RBSE Class 10th 2022 Mathematics-S-09-2022 Previous Year Papers

General Instructions (सामान्य निर्देश)

S-09-Mathematics [6005]

खण्ड - अ / SECTION - A

(बस्तुनिष्ठ एवं अतिलघुत्तरात्मक प्रश्न)

(Objective and Very Short Answer Type Questions)

2) निम्न बस्तुनिष्ठ प्रश्नों के उत्तर का सही विकल्प चयन कर उत्तर पुस्तिका में लिखिए।

Answer the following questions and write them in the answer book by selecting the correct option.

1. i) बहुपद P(x) = (3-x)(x-4) की घात है -
   The degree of the polynomial P(x) = (3-x)(x-4) is -

   • A) 2
   • B) 4
   • C) 0
   • D) 3

   सही उत्तर / Correct Answer: A) 2

   व्याख्या / Explanation: P(x) = (3-x)(x-4) = 3x - 12 - x² + 4x = -x² + 7x - 12. अतः बहुपद की घात 2 है। / The highest power of x is 2, so degree is 2.

2. ii) यदि 6 पदों वाली एक समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम तथा अन्तिम पद क्रमश: 2 तथा 0 है, तब समान्तर श्रेढ़ी का योगफल है -
   If first and last term of an arithmetic progression having 6 terms are 2 and 0 respectively, then sum of arithmetic progression is -

   • A) 72
   • B) 36
   • C) 35
   • D) 24

   सही उत्तर / Correct Answer: D) 24

   व्याख्या / Explanation: समान्तर श्रेढ़ी का योगफल सूत्र S_n = n/2 (प्रथम पद + अन्तिम पद) से, S₆ = 6/2 (2 + 0) = 3 × 2 = 24. / Sum = n/2 (first + last) = 6/2 (2+0) = 3×2 = 24.

प्रश्न (ii)

बिन्दु P (5, -4) की x-अक्ष से दूरी है -

• A) 5
• B) 0
• C) 4
• D) 6

प्रश्न (iv)

निम्न में से अपरिमेय संख्या है -

• A) 2
• B) 2.232425...
• C) 2253
• D) 2.23

प्रश्न (v)

k के किस मान के लिए निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है?

3x + y = 1; (2k - 1)x + y = 2k + 1

• A) 2
• B) 1
• C) 3
• D) 4

vi) किसी द्विधात समीकरण \(ax^2 + bx + c = 0\) के मूल वास्तविक नहीं हैं, यदि –

1. \(b^2 - 4ac > 0\)
2. \(b^2 - 4ac = 0\)
3. \(b^2 - 4ac < 0\)
4. \(b^2 - 4ac \ge 0\)

Explanation: For a quadratic equation \(ax^2 + bx + c = 0\), the roots are real if the discriminant \(b^2 - 4ac \ge 0\). If the discriminant is less than zero (\(b^2 - 4ac < 0\)), the roots are not real (i.e., imaginary).

vii) बिन्दुओं \(A(x+4, y+5)\) तथा \(B(6-x, 3-y)\) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के मध्य बिन्दु के निर्देशांक हैं –

1. \((x, y)\)
2. \((5, 4)\)
3. \((x+5, y+4)\)
4. \((3, 4)\)

Explanation: Midpoint formula: \(\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)\). Here, \(x_1 = x+4\), \(x_2 = 6-x\), so \(x\)-coordinate = \(\frac{(x+4) + (6-x)}{2} = \frac{10}{2} = 5\). Similarly, \(y_1 = y+5\), \(y_2 = 3-y\), so \(y\)-coordinate = \(\frac{(y+5) + (3-y)}{2} = \frac{8}{2} = 4\). Hence midpoint is \((5, 4)\).

प्रश्न viii

यदि sin A = ½ हो, तो 2 sin A cos A का मान है -

1. ¼
2. ⅓
3. ½
4. √3/2

प्रश्न ix

2 tan 30° / (1 - tan² 30°) का मान है -

1. √3
2. 1/√3
3. 0
4. √3/3

प्रश्न x

1 / (1 - tan² 30°) का मान है -

1. √3
2. ⅓
3. 0
4. √3/3

प्रश्न 1 (xi)

एक पासे को एक बार फेंका जाता है। अभाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता है -

1. 1/2
2. 1/3
3. 0
4. 1

प्रश्न 2 (xii)

आँकड़ों 2, 0, 7, 3, 4, 8, 1 का माध्यक है -

1. 3
2. 4
3. 7
4. 2

प्रश्न 3 (xiii)

यदि निम्नलिखित आँकड़ों की बारम्बारताओं का योग 60 है, तो x का मान है -

1. 7
2. 8
3. 15
4. 20

निम्नलिखित प्रश्नों में रिक्त स्थानों की पूर्ति करते हुए उत्तरपुस्तिका में लिखिए।

Fill in the blanks in the following questions and write them in the answer book.

