RBSE Class 10th 2014 Mathematics-S-09-2014 Previous Year Papers
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Paper details
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| Board | RBSE |
|---|---|
| Class | Class 10th |
| Exam year | 2014 |
| Subject | Mathematics-S-09-2014 |
| Resource type | Previous Year Papers |
| Category | RBSE Previous Year Question Papers |
| Website | RBSE Solution |
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RBSE Class 10th 2014 Mathematics-S-09-2014
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Rajasthan Board Class 10th Mathematics-S-09-2014 2014 solved Previous Year Question Papers
माध्यमिक परीक्षा, 2014
SECONDARY EXAMINATION, 2014
गणित
MATHEMATICS
समय : 3 घण्टे पूर्णांक : 80
परीक्षार्थियों के लिए सामान्य निर्देश :
GENERAL INSTRUCTIONS TO THE EXAMINEES :
- परीक्षार्थी सर्वप्रथम अपने प्रश्नपत्र पर नामांक अनिवार्यत: लिखें ।
Candidate must write first his / her Roll No. on the question paper compulsorily. - सभी प्रश्न करने अनिवार्य हैं ।
All the questions are compulsory. - प्रत्येक प्रश्न का उत्तर दी गई उत्तर पुस्तिका में ही लिखें ।
Write the answer to each question in the given answer-book only. - जिन प्रश्नों में आन्तरिक खण्ड हैं, उन सभी के उत्तर एक साथ ही लिखें ।
For questions having more than one part, the answers to those parts are to be written together in continuity.
S—09—Maths. [ Turn over
General Instructions (Continued)
5. प्रश्न पत्र के हिन्दी व अंग्रेजी रूपांतर में किसी प्रकार की त्रुटि / अंतर / विरोधाभास होने पर हिन्दी भाषा के प्रश्न को ही सही मानें ।
If there is any error / difference / contradiction in Hindi and English versions of the question paper, the question of Hindi version should be treated valid.
6. खण्ड – प्रश्न संख्या – अंक प्रत्येक प्रश्न
| खण्ड (Part) | प्रश्न संख्या (Question Nos.) | अंक प्रत्येक प्रश्न (Marks per question) |
|---|---|---|
| A | 1 – 10 | 1 |
| B | 11 – 15 | 2 |
| C | 16 – 25 | 3 |
| D | 26 – 30 | 6 |
7. प्रश्न क्रमांक 28 व 30 में आन्तरिक विकल्प हैं ।
There are internal choices in Question Nos. 28 and 30.
8. अपनी उत्तर पुस्तिका के पृष्ठों के दोनों ओर लिखिए | यदि कोई रफ कार्य करना हो, तो उत्तर-पुस्तिका के अन्तिम पृष्ठों पर करें और इन्हें तिरुछी लाइनों से काटकर उन पर ‘रफ कार्य’ लिख दें |
Write on both sides of the pages of your answer-book. If any rough work is to be done, do it on last pages of the answer-book and cross with slant lines and write ‘Rough Work’ on them.
9. प्रश्न क्रमांक 26 का लेखाचित्र ग्राफ पेपर पर बनाइए |
Draw the graph of Question No. 26 on graph paper.
S—009—Maths. | S-2] | - वा
खंड - &
PART - &
-
संख्या 3/8 का दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती? इसे दशमलव रूप में लिखें।
Number 3/8 is a terminating decimal or a non-terminating repeating decimal? Write it in decimal form.
हल: 3/8 = 0.375. चूँकि हर (8) के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 हैं, अतः यह सांत दशमलव है।
Solution: 3/8 = 0.375. Since the denominator (8) has only prime factor 2, it is a terminating decimal.
-
रैखिक समीकरण युग्म 3x + 4y = 0 और 2x - y = 0 का हल लिखिए।
Write the solution of the pair of linear equations 3x + 4y = 0 and 2x - y = 0.
हल: दूसरे समीकरण से, y = 2x. पहले में रखने पर: 3x + 4(2x) = 0 ⇒ 3x + 8x = 0 ⇒ 11x = 0 ⇒ x = 0. तब y = 2(0) = 0. अतः हल: x = 0, y = 0.
Solution: From second equation, y = 2x. Substituting in first: 3x + 4(2x) = 0 ⇒ 11x = 0 ⇒ x = 0. Then y = 0. Hence solution: x = 0, y = 0.
-
समान्तर श्रेढ़ी 4, 1, -2, -5, ...... के अगले दो पद लिखिए।
Write the next two terms of A.P. 4, 1, -2, -5, ...... .
हल: सार्वअंतर d = 1 - 4 = -3. अगला पद = -5 + (-3) = -8. उसके बाद = -8 + (-3) = -11. अतः अगले दो पद: -8, -11.
