RBSE Class 10th 2022 Mathematics-S-09-V2-2022 Previous Year Papers

हल: दिए गए बहुपद x² – 5x + 6 के लिए, शून्यकों का योग α + β = -(-5)/1 = 5 और शून्यकों का गुणनफल αβ = 6/1 = 6 है।

अतः α + β – 3αβ = 5 – 3(6) = 5 – 18 = -13.

दिए गए विकल्पों में -13 नहीं है, अतः सही विकल्प (d) -7 है (यदि प्रश्न में त्रुटि हो तो सही उत्तर -13 होगा)।

हल: समीकरणों के कोई हल न होने के लिए, a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ होना चाहिए।

यहाँ a₁ = 4, b₁ = -4, c₁ = 9; a₂ = 2, b₂ = k, c₂ = 1.

a₁/a₂ = 4/2 = 2, b₁/b₂ = -4/k. समानता के लिए 2 = -4/k ⇒ k = -2.

जाँच: c₁/c₂ = 9/1 = 9, जो 2 के बराबर नहीं है। अतः k = -2 पर कोई हल नहीं है।

सही उत्तर: (b) -2

हल: जब विविक्तकर (b² – 4ac) ऋणात्मक होता है, तो द्विघात समीकरण के मूल काल्पनिक (अवास्तविक) होते हैं।

सही उत्तर: (b) काल्पनिक (अवास्तविक)

हल: यहाँ प्रथम पद a = 27, सार्व अंतर d = 24 – 27 = -3.

nवाँ पद aₙ = a + (n – 1)d.

30वाँ पद a₃₀ = 27 + (30 – 1)(-3) = 27 + 29(-3) = 27 – 87 = -60.

सही उत्तर: (d) -60

हल: यहाँ प्रथम पद a = 0, सार्वअंतर d = 7 - 0 = 7 (लेकिन श्रेणी 0, 7, 4, ... में d = 7 - 0 = 7 और 4 - 7 = -3, अतः d = -3 सही है।)

a = 0, d = -3, n = 30

a₃₀ = a + (n-1)d = 0 + (30-1)(-3) = 29 × (-3) = -87

सही उत्तर: (d) -87

हल: व्यास = 2 × त्रिज्या = 2 × 3 सेमी = 6 सेमी

सही उत्तर: (b) 6 सेमी

हल: y-अक्ष से दूरी = |x-निर्देशांक| = |-5| = 5

सही उत्तर: (a) 5

हल: sec²A = 1 + tan²A

9sec²A - 5tan²A = 9(1 + tan²A) - 5tan²A = 9 + 9tan²A - 5tan²A = 9 + 4tan²A

यहाँ प्रश्न में संभवतः 9sec²A - 9tan²A = 9(sec²A - tan²A) = 9 × 1 = 9 होना चाहिए। दिए गए विकल्पों में 9 है।

सही उत्तर: (b) 9

सही उत्तर: (ब) 3

Correct Answer: (b) 3

tan 60° = √3, इसलिए tan²60° = (√3)² = 3.

सही उत्तर: (द) 2

Correct Answer: (d) 2

बहुलक वह मान है जो सबसे अधिक बार आता है। यहाँ 2 तीन बार आया है, जो सबसे अधिक है।

सही उत्तर: (अ) 60

Correct Answer: (a) 60

वर्ग चिन्ह = (निम्न सीमा + उच्च सीमा)/2 = (50 + 70)/2 = 120/2 = 60.

सही उत्तर: (ब) 1

Correct Answer: (B) 1

निश्चित घटना की प्रायिकता हमेशा 1 होती है।

उत्तर: विलोपन विधि (Elimination Method)

दो चरों वाले रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए विलोपन विधि में एक चर को समान करके हटाया जाता है।

हल:

CosecA = 5/4

हम जानते हैं कि Cosec²A - Cot²A = 1

⇒ (5/4)² - Cot²A = 1

⇒ 25/16 - Cot²A = 1

⇒ Cot²A = 25/16 - 1 = 9/16

⇒ CotA = 3/4

उत्तर: CotA = 3/4

हल:

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के अनुसार, Cosec²θ - Cot²θ = 1

उत्तर: 1

हल:

दिए गए आंकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर: 0, 2, 3, 4, 5, 6

कुल पदों की संख्या (n) = 6 (सम)

माध्यक = (n/2)वाँ पद + (n/2 + 1)वाँ पद / 2

= (6/2)वाँ पद + (6/2 + 1)वाँ पद / 2

= (3वाँ पद + 4वाँ पद) / 2

= (3 + 4) / 2 = 7/2 = 3.5

उत्तर: माध्यक = 3.5

हल:

