0, -1), B(2, 1) और C(0, 3) वाले त्रिभुज ABC की भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। इस क्षेत्रफल का दिए हुए त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल के साथ अनुपात ज्ञात कीजिए।
English Version: Find the area of the triangle formed by joining the mid-points of the sides of the triangle ABC whose vertices are A(0, -1), B(2, 1) and C(0, 3). Find the ratio of this area to the area of the triangle ABC.
हल / Solution:
चरण 1: मध्य-बिन्दु ज्ञात करना
भुजा AB का मध्य-बिन्दु D: ((0+2)/2, (-1+1)/2) = (1, 0)
भुजा BC का मध्य-बिन्दु E: ((2+0)/2, (1+3)/2) = (1, 2)
भुजा CA का मध्य-बिन्दु F: ((0+0)/2, (3+(-1))/2) = (0, 1)
चरण 2: त्रिभुज DEF का क्षेत्रफल
सूत्र: क्षेत्रफल = ½ |x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)|
D(1,0), E(1,2), F(0,1) के लिए:
= ½ |1(2 - 1) + 1(1 - 0) + 0(0 - 2)|
= ½ |1(1) + 1(1) + 0|
= ½ |1 + 1| = ½ × 2 = 1 वर्ग इकाई
चरण 3: त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल
A(0,-1), B(2,1), C(0,3) के लिए:
= ½ |0(1 - 3) + 2(3 - (-1)) + 0((-1) - 1)|
= ½ |0 + 2(4) + 0|
= ½ × 8 = 4 वर्ग इकाई
चरण 4: अनुपात
क्षेत्रफल (DEF) : क्षेत्रफल (ABC) = 1 : 4
उत्तर: मध्य-बिन्दुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1 वर्ग इकाई, तथा क्षेत्रफलों का अनुपात = 1 : 4
प्रश्न 30
एक जीवन बीमा एजेंट 100 पॉलिसी धारकों की आयु के बंटन के निम्नलिखित आँकड़े ज्ञात करता है। माध्यक आयु परिकलित कीजिए, यदि पॉलिसी केवल उन्हीं व्यक्तियों को दी जाती है, जिसकी आयु 18 वर्ष या उससे अधिक हो परन्तु 60 वर्ष से कम हो।
| आयु (वर्षों में) | पॉलिसी धारकों की संख्या |
|---|---|
| 20 से कम | 2 |
| 25 से कम | 7 |
| 30 से कम | 24 |
| 35 से कम | 45 |
| 40 से कम | 78 |
| 45 से कम | 89 |
| 50 से कम | 92 |
| 55 से कम | 98 |
| 60 से कम | 100 |
हल:
यहाँ N = 100 है। माध्यक ज्ञात करने के लिए हम संचयी बारंबारता सारणी बनाते हैं।
| आयु वर्ग | बारंबारता (f) | संचयी बारंबारता (cf) |
|---|---|---|
| 20-25 | 2 | 2 |
| 25-30 | 7 - 2 = 5 | 7 |
| 30-35 | 24 - 7 = 17 | 24 |
| 35-40 | 45 - 24 = 21 | 45 |
| 40-45 | 78 - 45 = 33 | 78 |
| 45-50 | 89 - 78 = 11 | 89 |
| 50-55 | 92 - 89 = 3 | 92 |
| 55-60 | 100 - 92 = 8 | 100 |
N/2 = 100/2 = 50। संचयी बारंबारता 50 से ठीक बड़ी 78 है, जो वर्ग 40-45 में आती है।
अतः माध्यक वर्ग = 40-45
यहाँ, l = 40, cf = 45, f = 33, h = 5
माध्यक = l + [(N/2 - cf) / f] × h
= 40 + [(50 - 45) / 33] × 5
= 40 + (5/33) × 5
= 40 + 25/33
= 40 + 0.7576
= 40.76 (लगभग)
अतः माध्यक आयु लगभग 40.76 वर्ष है।
अथवा
गणित की एक परीक्षा में 30 विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त किए गए अंकों का बंटन निम्नलिखित है:
| प्राप्तांकों का वर्ग अन्तराल | 0-25 | 25-40 | 40-55 | 55-70 | 70-85 | 85-100 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| विद्यार्थियों की संख्या | 2 | 3 | 7 | 6 | 6 | 6 |
इन आँकड़ों से कल्पित माध्य विधि से माध्य ज्ञात कीजिए एवं बहुलक भी ज्ञात कीजिए।
हल:
भाग 1: कल्पित माध्य विधि से माध्य ज्ञात करना
हम कल्पित माध्य (A) = 47.5 लेते हैं (वर्ग 40-55 का मध्यबिंदु)। वर्ग माप (h) = 15 है।
| वर्ग अन्तराल | बारंबारता (f) | मध्यबिंदु (x) | d = x - A | u = d/h | f × u | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0-25 | 2 | 12.5 | -35 | -7/3 | -14/3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 25-40 | 3 | 32.5 | -15 | -1 | -3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 40-55 | 7 | 47.5 | 0 | 0 | 0 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 55-70 | 6 | 62.5 | 15 | 1 | 6 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 70-85 | 6 | 77.5 | 30 |
QuestionA Life Insurance agent found the following data for distribution of ages of 100 policy holders. Calculate the median age, if policies are given only to persons having age 8 years onwards but less than 60 years.
Solution (Median Age)Step 1: Convert the cumulative frequency distribution into a frequency distribution with class intervals. Since policies are given from age 8 years onwards but less than 60 years, we consider the first class as 8–20 (but data starts from below 20, so we take 0–20 as first class for calculation, though age 8–20 is relevant). However, to find median, we use the given cumulative frequencies. Let us form the frequency table:
Step 2: Total number of policy holders, N = 100. Median class is the class where cumulative frequency ≥ N/2 = 50. From the table, cf just above 50 is 78 (for class 35–40). So median class = 35–40. Step 3: Use median formula: Median = L + [(N/2 – cf) / f] × h Where: Median = 35 + [(50 – 45) / 33] × 5 = 35 + (5/33) × 5 = 35 + 25/33 ≈ 35 + 0.7576 = 35.76 years Thus, the median age is approximately 35.76 years. ORThe marks distribution of 30 students in a mathematics examination are as follows:
Find the mean by assumed mean method and find also the mode of the given data. Solution (Mean by Assumed Mean Method and Mode)Part 1: Mean by Assumed Mean Method Let assumed mean (A) = 47.5 (midpoint of class 40–55).
Mean = A + (Σfd / Σf) = 47.5 + (395 / 30) = 47.5 + 13.1667 = 60.6667 ≈ 60.67 Thus, mean marks = 60.67 (approximately). Part 2: Mode The modal class is the class with the highest frequency. Here, highest frequency is 8 (class 70–85). So modal class = 70–85. Mode = L + [(f1 – f0) / (2f1 – f0 – f2)] × h Where: Mode = 70 + [(8 – 6) / (2×8 – 6 – 4)] × 15 = 70 + [2 / (16 – 10)] × 15 = 70 + (2/6) × 15 = 70 + (1/3) × 15 = 70 + 5 = 75 Thus, the mode of the given data is 75 marks. |