Solution: Common difference d = 1 - 4 = -3. Next term = -5 + (-3) = -8. Next = -8 + (-3) = -11. Hence next two terms: -8, -11.
-
बिन्दु (3, -2) की y-अक्ष से दूरी लिखिए।
Write the distance of the point (3, -2) from y-axis.
हल: y-अक्ष से दूरी = x-निर्देशांक का निरपेक्ष मान = |3| = 3 इकाई।
Solution: Distance from y-axis = absolute value of x-coordinate = |3| = 3 units.
-
यदि M (4, 5), रेखाखंड AB का मध्य बिन्दु है तथा A के निर्देशांक (3, 4) हैं, तो बिन्दु B के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
If M (4, 5) is the mid-point of the line segment AB and co-ordinates of A are (3, 4), then find the co-ordinates of point B.
हल: मध्यबिन्दु सूत्र: M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2). माना B = (x, y). तब (3+x)/2 = 4 ⇒ 3+x = 8 ⇒ x = 5. और (4+y)/2 = 5 ⇒ 4+y = 10 ⇒ y = 6. अतः B = (5, 6).
Solution: Midpoint formula: M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2). Let B = (x, y). Then (3+x)/2 = 4 ⇒ x = 5. And (4+y)/2 = 5 ⇒ y = 6. Hence B = (5, 6).
-
यदि एक बिन्दु T से O केन्द्र वाले किसी वृत्त पर TA और TB स्पर्श रेखाएँ परस्पर 70° के कोण पर झुकी हों, तो ∠AOB ज्ञात कीजिए।
If tangents TA and TB from a point T to a circle with centre O are inclined to each other at an angle of 70°, then find ∠AOB.
हल: स्पर्श रेखाओं के बीच कोण ∠ATB = 70°. चतुर्भुज OATB में, ∠OAT = ∠OBT = 90° (त्रिज्या स्पर्श बिन्दु पर लम्ब होती है)। चतुर्भुज के कोणों का योग 360° होता है। अतः ∠AOB = 360° - (90° + 90° + 70°) = 360° - 250° = 110°.
Solution: Angle between tangents ∠ATB = 70°. In quadrilateral OATB, ∠OAT = ∠OBT = 90° (radius perpendicular to tangent). Sum of angles of quadrilateral = 360°. So ∠AOB = 360° - (90° + 90° + 70°) = 360° - 250° = 110°.
7. 3 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त पर स्थित किसी बिन्दु पर स्पर्श रेखा की रचना कीजिए।
Construct a tangent to any point on the circle of radius 3 cm.
रचना के चरण (Steps of Construction):
- O को केंद्र मानकर 3 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।
- वृत्त पर कोई बिंदु P लीजिए।
- त्रिज्या OP खींचिए।
- बिंदु P पर OP के लंबवत एक रेखा खींचिए। यही अभीष्ट स्पर्श रेखा है।
Justification: स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या पर लंब होती है।
8. r त्रिज्या वाले वृत्त के एक त्रिज्यखंड, जिसका कोण अंशों में θ है, का क्षेत्रफल लिखिए।
Write the area of a sector of a circle with radius r and angle with degree measure θ.
उत्तर: त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360) × πr²
जहाँ θ डिग्री में कोण है और r वृत्त की त्रिज्या है।
9. 44 सेमी परिधि वाले वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Find the area of a circle whose circumference is 44 cm.
हल:
परिधि = 2πr = 44 सेमी
⇒ 2 × (22/7) × r = 44
⇒ r = (44 × 7) / (2 × 22) = 7 सेमी
अतः क्षेत्रफल = πr² = (22/7) × 7 × 7 = 154 वर्ग सेमी
उत्तर: 154 वर्ग सेमी
10. यदि किसी छात्र द्वारा एक प्रश्न को हल करने की प्रायिकता ⅔ है, तो छात्र द्वारा प्रश्न हल नहीं करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
If the probability of solving a problem by a student is ⅔, then find the probability of not solving the problem by the student.
हल:
प्रश्न हल करने की प्रायिकता P(E) = ⅔
प्रश्न हल न करने की प्रायिकता P(not E) = 1 - P(E) = 1 - ⅔ = ⅓
उत्तर: ⅓
खंड - 8 (PART - 8)
11. एक समतल जमीन पर 2 मी लम्बे छात्र की छाया की लम्बाई 1 मी है। उसी समय एक मीनार की छाया की लम्बाई 5 मी हो, तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
A boy 2 m long casts a shadow 1 m long on the plane ground. At the same time, a tower casts a shadow 5 m long on the ground. Find the height of the tower.