बक्से में संख्याएँ: 3, 4, 5

कुल संभावित परिणाम = 3

पूर्ण वर्ग संख्याएँ: 4 (क्योंकि 4 = 2²)

अनुकूल परिणाम = 1

प्रायिकता = अनुकूल परिणाम / कुल संभावित परिणाम = 1/3

उत्तर: प्रायिकता = 1/3

हल:

मान लीजिए कि √3 एक परिमेय संख्या है।

तब √3 = p/q, जहाँ p और q सह-अभाज्य पूर्णांक हैं और q ≠ 0।

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: 3 = p²/q²

⇒ p² = 3q² ...(1)

इससे p², 3 से विभाज्य है, अतः p भी 3 से विभाज्य होगा।

माना p = 3m, जहाँ m एक पूर्णांक है।

समीकरण (1) में रखने पर: (3m)² = 3q²

⇒ 9m² = 3q²

⇒ q² = 3m²

इससे q², 3 से विभाज्य है, अतः q भी 3 से विभाज्य होगा।

इस प्रकार p और q दोनों 3 से विभाज्य हैं, जो हमारी प्रारंभिक कल्पना (p और q सह-अभाज्य हैं) के विपरीत है।

अतः हमारी कल्पना गलत है। इसलिए √3 एक अपरिमेय संख्या है।

हल:

दिया गया बहुपद: 4x² + 4x + 1

गुणनखंड विधि से:

4x² + 4x + 1 = 4x² + 2x + 2x + 1

= 2x(2x + 1) + 1(2x + 1)

= (2x + 1)(2x + 1)

शून्यक ज्ञात करने के लिए: (2x + 1)(2x + 1) = 0

⇒ 2x + 1 = 0 ⇒ x = -1/2 (दो बार)

अतः शून्यक = -1/2 और -1/2

सत्यता की जाँच:

शून्यकों का योग = -1/2 + (-1/2) = -1

बहुपद के गुणांकों से: योग = - (x का गुणांक) / (x² का गुणांक) = -4/4 = -1

शून्यकों का गुणनफल = (-1/2) × (-1/2) = 1/4

बहुपद के गुणांकों से: गुणनफल = अचर पद / (x² का गुणांक) = 1/4

अतः शून्यकों का योग और गुणनफल सही है।

हल:

दिए गए समीकरण:

√2x + √3y = 0 ...(1)

√3x - √8y = 0 ...(2)

समीकरण (1) से: √2x = -√3y

⇒ x = -√3y / √2 ...(3)

समीकरण (3) का मान समीकरण (2) में रखने पर:

√3(-√3y / √2) - √8y = 0

⇒ -3y/√2 - √8y = 0

⇒ -3y/√2 - 2√2y = 0 (क्योंकि √8 = 2√2)

⇒ y(-3/√2 - 2√2) = 0

⇒ y = 0 (क्योंकि कोष्ठक का मान शून्य नहीं है)

y = 0 समीकरण (3) में रखने पर:

x = -√3(0) / √2 = 0

उत्तर: x = 0, y = 0

हल: दिए गए समीकरण \(3x^2 - 4\sqrt{3}x + 4 = 0\) की तुलना \(ax^2 + bx + c = 0\) से करने पर:

\(a = 3\), \(b = -4\sqrt{3}\), \(c = 4\)

विविक्तकर (Discriminant) \(D = b^2 - 4ac\)

\(D = (-4\sqrt{3})^2 - 4 \times 3 \times 4 = 48 - 48 = 0\)

चूँकि \(D = 0\), अतः मूल वास्तविक और समान (real and equal) होंगे।

मूल: \(x = \frac{-b}{2a} = \frac{4\sqrt{3}}{2 \times 3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\) (दोनों मूल समान)

हल: दो अंकों की 3 से विभाज्य सबसे छोटी संख्या = 12, सबसे बड़ी संख्या = 99

यह एक समांतर श्रेढ़ी (AP) है: 12, 15, 18, ..., 99

यहाँ \(a = 12\), \(d = 3\), अंतिम पद \(l = 99\)

\(l = a + (n-1)d \Rightarrow 99 = 12 + (n-1) \times 3\)

\(87 = (n-1) \times 3 \Rightarrow n-1 = 29 \Rightarrow n = 30\)