1. निम्नलिखित समान्तर श्रेढ़ी में, रिक्त स्थानों के पदों को लिखिए।

   In the following Arithmetic Progression, write the missing terms in the boxes.

   5, [   ], [   ], 9½

   Note: The sequence is 5, ?, ?, 9.5. Assuming common difference d, we have 5 + 3d = 9.5 ⇒ 3d = 4.5 ⇒ d = 1.5. Thus missing terms are 6.5 and 8.

   उत्तर / Answer: 5, 6.5, 8, 9½

2. रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 में यदि a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ हैं, तब निरूपित रेखाएँ ___ हैं।

   In pair of linear equations a₁x + b₁y + c₁ = 0 and a₂x + b₂y + c₂ = 0, if a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, then lines represented are ______.

   उत्तर / Answer: समान्तर (Parallel)

3. 7.5 सेमी लम्बे रेखाखण्ड को 2:1 में विभाजित करने पर बड़े भाग की लम्बाई ___ सेमी होगी।

   A 7.5 cm long line segment is divided in the ratio 2:1, then the length of large portion will be ______ cm.

   हल / Solution: कुल भाग = 2 + 1 = 3. बड़ा भाग = (2/3) × 7.5 = 5 सेमी।
   उत्तर / Answer: 5 सेमी

4. बिन्दुओं (3, -2) तथा (4, 5) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड की लम्बाई ___ है।

   The length of a line segment joining points (3, -2) and (4, 5) is ______.

   हल / Solution: दूरी सूत्र √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] = √[(4-3)² + (5-(-2))²] = √[1² + 7²] = √(1+49) = √50 = 5√2.
   उत्तर / Answer: 5√2

5. cos48° - sin42° का मान ___ है।

   The value of cos48° - sin42° is ______.

   हल / Solution: cos48° = sin(90° - 48°) = sin42°. अतः cos48° - sin42° = sin42° - sin42° = 0.
   उत्तर / Answer: 0

6. निम्नलिखित आँकड़ों का बहुलक ___ है।

   Mode of following data is ______.

   2, 6, 4, 5, 0, 2, 3, 2, 3

   हल / Solution: आँकड़ों में 2 तीन बार आता है (सबसे अधिक), 3 दो बार, शेष एक-एक बार। अतः बहुलक = 2.
   उत्तर / Answer: 2

अति लघुत्तरात्मक प्रश्न / Very Short Answer Type Questions

1. संख्याओं 72 और 20 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात कीजिए।
   Find the least common multiple (LCM) of numbers 72 and 20.

   हल / Solution:
   72 = 2³ × 3²
   20 = 2² × 5
   LCM = 2³ × 3² × 5 = 8 × 9 × 5 = 360

   अतः 72 और 20 का LCM 360 है।

2. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों का योग तथा गुणनफल क्रमश: –3 और 2 है।
   Find a quadratic polynomial, the sum and product of whose zeroes are –3 and 2 respectively.

   हल / Solution:
   द्विघात बहुपद का मानक रूप: x² – (शून्यकों का योग)x + (शून्यकों का गुणनफल)
   यहाँ, शून्यकों का योग = –3, गुणनफल = 2
   अतः अभीष्ट बहुपद = x² – (–3)x + 2 = x² + 3x + 2

   अतः द्विघात बहुपद x² + 3x + 2 है।

3. बहुपद P(x) = x² – 2x – 8 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
   Find the zeroes of the polynomial P(x) = x² – 2x – 8.

   हल / Solution:
   P(x) = x² – 2x – 8
   गुणनखंड विधि से: x² – 4x + 2x – 8 = x(x – 4) + 2(x – 4) = (x – 4)(x + 2)
   शून्यक ज्ञात करने के लिए: (x – 4)(x + 2) = 0
   ⇒ x – 4 = 0 या x + 2 = 0
   ⇒ x = 4 या x = –2

   अतः शून्यक 4 और –2 हैं।

4. 5 पेंसिल और 7 पेन का कुल मूल्य ₹ 50 है, जबकि 7 पेंसिल और 5 पेन का कुल मूल्य ₹ 46 है। इस समस्या को रैखिक समीकरणों के युग्म द्वारा प्रदर्शित कीजिए।
   5 pencils and 7 pens together cost ₹ 50, whereas 7 pencils and 5 pens together cost ₹ 46. Express this problem by the pair of linear equations.

   हल / Solution:
   माना एक पेंसिल का मूल्य = ₹ x और एक पेन का मूल्य = ₹ y
   प्रश्नानुसार:
   5x + 7y = 50 …(i)
   7x + 5y = 46 …(ii)

   अतः अभीष्ट रैखिक समीकरण युग्म: 5x + 7y = 50 और 7x + 5y = 46 है।

5. (x – 2)² – x = 3x(x – 2) को द्विघात समीकरण के रूप में लिखिए।
   Write (x – 2)² – x = 3x(x – 2) in the form of quadratic equation.