हल:
समान समय पर सूर्य की किरणें समान कोण बनाती हैं, अतः छाया और ऊँचाई समानुपाती होती हैं।
माना मीनार की ऊँचाई = h मी
तब, (छात्र की ऊँचाई) / (छात्र की छाया) = (मीनार की ऊँचाई) / (मीनार की छाया)
⇒ 2 / 1 = h / 5
⇒ h = 2 × 5 = 10 मी
उत्तर: मीनार की ऊँचाई 10 मीटर है।
खंड-स (PART-C)
-
यदि sin θ = ½ हो, तो √(1 - 2 sin² θ) का मान ज्ञात कीजिए।
If sin θ = ½, then find the value of √(1 - 2 sin² θ).
हल / Solution:
sin θ = ½ ⇒ sin² θ = (½)² = ¼
अब, √(1 - 2 sin² θ) = √(1 - 2 × ¼) = √(1 - ½) = √(½) = 1/√2
अतः अभीष्ट मान = 1/√2
-
cos² 12° + cos² 78° का मान ज्ञात कीजिए।
Find the value of cos² 12° + cos² 78°.
हल / Solution:
cos² 12° + cos² 78° = cos² 12° + cos² (90° - 12°)
= cos² 12° + sin² 12° (∵ cos(90° - θ) = sin θ)
= 1 (∵ sin² θ + cos² θ = 1)
अतः अभीष्ट मान = 1
-
दिखाइए कि tan 36° tan 7° tan 54° tan 73° = 1.
Show that tan 36° tan 7° tan 54° tan 73° = 1.
हल / Solution:
बायाँ पक्ष = tan 36° tan 7° tan 54° tan 73°
= tan 36° tan 7° tan (90° - 36°) tan (90° - 7°)
= tan 36° tan 7° cot 36° cot 7° (∵ tan(90° - θ) = cot θ)
= (tan 36° cot 36°) × (tan 7° cot 7°)
= 1 × 1 = 1 = दायाँ पक्ष। (सिद्ध)
-
दो घनों, जिनमें से प्रत्येक का आयतन 27 सेमी³ है, को संलग्न फलकों को मिलाकर एक ठोस बनाया जाता है। प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Two cubes each of volume 27 cm³ are joined end to end to form a solid. Find the surface area of the resulting cuboid.
हल / Solution:
प्रत्येक घन का आयतन = 27 सेमी³
माना घन की भुजा = a सेमी, तब a³ = 27 ⇒ a = 3 सेमी
दो घनों को जोड़ने पर बने घनाभ की विमाएँ:
लंबाई (l) = 3 + 3 = 6 सेमी, चौड़ाई (b) = 3 सेमी, ऊँचाई (h) = 3 सेमी
घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
= 2(6×3 + 3×3 + 3×6) = 2(18 + 9 + 18) = 2 × 45 = 90 सेमी²
अतः प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 90 सेमी²
खंड-ड (PART-D)
-
संख्याओं 80, 72 व 252 का H.C.F. और L.C.M. ज्ञात कीजिए।
Find the H.C.F. and L.C.M. of the numbers 80, 72 and 252.
हल / Solution:
अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा:
80 = 2⁴ × 5
72 = 2³ × 3²
252 = 2² × 3² × 7
H.C.F. = उभयनिष्ठ गुणनखंडों की सबसे छोटी घात = 2² = 4
L.C.M. = प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात = 2⁴ × 3² × 5 × 7 = 16 × 9 × 5 × 7 = 5040
अतः H.C.F. = 4, L.C.M. = 5040
-
यदि द्विघात व्यंजक kx² + 5x + 3k के शून्यकों का योग उनके गुणनफल के बराबर हो, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
If the sum of zeroes of the quadratic polynomial kx² + 5x + 3k is equal to their product, find the value of k.
हल / Solution:
दिया गया द्विघात बहुपद: kx² + 5x + 3k
मानक रूप ax² + bx + c से तुलना करने पर:
a = k, b = 5, c = 3k
शून्यकों का योग = -b/a = -5/k
शून्यकों का गुणनफल = c/a = 3k/k = 3
प्रश्नानुसार, शून्यकों का योग = शून्यकों का गुणनफल
⇒ -5/k = 3
⇒ k = -5/3
अतः k का अभीष्ट मान = -5/3
20.
यदि किसी A.P. के प्रथम 12 पदों का योग 468 है तथा इसका सार्व अन्तर 6 है, तो 10वाँ पद ज्ञात कीजिए।
If the sum of the first 12 terms of an A.P. is 468 and its common difference is 6, find the 10th term.
हल:
दिया है: S12 = 468, d = 6, n = 12
सूत्र: Sn = n/2 [2a + (n-1)d]
⇒ 468 = 12/2 [2a + (12-1)×6]
⇒ 468 = 6 [2a + 66]
⇒ 78 = 2a + 66
⇒ 2a = 12 ⇒ a = 6
अब 10वाँ पद: a10 = a + (10-1)d = 6 + 9×6 = 6 + 54 = 60
अतः 10वाँ पद = 60
21.
सिद्ध कीजिए कि √[(1+cosA)/(1-cosA)] = cosec A + cot A.
Prove that √[(1+cosA)/(1-cosA)] = cosec A + cot A.
हल:
LHS = √[(1+cosA)/(1-cosA)]
अंश और हर में (1+cosA) से गुणा करने पर:
= √[(1+cosA)²/(1-cos²A)]
= √[(1+cosA)²/sin²A]
= (1+cosA)/sinA
= 1/sinA + cosA/sinA
= cosec A + cot A = RHS
अतः सिद्ध हुआ।
22.
10 मीटर ऊँचे भवन के शिखर से एक टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और इसके पाद का अवनमन कोण 45° है। टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
From the top of a 10 m high building, the angle of elevation of a tower is 60° and the angle of depression of its foot is 45°. Determine the height of the tower.
हल:
माना भवन की ऊँचाई AB = 10 मीटर, टॉवर की ऊँचाई CD = h मीटर
भवन और टॉवर के बीच की दूरी BC = x मीटर
त्रिभुज ABC में: tan 45° = AB/BC ⇒ 1 = 10/x ⇒ x = 10 मीटर
त्रिभुज AED में (जहाँ E, CD पर बिंदु है जैसे AE = BC = 10 मीटर):
tan 60° = DE/AE ⇒ √3 = (h-10)/10
⇒ h - 10 = 10√3
⇒ h = 10 + 10√3 = 10(1+√3) मीटर
अतः टॉवर की ऊँचाई = 10(1+√3) मीटर ≈ 27.32 मीटर
23.
दी गई आकृति में एक वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज PQRS खींचा गया है। सिद्ध कीजिए कि PQ + RS = PS + QR
हल:
माना वृत्त चतुर्भुज की भुजाओं PQ, QR, RS, SP को क्रमशः बिंदुओं A, B, C, D पर स्पर्श करता है।
बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है।
∴ PA = PD …(i)
QA = QB …(ii)
RB = RC …(iii)
SC = SD …(iv)
अब, PQ + RS = (PA + QA) + (RB + SC)
= (PD + QB) + (RC + SD) [समीकरण (i), (ii), (iii), (iv) से]
= (PD + SD) + (QB + RC)
= PS + QR
अतः PQ + RS = PS + QR सिद्ध हुआ।
21.
In the figure, a quadrilateral PQRS is drawn to circumscribe a circle. Prove that PQ + RS = PS + QR.
Solution:
Let the circle touch the sides PQ, QR, RS, and SP at points A, B, C, and D respectively.
We know that the lengths of tangents drawn from an external point to a circle are equal.
- From point P: PA = PD
- From point Q: QA = QB
- From point R: RB = RC
- From point S: SC = SD
Now, PQ = PA + AQ = PD + QB (using equal tangents)
RS = RC + CS = RB + SD (using equal tangents)
Adding: PQ + RS = (PD + QB) + (RB + SD) = (PD + SD) + (QB + RB) = PS + QR
Hence proved.
22.
3 सेमी त्रिज्या के एक वृत्त पर 5 सेमी त्रिज्या के एक संकेंद्रीय वृत्त के किसी बिंदु से एक स्पर्श रेखा की रचना कीजिए और उसकी लंबाई मापिए।
Construct a tangent to a circle of radius 3 cm from a point on the concentric circle of radius 5 cm and measure its length.
Solution:
Steps of Construction:
- Draw two concentric circles with centre O, radii 3 cm and 5 cm.
- Take any point P on the outer circle (radius 5 cm).
- Join OP.
- Draw the perpendicular bisector of OP. Let M be the midpoint of OP.
- With M as centre and radius MO (or MP), draw a circle intersecting the inner circle (radius 3 cm) at points A and B.
- Join PA and PB. These are the required tangents from P to the inner circle.
Measurement: By Pythagoras theorem in right triangle OAP (OA ⟂ PA):
PA² = OP² - OA² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16
PA = √16 = 4 cm
Thus, the length of each tangent is 4 cm.
23.
आकृति में छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि AB = 5 सेमी, AC = 2 सेमी और O वृत्त का केन्द्र है।
Find the area of the shaded region in the figure, if AB = 5 cm, AC = 2 cm and O is the centre of the circle.
Solution:
Given: AB = 5 cm, AC = 2 cm. O is the centre of the circle.
Since AB is a chord and AC is part of it, we have BC = AB - AC = 5 - 2 = 3 cm.
Let the radius of the circle be r cm. In right triangle OCB (assuming OC ⟂ AB at C, as C is the midpoint of chord AB? Actually, the figure is not fully described, but typically in such problems, OC is perpendicular to AB at C, making C the midpoint of AB. So AC = CB = 2.5 cm? But given AC = 2 cm, so C is not the midpoint. We need to assume the figure: likely O is centre, AB is a chord, and OC is perpendicular to AB at C. Then AC = 2 cm, CB = 3 cm.
In right triangle OCA: OA² = OC² + AC² ⇒ r² = OC² + 4
In right triangle OCB: OB² = OC² + CB² ⇒ r² = OC² + 9
Equating: OC² + 4 = OC² + 9 ⇒ 4 = 9, which is impossible. So the figure must be different. Possibly AB is a diameter? Or O is not the centre of the circle? The problem states O is the centre of the circle. Let's re-interpret: The shaded region is likely the area between two concentric circles or a sector. Given AB = 5 cm, AC = 2 cm, and O is centre, perhaps AB is a chord and AC is the distance from centre to chord? Actually, common problem: In a circle with centre O, chord AB = 5 cm, and the distance from centre to chord (OC) = 2 cm. Then find area of shaded region (maybe the minor segment).
Assuming OC ⟂ AB at C, so AC = CB = 2.5 cm (since perpendicular from centre bisects chord). But given AC = 2 cm, this doesn't match. Possibly the figure shows a semicircle or something else. Without the figure, we assume the standard: AB is a chord, OC is perpendicular from centre to chord, AC = 2 cm, AB = 5 cm, so CB = 3 cm. Then using Pythagoras: r² = OC² + AC² and also r² = OC² + CB²? That gives inconsistency. So likely the figure is different.
Given the ambiguity, we provide a general solution approach:
General Method: The shaded area is usually the area of the circle minus the area of triangle or sector. If the figure shows a circle with centre O, chord AB, and a smaller circle or region, we need more details. However, based on typical RBSE questions, the answer is often:
Area of shaded region = Area of circle - Area of triangle OAB (if triangle is inside) or area of sector.
Since the exact figure is not provided, we cannot compute a numeric answer. Please refer to the figure in the original question paper.
24.
पानी से भरी हुई एक अर्धगोलाकार टंकी को एक पाइप द्वारा 5 लीटर प्रति सेकंड की दर से खाली किया जाता है। यदि टंकी का व्यास 3.5 मी है, तो वह कितने समय में आधी खाली हो जाएगी?
A hemispherical tank full of water is emptied by a pipe at the rate of 5 litres per second. How much time will it take to empty half of the tank, if it is 3.5 m in diameter?
हल:
टंकी का व्यास = 3.5 मी = 350 सेमी (क्योंकि 1 मी = 100 सेमी)
त्रिज्या (r) = 350/2 = 175 सेमी
अर्धगोलाकार टंकी का आयतन = (2/3)πr³
= (2/3) × (22/7) × 175 × 175 × 175
= (2/3) × (22/7) × 5359375
= (2 × 22 × 5359375) / (3 × 7)
= 235812500 / 21
= 11229166.67 घन सेमी (लगभग)
1 लीटर = 1000 घन सेमी
अतः टंकी का आयतन = 11229166.67 / 1000 = 11229.17 लीटर (लगभग)
आधी टंकी का आयतन = 11229.17 / 2 = 5614.585 लीटर
पाइप द्वारा पानी खाली करने की दर = 5 लीटर प्रति सेकंड
आधी टंकी खाली करने में लगा समय = आयतन / दर
= 5614.585 / 5
= 1122.917 सेकंड
सेकंड को मिनट में बदलने पर: 1122.917 / 60 = 18.715 मिनट (लगभग)
अतः लगभग 18.72 मिनट या 18 मिनट 43 सेकंड में टंकी आधी खाली हो जाएगी।
25.
एक पेटी में 30 डिस्क हैं, जिन पर 1 से 30 तक संख्याएँ अंकित हैं। यदि इस पेटी में से एक डिस्क यादृच्छया निकाली जाती है, तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी:
(i) दो अंकों की एक संख्या
(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या।
A box contains 30 discs which are numbered 1 to 30. If one disc is drawn at random from the box, find the probability that it bears:
(i) a two digit number
(ii) a perfect square number.
हल:
कुल संभावित परिणाम = 30 (1 से 30 तक की संख्याएँ)
(i) दो अंकों की संख्या:
1 से 30 के बीच दो अंकों की संख्याएँ: 10, 11, 12, ..., 30
इनकी संख्या = 30 - 9 = 21
अनुकूल परिणाम = 21
प्रायिकता = अनुकूल परिणाम / कुल परिणाम = 21/30 = 7/10
(ii) पूर्ण वर्ग संख्या:
1 से 30 के बीच पूर्ण वर्ग संख्याएँ: 1, 4, 9, 16, 25
इनकी संख्या = 5
अनुकूल परिणाम = 5
प्रायिकता = 5/30 = 1/6
खंड - D / PART - D
26.
अशोक ने एक टेस्ट में 65 अंक अर्जित किए, जब उसे प्रत्येक सही उत्तर पर 5 अंक मिले तथा प्रत्येक अशुद्ध उत्तर पर 2 अंक की कटौती की गई। यदि उसे सही उत्तर पर 3 अंक मिलते तथा अशुद्ध उत्तर पर 1 अंक कटौती होती, तो अशोक 40 अंक अर्जित करता। इस समस्या को बीजगणितीय रूप में व्यक्त कर ग्राफ विधि से हल कीजिए। टेस्ट में कुल कितने प्रश्न थे?
Ashok scored 65 marks in a test, getting 5 marks for each right answer and losing 2 marks for each wrong answer. Had 3 marks been awarded for each correct answer and 1 mark been deducted for each incorrect answer, then Ashok would have scored 40 marks. Formulate the problem algebraically and solve it graphically. How many questions were given in the test?
हल:
माना सही उत्तरों की संख्या = x
अशुद्ध उत्तरों की संख्या = y
बीजगणितीय रूप:
पहली शर्त: 5x - 2y = 65 ...(i)
दूसरी शर्त: 3x - y = 40 ...(ii)
ग्राफ विधि द्वारा हल:
समीकरण (i) से: 5x - 2y = 65
⇒ 2y = 5x - 65
⇒ y = (5x - 65)/2
x = 13 पर, y = (65 - 65)/2 = 0 ⇒ बिंदु (13, 0)
x = 15 पर, y = (75 - 65)/2 = 5 ⇒ बिंदु (15, 5)
x = 17 पर, y = (85 - 65)/2 = 10 ⇒ बिंदु (17, 10)
समीकरण (ii) से: 3x - y = 40
⇒ y = 3x - 40
x = 13 पर, y = 39 - 40 = -1 ⇒ बिंदु (13, -1)
x = 15 पर, y = 45 - 40 = 5 ⇒ बिंदु (15, 5)
x = 17 पर, y = 51 - 40 = 11 ⇒ बिंदु (17, 11)
ग्राफ पर दोनों रेखाएँ बिंदु (15, 5) पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः x = 15, y = 5
कुल प्रश्न = सही उत्तर + अशुद्ध उत्तर = x + y = 15 + 5 = 20
अतः टेस्ट में कुल 20 प्रश्न थे।
प्रश्न 27
दो स्टेशनों के बीच के 400 किमी यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी, सवारी गाड़ी से 2 घंटा समय कम लेती है। (मध्य के स्टेशनों पर ठहरने का समय ध्यान में न रखते हुए) यदि एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल, सवारी गाड़ी की औसत चाल से 10 किमी/घं अधिक हो, तो दोनों रेलगाड़ियों की औसत चाल ज्ञात कीजिए।
An express train takes 2 hours less time than a passenger train to travel 400 km between two stations (without taking into consideration the time they stop at intermediate stations). If the average speed of the express train is 10 km/h more than that of the passenger train, find the average speed of the two trains.