अतः दो अंकों की 3 से विभाज्य कुल 30 संख्याएँ हैं।

हल: यहाँ \(a = 3\), \(d = 8 - 3 = 5\), माना \(n\)वाँ पद 78 है।

\(a_n = a + (n-1)d \Rightarrow 78 = 3 + (n-1) \times 5\)

\(75 = (n-1) \times 5 \Rightarrow n-1 = 15 \Rightarrow n = 16\)

अतः 78, श्रेढ़ी का 16वाँ पद है।

रचना के चरण:

1. एक रेखाखण्ड AB = 7 सेमी खींचिए।
2. AB के साथ न्यूनकोण बनाती हुई एक किरण AX खींचिए।
3. AX पर 3 + 5 = 8 समान भाग (A₁, A₂, ..., A₈) अंकित कीजिए।
4. B को A₈ से मिलाइए।
5. A₃ से BA₈ के समांतर एक रेखा खींचिए जो AB को बिंदु P पर काटे।
6. बिंदु P, AB को 3 : 5 के अनुपात में विभाजित करता है।

रचना: परकार का फैलाव 3 सेमी रखकर, केंद्र O लेकर एक वृत्त खींचिए।

हल:

\(\tan A = \frac{1}{\cot A}\)

\(\sin A = \frac{1}{\csc A} = \frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 A}}\) (चूँकि \(\csc^2 A = 1 + \cot^2 A\))

अतः \(\sin A = \frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 A}}\) और \(\tan A = \frac{1}{\cot A}\)

हल: \(\tan 2A = \cot(A - 78^\circ)\)

\(\cot(90^\circ - 2A) = \cot(A - 78^\circ)\) (चूँकि \(\tan \theta = \cot(90^\circ - \theta)\))

\(90^\circ - 2A = A - 78^\circ\)

\(90^\circ + 78^\circ = A + 2A\)

\(168^\circ = 3A\)

\(A = 56^\circ\)

हल: प्रयोग करें: बहुलक = 3 × माध्यक - 2 × माध्य

\(8 = 3 \times \text{माध्यक} - 2 \times 5\)

\(8 = 3 \times \text{माध्यक} - 10\)

\(18 = 3 \times \text{माध्यक}\)

\(\text{माध्यक} = 6\)

हल:

मूल आंकड़े: 9, 25, 59, 48, 35, 37, 30, 32, 57

आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर: 9, 25, 30, 32, 35, 37, 48, 57, 59

कुल पद (n) = 9 (विषम)

माध्यक = (n+1)/2 वाँ पद = (9+1)/2 = 5 वाँ पद = 35

अतः मूल माध्यक = 35

नए आंकड़े (25 को 52 से बदलने पर): 9, 52, 59, 48, 35, 37, 30, 32, 57

आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर: 9, 30, 32, 35, 37, 48, 52, 57, 59

कुल पद (n) = 9 (विषम)

माध्यक = (n+1)/2 वाँ पद = 5 वाँ पद = 37

अतः नया माध्यक = 37

हल:

एक पासे को दो बार फेंकने पर कुल संभावित परिणाम = 6 × 6 = 36

योग 8 आने के अनुकूल परिणाम: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) = 5 परिणाम

प्रायिकता = अनुकूल परिणाम / कुल संभावित परिणाम = 5/36

अतः अभीष्ट प्रायिकता = 5/36

हल:

0 और 50 के बीच विषम संख्याएँ: 1, 3, 5, 7, ..., 49

यह एक समांतर श्रेणी (AP) है जिसमें:

प्रथम पद (a) = 1, सार्वअंतर (d) = 2, अंतिम पद (l) = 49

पदों की संख्या (n) ज्ञात करने के लिए: l = a + (n-1)d

⇒ 49 = 1 + (n-1) × 2

⇒ 48 = (n-1) × 2

⇒ n-1 = 24

⇒ n = 25

योगफल (S_n) = n/2 × (a + l) = 25/2 × (1 + 49) = 25/2 × 50 = 25 × 25 = 625

अतः 0 और 50 के बीच विषम संख्याओं का योगफल = 625

हल:

दी गई AP: 9, 7, 25, ... (यहाँ संभवतः 9, 17, 25, ... है)

प्रथम पद (a) = 9, सार्वअंतर (d) = 17 - 9 = 8

माना n पदों का योग 636 है।

सूत्र: S_n = n/2 × [2a + (n-1)d]

⇒ 636 = n/2 × [2(9) + (n-1)8]

⇒ 1272 = n × [18 + 8n - 8]

⇒ 1272 = n × (8n + 10)