   हल / Solution:
   (x – 2)² – x = 3x(x – 2)
   ⇒ (x² – 4x + 4) – x = 3x² – 6x
   ⇒ x² – 5x + 4 = 3x² – 6x
   ⇒ 0 = 3x² – 6x – x² + 5x – 4
   ⇒ 0 = 2x² – x – 4
   ⇒ 2x² – x – 4 = 0

   अतः द्विघात समीकरण: 2x² – x – 4 = 0

6. 5 सेमी लम्बाई का एक रेखाखण्ड खींच कर इसे समद्विभाजित कीजिए।
   Draw a line segment of length 5 cm and bisect it.

   हल / Solution:
   रचना के चरण:

   1. एक रेखाखण्ड AB = 5 सेमी खींचिए।
   2. A को केंद्र मानकर AB के आधे से अधिक त्रिज्या लेकर एक चाप खींचिए।
   3. B को केंद्र मानकर उसी त्रिज्या से दूसरा चाप खींचिए जो पहले चाप को C और D पर काटे।
   4. CD को मिलाइए। CD, AB को बिंदु M पर काटता है।
   5. M, AB का मध्यबिंदु है।

   इस प्रकार रेखाखण्ड AB समद्विभाजित होता है।

7. द्विघात समीकरण 3x² – 8x – 6 = 0 के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए।
   Find the nature of roots of quadratic equation 3x² – 8x – 6 = 0.

   हल / Solution:
   दी गई समीकरण: 3x² – 8x – 6 = 0
   यहाँ a = 3, b = –8, c = –6
   विविक्तकर (Discriminant) D = b² – 4ac
   D = (–8)² – 4 × 3 × (–6) = 64 + 72 = 136
   चूँकि D > 0 और D एक पूर्ण वर्ग नहीं है, अतः मूल वास्तविक, भिन्न और अपरिमेय हैं।

   अतः मूल वास्तविक, भिन्न और अपरिमेय हैं।

8. यदि बिंदु Q(0, 1), बिंदुओं P(5, –4) और R(x, 6) का मध्यबिंदु है, तब x का मान ज्ञात कीजिए।
   If point Q(0, 1) is midpoint of the points P(5, –4) and R(x, 6), then find the value of x.

   हल / Solution:
   मध्यबिंदु सूत्र: Q के निर्देशांक = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
   यहाँ P(5, –4) और R(x, 6) हैं।
   x-निर्देशांक: (5 + x)/2 = 0 ⇒ 5 + x = 0 ⇒ x = –5
   y-निर्देशांक: (–4 + 6)/2 = 2/2 = 1 (सत्यापित)

   अतः x का मान –5 है।

खण्ड - अ (Section - A)

(ix) 2 tan² 45° + cos² 30° – sin² 60° का मान ज्ञात कीजिए।
Find the value of 2 tan² 45° + cos² 30° – sin² 60°.

(x) एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह गेंद लाल होगी?
A bag contains 3 red and 5 black balls. A ball is drawn at random from this bag. What is the probability that the drawn ball will be red?

(xi) यदि tan A = cot B, तब A + B का मान ज्ञात कीजिए।
If tan A = cot B, then find the value of A + B.

(xii) बंटन 6, 11, 2, 23, 4, 5 का माध्य ज्ञात कीजिए।
Find the mean of distribution 6, 11, 2, 23, 4, 5.

खण्ड - ब (Section - B)

4) समांतर श्रेढ़ी : 0, 7, 4, ....., –32 के पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Find the number of terms of AP: 0, 7, 4, ..., –32.

5) प्रथम 200 धन पूर्णांकों का योगफल ज्ञात कीजिए।
Find the sum of first 200 positive integers.

6) द्विघात समीकरण x² – 8x – 180 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए।
Find the roots of quadratic equation x² – 8x – 180 = 0.

7) निम्न रैखिक समीकरण युग्म को हल कीजिए:
x – 3y = 7 ; 5x + 4y = 14
Solve the following pair of linear equations:
x – 3y = 7 ; 5x + 4y = 14

प्रश्न 8

दो संख्याओं 66 और 32 का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात कीजिए।

Find the highest common factor (HCF) of two numbers 66 and 32.

प्रश्न 9

एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यक 4/3 तथा -√3 हैं।

Find a quadratic polynomial, whose zeroes are 4/3 and -√3.

प्रश्न 10

बिन्दुओं (5, -6) और (-1, -4) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को y-अक्ष किस अनुपात में विभाजित करता है, ज्ञात कीजिए।

Find the ratio, in which y-axis divides the line segment joining the points (5, -6) and (-1, -4).