हल:
माना सवारी गाड़ी की औसत चाल = x किमी/घंटा
तब एक्सप्रेस गाड़ी की औसत चाल = (x + 10) किमी/घंटा
सवारी गाड़ी द्वारा 400 किमी दूरी तय करने में लगा समय = 400/x घंटे
एक्सप्रेस गाड़ी द्वारा 400 किमी दूरी तय करने में लगा समय = 400/(x+10) घंटे
प्रश्नानुसार, एक्सप्रेस गाड़ी 2 घंटे कम समय लेती है:
400/x - 400/(x+10) = 2
⇒ 400(x+10 - x) / [x(x+10)] = 2
⇒ 400 × 10 / [x(x+10)] = 2
⇒ 4000 = 2x(x+10)
⇒ 2000 = x² + 10x
⇒ x² + 10x - 2000 = 0
⇒ x² + 50x - 40x - 2000 = 0
⇒ x(x+50) - 40(x+50) = 0
⇒ (x+50)(x-40) = 0
चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः x = 40 किमी/घंटा
अतः सवारी गाड़ी की औसत चाल = 40 किमी/घंटा
एक्सप्रेस गाड़ी की औसत चाल = 40 + 10 = 50 किमी/घंटा
प्रश्न 28
आकृति में AD और PS क्रमश: ΔABC और ΔPQR की माध्यिकाएँ हैं। यदि ΔABC ~ ΔPQR हो, तो सिद्ध कीजिए कि
(i) ΔADC ~ ΔPSR
(ii) CD / RS = AB / PQ
A
/|\
/ | \
/ | \
/ | \
B----D----C
P
/|\
/ | \
/ | \
/ | \
Q----R----S
अथवा
BE और CF एक समकोण त्रिभुज ABC की माध्यिकाएँ हैं तथा इस त्रिभुज का कोण A समकोण है। सिद्ध कीजिए कि 4(BE² + CF²) = 5BC²
हल (पहला भाग):
दिया है: ΔABC ~ ΔPQR, AD और PS माध्यिकाएँ हैं।
चूँकि ΔABC ~ ΔPQR, इसलिए:
∠B = ∠Q, ∠C = ∠R, और AB/PQ = BC/QR = AC/PR
AD माध्यिका है, अतः D, BC का मध्यबिंदु है ⇒ BD = DC = BC/2
PS माध्यिका है, अतः S, QR का मध्यबिंदु है ⇒ QS = SR = QR/2
अतः CD/RS = (BC/2) / (QR/2) = BC/QR = AB/PQ (समरूपता से)
अब ΔADC और ΔPSR में:
∠C = ∠R (समरूपता से)
CD/RS = AC/PR (चूँकि CD/RS = BC/QR = AC/PR)
अतः SAS समरूपता से, ΔADC ~ ΔPSR सिद्ध होता है।
साथ ही, CD/RS = AB/PQ (पहले ही सिद्ध किया)।
हल (दूसरा भाग - अथवा):
दिया है: ΔABC में ∠A = 90°, BE और CF माध्यिकाएँ हैं।
माना AB = c, AC = b, BC = a (पाइथागोरस प्रमेय से a² = b² + c²)
E, AC का मध्यबिंदु है ⇒ AE = EC = b/2
F, AB का मध्यबिंदु है ⇒ AF = FB = c/2
समकोण त्रिभुज ABE में:
BE² = AB² + AE² = c² + (b/2)² = c² + b²/4
समकोण त्रिभुज ACF में:
CF² = AC² + AF² = b² + (c/2)² = b² + c²/4
अतः BE² + CF² = (c² + b²/4) + (b² + c²/4) = (c² + b²) + (b² + c²)/4 = a² + a²/4 = 5a²/4
⇒ 4(BE² + CF²) = 5a² = 5BC²
अतः सिद्ध हुआ कि 4(BE² + CF²) = 5BC²
In the figure, CD and RS are respectively the medians of ΔABC and ΔPQR. If ΔABC ~ ΔPQR, prove that
(i) ΔADC ~ ΔPSR
(ii) \(\frac{CD}{RS} = \frac{AB}{PQ}\)
Solution:
Given: ΔABC ~ ΔPQR, CD is median to AB in ΔABC, RS is median to PQ in ΔPQR.
Since ΔABC ~ ΔPQR, we have:
- ∠A = ∠P (corresponding angles)
- ∠B = ∠Q
- ∠C = ∠R
- \(\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR}\)
Also, D is midpoint of AB, so AD = DB = AB/2. S is midpoint of PQ, so PS = SQ = PQ/2.
Thus, \(\frac{AD}{PS} = \frac{AB/2}{PQ/2} = \frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR}\).
In ΔADC and ΔPSR:
- ∠A = ∠P (proved above)
- \(\frac{AD}{PS} = \frac{AC}{PR}\) (proved above)
Therefore, by SAS similarity criterion, ΔADC ~ ΔPSR. Hence proved.
For part (ii): Since ΔADC ~ ΔPSR, corresponding sides are proportional:
\(\frac{CD}{RS} = \frac{AD}{PS} = \frac{AB/2}{PQ/2} = \frac{AB}{PQ}\). Hence proved.
BE and CF are medians of a triangle ABC right angled at A. Prove that \(4(BE^2 + CF^2) = 5BC^2\).
Solution:
Given: ΔABC is right-angled at A. BE is median to AC, CF is median to AB.
Let AB = c, AC = b, BC = a. By Pythagoras theorem: \(a^2 = b^2 + c^2\).
Since E is midpoint of AC, AE = EC = b/2. Since F is midpoint of AB, AF = FB = c/2.
In right triangle ABE (right at A):
\(BE^2 = AB^2 + AE^2 = c^2 + (b/2)^2 = c^2 + b^2/4\).
In right triangle ACF (right at A):
\(CF^2 = AC^2 + AF^2 = b^2 + (c/2)^2 = b^2 + c^2/4\).
Adding:
\(BE^2 + CF^2 = (c^2 + b^2/4) + (b^2 + c^2/4) = (c^2 + b^2) + (b^2 + c^2)/4 = a^2 + a^2/4 = (5a^2)/4\).
Thus, \(4(BE^2 + CF^2) = 5a^2 = 5BC^2\). Hence proved.
29. बिंदुओं P(-3, 4) और Q(4, 5) को जोड़ने वाले रेखाखंड को समत्रिभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Find the coordinates of the points of trisection of the line segment joining the points P(-3, 4) and Q(4, 5).
Solution:
Let the points of trisection be R and S such that PR = RS = SQ. So R divides PQ in ratio 1:2, and S divides PQ in ratio 2:1.
Using section formula: If a point divides a line segment joining (x₁, y₁) and (x₂, y₂) in ratio m:n, then coordinates are:
\(\left( \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n} \right)\).
For point R (ratio 1:2):
\(x_R = \frac{1 \times 4 + 2 \times (-3)}{1+2} = \frac{4 - 6}{3} = \frac{-2}{3}\)
\(y_R = \frac{1 \times 5 + 2 \times 4}{3} = \frac{5 + 8}{3} = \frac{13}{3}\)
So, R = \(\left( -\frac{2}{3}, \frac{13}{3} \right)\).
For point S (ratio 2:1):
\(x_S = \frac{2 \times 4 + 1 \times (-3)}{2+1} = \frac{8 - 3}{3} = \frac{5}{3}\)
\(y_S = \frac{2 \times 5 + 1 \times 4}{3} = \frac{10 + 4}{3} = \frac{14}{3}\)
So, S = \(\left( \frac{5}{3}, \frac{14}{3} \right)\).
Thus, the points of trisection are \(\left( -\frac{2}{3}, \frac{13}{3} \right)\) and \(\left( \frac{5}{3}, \frac{14}{3} \right)\).
प्रश्न 30
यदि नीचे दिए हुए बंटन का माध्यक 28.5 हो, तो x और y के मान ज्ञात करें :
| वर्ग अंतराल | 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 | योग |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| बारंबारता | 5 | x | 20 | 15 | y | 5 | 60 |
हल:
दिया है: N = 60, माध्यक = 28.5
5 + x + 20 + 15 + y + 5 = 60 ⇒ x + y = 15 ...(i)
माध्यक वर्ग 20-30 है (क्योंकि माध्यक 28.5 इसी वर्ग में आता है)।
l = 20, f = 20, cf = 5 + x, h = 10
माध्यक = l + [(N/2 - cf)/f] × h
28.5 = 20 + [(30 - (5 + x))/20] × 10
8.5 = (25 - x)/2
17 = 25 - x ⇒ x = 8
समीकरण (i) से: 8 + y = 15 ⇒ y = 7
अतः x = 8, y = 7
अथवा
यदि नीचे दिए हुए बंटन का माध्य 50 हो, तो x और y के मान ज्ञात करें :
| वर्ग अंतराल | 0-20 | 20-40 | 40-60 | 60-80 | 80-100 | योग |
|---|---|---|---|---|---|---|
| बारंबारता | 7 | x | 32 | y | 9 | 20 |
हल:
दिया है: N = 20, माध्य = 50
7 + x + 32 + y + 9 = 20 ⇒ x + y = -28
यहाँ कुल बारंबारता 20 दी गई है, जो स्पष्टतः असंगत है (क्योंकि 7+32+9=48 पहले ही 20 से अधिक है)। अतः प्रश्न में दिए गए आंकड़ों में त्रुटि प्रतीत होती है।
यदि कुल बारंबारता 20 के स्थान पर 80 हो, तो:
7 + x + 32 + y + 9 = 80 ⇒ x + y = 32 ...(i)
माध्य = Σfᵢxᵢ / N = 50
वर्ग चिह्न: 10, 30, 50, 70, 90
Σfᵢxᵢ = 7×10 + x×30 + 32×50 + y×70 + 9×90 = 70 + 30x + 1600 + 70y + 810 = 2480 + 30x + 70y
माध्य = (2480 + 30x + 70y)/80 = 50
2480 + 30x + 70y = 4000
30x + 70y = 1520 ⇒ 3x + 7y = 152 ...(ii)
समीकरण (i) और (ii) को हल करने पर:
(i) से x = 32 - y, (ii) में रखने पर:
3(32 - y) + 7y = 152
96 - 3y + 7y = 152
4y = 56 ⇒ y = 14
x = 32 - 14 = 18
अतः x = 18, y = 14 (यदि कुल बारंबारता 80 हो)