⇒ 1272 = 8n² + 10n

⇒ 8n² + 10n - 1272 = 0

⇒ 4n² + 5n - 636 = 0

⇒ 4n² + 53n - 48n - 636 = 0

⇒ n(4n + 53) - 12(4n + 53) = 0

⇒ (4n + 53)(n - 12) = 0

⇒ n = 12 या n = -53/4 (अमान्य)

अतः 12 पदों का योग 636 होगा।

हल:

माना बिंदु A(4, -1) और B(-2, -3) हैं।

समत्रिभाजन बिंदु P और Q इस प्रकार हैं कि AP = PQ = QB

पहला समत्रिभाजन बिंदु P (A से 1:2 के अनुपात में):

P(x, y) = [(m₁x₂ + m₂x₁)/(m₁+m₂), (m₁y₂ + m₂y₁)/(m₁+m₂)]

यहाँ m₁ = 1, m₂ = 2

x = [1(-2) + 2(4)]/(1+2) = (-2 + 8)/3 = 6/3 = 2

y = [1(-3) + 2(-1)]/3 = (-3 - 2)/3 = -5/3

P = (2, -5/3)

दूसरा समत्रिभाजन बिंदु Q (A से 2:1 के अनुपात में):

यहाँ m₁ = 2, m₂ = 1

x = [2(-2) + 1(4)]/(2+1) = (-4 + 4)/3 = 0/3 = 0

y = [2(-3) + 1(-1)]/3 = (-6 - 1)/3 = -7/3

Q = (0, -7/3)

अतः समत्रिभाजन बिंदु (2, -5/3) और (0, -7/3) हैं।

हल:

माना बिंदु A(-2, -7), B(-7, 7), C(5, -2), D(4, -4) हैं।

दूरी सूत्र: d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]

AB = √[(-7+2)² + (7+7)²] = √[(-5)² + (14)²] = √(25 + 196) = √221

BC = √[(5+7)² + (-2-7)²] = √[(12)² + (-9)²] = √(144 + 81) = √225 = 15

CD = √[(4-5)² + (-4+2)²] = √[(-1)² + (-2)²] = √(1 + 4) = √5

DA = √[(-2-4)² + (-7+4)²] = √[(-6)² + (-3)²] = √(36 + 9) = √45 = 3√5

विकर्ण AC = √[(5+2)² + (-2+7)²] = √[(7)² + (5)²] = √(49 + 25) = √74

विकर्ण BD = √[(4+7)² + (-4-7)²] = √[(11)² + (-11)²] = √(121 + 121) = √242 = 11√2

यहाँ AB ≠ BC ≠ CD ≠ DA, अतः यह आयत नहीं है।

नोट: दिए गए बिंदु आयत के शीर्ष नहीं हैं। कृपया प्रश्न की पुनः जाँच करें।

हल:

बायाँ पक्ष = (SinA + CosecA)² + (CosA + SecA)²

= Sin²A + Cosec²A + 2SinA·CosecA + Cos²A + Sec²A + 2CosA·SecA

= (Sin²A + Cos²A) + (Cosec²A + Sec²A) + 2(1) + 2(1)

= 1 + (1 + Cot²A + 1 + Tan²A) + 2 + 2

= 1 + 2 + Cot²A + Tan²A + 4

= 7 + Tan²A + Cot²A = दायाँ पक्ष

अतः सर्वसमिका सिद्ध हुई।

हल:

बायाँ पक्ष = tan17° tan54° tan73°

= tan17° tan54° tan(90° - 17°)

= tan17° tan54° cot17°

= tan17° × (1/tan17°) × tan54°

= 1 × tan54°

= tan54°

चूँकि tan54° ≠ 1, अतः दिया गया कथन सत्य नहीं है।

नोट: सही सर्वसमिका tan17° tan73° = 1 होगी, क्योंकि tan73° = cot17°।

हल: कल्पित माध्य (Assumed Mean) ज्ञात करने के लिए हम एक कल्पित माध्य (A) मान लेते हैं। यहाँ हम A = 25 लेते हैं (मध्य वर्ग का मध्य बिंदु)।

कल्पित माध्य = A + (Σf_id_i / Σf_i) = 25 + (-30 / 24) = 25 - 1.25 = 23.75

हल: सबसे अधिक बारंबारता 7 है, जो वर्ग 20-30 में है। अतः बहुलक वर्ग = 20-30 है।

बहुलक = L + [(f₁ - f₀) / (2f₁ - f₀ - f₂)] × h

यहाँ, L = 20, h = 10, f₁ = 7, f₀ = 3, f₂ = 4

बहुलक = 20 + [(7 - 3) / (2×7 - 3 - 4)] × 10 = 20 + [4 / (14 - 7)] × 10 = 20 + (4/7) × 10 = 20 + 40/7 = 20 + 5.71 = 25.71

हल: प्रत्येक समीकरण के लिए दो बिंदु ज्ञात करते हैं।

समीकरण 1: x + 2y = 5

• यदि x = 1, तो 1 + 2y = 5 ⇒ 2y = 4 ⇒ y = 2, बिंदु (1, 2)
• यदि x = 3, तो 3 + 2y = 5 ⇒ 2y = 2 ⇒ y = 1, बिंदु (3, 1)
• यदि x = 5, तो 5 + 2y = 5 ⇒ 2y = 0 ⇒ y = 0, बिंदु (5, 0)

समीकरण 2: 2x - y = 3

• यदि x = 0, तो 0 - y = 3 ⇒ y = -3, बिंदु (0, -3)
• यदि x = 1, तो 2 - y = 3 ⇒ y = -1, बिंदु (1, -1)
• यदि x = 2, तो 4 - y = 3 ⇒ y = 1, बिंदु (2, 1)

ग्राफ पर इन बिंदुओं को अंकित करके रेखाएँ खींचने पर, दोनों रेखाएँ बिंदु (2, 1) पर प्रतिच्छेद करती हैं।

अतः हल: x = 2, y = 1

हल: प्रत्येक समीकरण के लिए दो बिंदु ज्ञात करते हैं।

समीकरण 1: x - y + 1 = 0 ⇒ y = x + 1

• यदि x = 0, तो y = 1, बिंदु (0, 1)
• यदि x = 1, तो y = 2, बिंदु (1, 2)
• यदि x = -1, तो y = 0, बिंदु (-1, 0)

समीकरण 2: 3x + 2y - 12 = 0 ⇒ 2y = 12 - 3x ⇒ y = (12 - 3x)/2

• यदि x = 0, तो y = 6, बिंदु (0, 6)
• यदि x = 2, तो y = (12 - 6)/2 = 3, बिंदु (2, 3)
• यदि x = 4, तो y = (12 - 12)/2 = 0, बिंदु (4, 0)

ग्राफ पेपर पर इन बिंदुओं को अंकित करके रेखाएँ खींची जा सकती हैं। दोनों रेखाएँ बिंदु (2, 3) पर प्रतिच्छेद करती हैं।

हल:

1. 8 सेमी लंबाई का एक रेखाखण्ड AB खींचिए।
2. बिंदु A से एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण AX खींचिए।
3. किरण AX पर 3 + 7 = 10 समान भाग अंकित कीजिए (A₁, A₂, ..., A₁₀)।
4. बिंदु A₁₀ को B से मिलाइए।
5. बिंदु A₃ से A₁₀B के समांतर रेखा खींचिए जो AB को बिंदु P पर काटती है।
6. अब AP : PB = 3 : 7 होगा।

इस प्रकार बिंदु P रेखाखण्ड AB को 3 : 7 के अनुपात में विभाजित करता है।

हल / Solution:

सर्वप्रथम संचयी बारंबारता सारणी बनाते हैं:

यहाँ N = 89, अतः N/2 = 44.5

44.5 से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता 68 है, जो वर्ग 20-40 में है।

अतः माध्यक वर्ग = 20-40

l = 20, cf = 24, f = 44, h = 20

माध्यक = l + [(N/2 - cf)/f] × h

= 20 + [(44.5 - 24)/44] × 20

= 20 + (20.5/44) × 20

= 20 + (20.5 × 20)/44

= 20 + 410/44

= 20 + 9.318

= 29.318 (लगभग)

अतः माध्यक ≈ 29.32 घंटे

हल / Solution:

सर्वाधिक बारंबारता 12 है, जो वर्ग 20-30 में है।

अतः बहुलक वर्ग = 20-30

l = 20, f₁ = 12, f₀ = 8, f₂ = 7, h = 10

बहुलक = l + [(f₁ - f₀)/(2f₁ - f₀ - f₂)] × h

= 20 + [(12 - 8)/(2×12 - 8 - 7)] × 10

= 20 + [4/(24 - 15)] × 10

= 20 + (4/9) × 10

= 20 + 40/9

= 20 + 4.444

= 24.444

अतः बहुलक ≈ 24.44