प्रश्न 11

7.6 सेमी लम्बा एक रेखाखण्ड खींचिए और इसे 1 : 2 में विभाजित कीजिए।

Draw a line segment of length 7.6 cm and divide it into ratio 1:2.

प्रश्न 12

यदि sinA = 4/5 हो, तब tanA + cosA का मान ज्ञात कीजिए।

If sinA = 4/5, then find the value of tanA + cosA.

प्रश्न 13

सिद्ध कीजिए : (sec A + tan A)(1 - sin A) = cos A

Prove that: (sec A + tan A)(1 - sin A) = cos A

प्रश्न 14

निम्न बारम्बारता बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए :

Find the mean of the following frequency distribution :

खण्ड - स / SECTION - C

प्रश्न 7 (द्विविकल्पीय)

विकल्प (i): यदि किसी समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम 6 पदों का योग 728 है तथा प्रथम पद 8 है, तब 20 वां पद ज्ञात कीजिए।

If the sum of first 6 terms of an Arithmetic Progression is 728 and first term is 8, then find the 20th term.

प्रश्न 7 (विकल्प ii)

विकल्प (ii): यदि किसी समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योगफल 4n - n² है, तब इसका 10 वां पद ज्ञात कीजिए।

If the sum of first n terms of an Arithmetic Progression is 4n - n², then find its 10th term.

प्रश्न 8 (द्विविकल्पीय)

विकल्प (i): 5 सेमी भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज के समरूप त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ दिये गये त्रिभुज की संगत भुजाओं की ⅔ हों।

Construct a triangle similar to an equilateral triangle of side 5 cm, with its sides equal to ⅔ of the corresponding sides of the given triangle.

प्रश्न 8 (विकल्प ii)

विकल्प (ii): 5 सेमी त्रिज्या के एक वृत्त पर ऐसी दो स्पर्श रेखाएँ खींचिए, जो परस्पर 60° के कोण पर झुकी हों।

Draw a pair of tangents to a circle of radius 5 cm, which are inclined to each other at an angle of 60°.

प्रश्न 19

सिद्ध कीजिए :

tan 49° tan 24° tan 60° tan 41° tan 66° = √3

अथवा

सिद्ध कीजिए :

\(\frac{\cos A}{1 - \sin A} = \sec A + \tan A\)

प्रश्न 20

निम्नलिखित वर्गीकृत आँकड़ों का कल्पित माध्य विधि द्वारा माध्य ज्ञात कीजिए :

अथवा

निम्न बारम्बारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए :

खण्ड - 2 / SECTION - D

प्रश्न 27 (Question 27)

निम्न रैखिक समीकरण युग्म को आलेखीय विधि द्वारा हल कीजिए :

x + y = 8 ; y = 2x - 7

Solve the following pair of linear equations by graphical method :

x + y = 8 ; y = 2x - 7

अथवा / OR

निम्न रैखिक समीकरण युग्म को आलेखीय विधि द्वारा हल कीजिए :

3x - 2y = 9 ; x = y + 2

Solve the following pair of linear equations by graphical method :

3x - 2y = 9 ; x = y + 2

प्रश्न 22 (Question 22)

एक त्रिभुज ABC बनाइए, जिसमें भुजाएँ BC = 6 सेमी, AB = 5 सेमी और ∠ABC = 60° हो। फिर एक त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ ΔABC की संगत भुजाओं की 3/4 हों।

Draw a triangle ABC with sides BC = 6 cm, AB = 5 cm and ∠ABC = 60°. Then construct a triangle, whose sides are 3/4 of the corresponding sides of the triangle ABC.

अथवा / OR

8 सेमी व्यास का एक वृत्त खींचिए। इसके केन्द्र से 8 सेमी दूर स्थित एक बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखा युग्म की रचना कीजिए और उनकी लम्बाईयाँ मापिए।

Draw a circle of diameter 8 cm. From a point 8 cm away from its centre, construct a pair of tangents to the circle and measure their lengths.

23) नीचे दिये गये बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए : [4]

प्रश्न में दिए गए बंटन का माध्यक ज्ञात करने के लिए आवश्यक आँकड़े स्पष्ट नहीं हैं। कृपया पूर्ण सारणी प्रदान करें।

एक पौधे की 75 पत्तियों की लम्बाइयाँ निकटतम मिलीमीटरों में मापी जाती हैं तथा प्राप्त आँकड़ों को निम्नलिखित सारणी के रूप में निरूपित किया जाता है: [4]

पत्तियों की लम्बाई का बहुलक ज्ञात कीजिए।

The lengths of 75 leaves of a plant are measured correct to the nearest millimetres and the data obtained are represented in the form of following table: