RBSE Class 10th 2024 Mathematics-S-09-2024 Previous Year Papers

माध्यमिक परीक्षा, 2024
SECONDARY EXAMINATION, 2024

गणित
MATHEMATICS

समय : 3 घण्टे 5 मिनट  |  पूर्णांक : 80

परीक्षार्थियों के लिए सामान्य निर्देश :
GENERAL INSTRUCTIONS TO THE EXAMINEES :

1. परीक्षार्थी सर्वप्रथम अपने प्रश्न-पत्र पर नामांक अनिवार्यतः लिखें।
   Candidate must write first his / her Roll No. on the question paper compulsorily.
2. सभी प्रश्न करने अनिवार्य हैं।
   All the questions are compulsory.
3. प्रत्येक प्रश्न का उत्तर दी गई उत्तर-पुस्तिका में ही लिखें।
   Write the answer to each question in the given answer-book only.

No. of Questions — 22  |  No. of Printed Pages — 5

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निर्देश / Instructions

1. जिन प्रश्नों में आन्तरिक खण्ड हैं, उन सभी के उत्तर एक साथ ही लिखें।

   For questions having more than one part, the answers to those parts are to be written together in continuity.

2. प्रश्न-पत्र के हिन्दी व अंग्रेजी रूपांतर में किसी प्रकार की त्रुटि/अंतर/विरोधाभास होने पर हिन्दी भाषा के प्रश्न को ही सही मानें।

   If there is any error / difference / contradiction in Hindi & English versions of the question paper, the question of Hindi version should be treated valid.

3. प्रश्न का उत्तर लिखने से पूर्व प्रश्न का क्रमांक अवश्य लिखें।

   Write down the serial number of the question before attempting it.

4. प्रश्न क्रमांक 6 से 22 तक में आन्तरिक विकल्प हैं।

   There are internal choices in Question Nos. 6 to 22.

5. अपनी उत्तर-पुस्तिका के पृष्ठों के दोनों ओर लिखिए। यदि कोई रफ़ कार्य करना हो, तो उत्तर-पुस्तिका के अंतिम पृष्ठों पर करें और इन्हें तिरछी लाइनों से काटकर उन पर 'रफ़ कार्य' लिख दें।

   Write on both sides of the pages of your answer-book. If any rough work is to be done, do it on last pages of the answer-book and cross with slant lines and write "Rough Work" on them.

S-09-Mathematics

खण्ड-अ / SECTION - A

बहुविकल्पीय प्रश्न :

Multiple Choice Questions :

वस्तुनिष्ठ प्रश्नों के उत्तर का सही विकल्प चयन कर उत्तर-पुस्तिका में लिखिए :
Choose the correct option to answer the following objective questions and write in the answer sheet :

1. (i) दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक 27 है तथा उनका लघुत्तम समापवर्त्य 162 है। यदि एक संख्या 54 है, तो दूसरी संख्या है :
   The Highest Common Factor of two numbers is 27 and their Least Common Multiple is 162. If one number is 54, then the other number is :

   • (अ) 81
   • (ब) 27
   • (स) 54
   • (द) 18

   सही उत्तर / Correct Answer: (अ) 81

   व्याख्या / Explanation: हम जानते हैं कि दो संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM होता है। अतः, 54 × दूसरी संख्या = 27 × 162 ⇒ दूसरी संख्या = (27 × 162) / 54 = 81.

2. (ii) बहुपद x² – 2x – 8 के शून्यक हैं :
   The zeroes of the polynomial x² – 2x – 8 are :

   • (अ) 2, 4
   • (ब) 2, 5
   • (स) -2, 4
   • (द) -2, 6

   सही उत्तर / Correct Answer: (स) -2, 4

   व्याख्या / Explanation: x² – 2x – 8 = x² – 4x + 2x – 8 = x(x – 4) + 2(x – 4) = (x – 4)(x + 2). अतः शून्यक x = 4 और x = -2 हैं।

प्रश्न (iii)

यदि पहली संख्या x का दुगुना दूसरी संख्या y के 7 गुने से 5 कम है, तो निम्न में से कौन सा समीकरण सही है?

• (A) 2x = 7y + 5
• (B) 5x = 7y + 2
• (C) 7x = 2y – 5
• (D) 2x = 7y – 5

व्याख्या: पहली संख्या x का दुगुना = 2x, दूसरी संख्या y के 7 गुने से 5 कम = 7y – 5. अतः समीकरण 2x = 7y – 5 है।

प्रश्न (iv)

यदि समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद 2 और सार्व अन्तर 3 हो, तो nवाँ पद होगा:

• (A) 3n + 2
• (B) 3n – 1
• (C) 3n – 1
• (D) 3n – 2

व्याख्या: समान्तर श्रेढ़ी का nवाँ पद = a + (n – 1)d = 2 + (n – 1) × 3 = 2 + 3n – 3 = 3n – 1.

प्रश्न (v)

3 के प्रथम पाँच गुणजों का योगफल है:

• (A) 42
• (B) 39
• (C) 45
• (D) 33

व्याख्या: 3 के प्रथम पाँच गुणज = 3, 6, 9, 12, 15. इनका योग = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 = 45.

प्रश्न (vi)

यदि किसी त्रिभुज POR में PQ² + QR² = PR² हो, तो कौन सा कोण समकोण होगा ?

• (अ) ∠P
• (ब) ∠Q
• (स) ∠R
• (द) इनमें से कोई नहीं

English: If PQ² + QR² = PR² in triangle POR, then which angle will be a right angle?

• (A) ∠P
• (B) ∠Q
• (C) ∠R
• (D) None of these

प्रश्न (vii)

बिन्दु (0, 3) की x-अक्ष से दूरी होगी :

• (अ) 3
• (ब) 0
• (स) 2
• (द) 1

English: The distance of point (0, 3) from x-axis will be :

• (A) 3
• (B) 0
• (C) 2
• (D) 1

प्रश्न (viii)

2 sin 45° cos 45° का मान है :

• (अ) 2
• (ब) 0
• (स) 1/2
• (द) 1

English: The value of 2 sin 45° cos 45° is :

• (A) 2
• (B) 0
• (C) 1/2
• (D) 1

(ix) यदि किसी वृक्ष की छाया उसकी ऊँचाई की √3 गुना हो, तो सूर्य का उन्नयन कोण है :

If the shadow of a tree is √3 times its height, then angle of elevation of the sun is :

1. 90°
2. 60°
3. 45°
4. 30°

(x) किसी वृत्त के व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श-रेखाएँ परस्पर होती हैं :

The tangents drawn at the ends of any diameter of a circle are mutually :

1. perpendicular
2. parallel
3. intersecting
4. secant

(xi) यदि एक वृत्त की परिधि 76 सेमी है, तो उसकी त्रिज्या है :

If the circumference of a circle is 76 cm, then its radius is :

1. 2 cm
2. 4 cm
3. 28 cm
4. 7 cm

(xii) यदि एक गोले का आयतन 36π घन सेमी है, तो उसकी त्रिज्या है :

If the volume of a sphere is 36π cm³, then its radius is :

• (अ) 3 सेमी (A) 3 cm
• (ब) 6 सेमी (B) 6 cm
• (स) 2 सेमी (C) 2 cm
• (द) 5 सेमी (D) 5 cm

(xiii) प्रथम 11 पूर्ण संख्याओं का माध्य होगा :

The mean of first 11 whole numbers will be :

• (अ) 4 (A) 4
• (ब) 5 (B) 5
• (स) 5.5 (C) 5.5
• (द) 6 (D) 6

(xiv) बंटन 3, 3, 5, 3, 4, 2, 8, 4, 3, 4, 3 का बहुलक है :

The mode of distribution 3, 3, 5, 3, 4, 2, 8, 4, 3, 4, 3 is:

• (अ) 7 (A) 7
• (ब) 3 (B) 3
• (स) 4 (C) 4
• (द) 5 (D) 5

(xv) यदि P(E) = 0.05 है, तो 'E नहीं' की प्रायिकता होगी :

If P(E) = 0.05, then the probability of “Not E” will be :

• (अ) 0.90 (A) 0.90
• (ब) 0.59 (B) 0.59
• (स) 0.50 (C) 0.50
• (द) 0.95 (D) 0.95

खंड-ब (Section-B)

2. निम्नलिखित प्रश्नों में रिक्त स्थानों की पूर्ति करते हुए उत्तर-पुस्तिका में लिखिए ।

Fill in the blanks in the following questions and write them in the answer book.

1. समांतर श्रेढ़ी -3, ... का 11वाँ पद है।
   The eleventh term of Arithmetic Progression -3, ... is

   उत्तर: श्रेढ़ी -3, -1, 1, 3, ... है। यहाँ प्रथम पद a = -3, सार्वअंतर d = 2 है।
   11वाँ पद = a + (11-1)d = -3 + 10×2 = -3 + 20 = 17

2. cos² 60° – sin² 60° का मान = ______
   The value of cos² 60° – sin² 60° is

   उत्तर: cos 60° = 1/2, sin 60° = √3/2
   cos² 60° – sin² 60° = (1/2)² – (√3/2)² = 1/4 – 3/4 = -2/4 = -1/2

3. यदि एक वृत्त का क्षेत्रफल 54 सेमी² है, तो उसकी त्रिज्या है।
   If the area of a circle is 54 cm², then its radius is

   उत्तर: वृत्त का क्षेत्रफल = πr² = 54
   ⇒ r² = 54/π = 54 × 7/22 = 378/22 = 189/11 ≈ 17.18
   ⇒ r = √(189/11) = √(17.18) ≈ 4.14 सेमी

4. यदि एक शंकु की त्रिज्या 6 सेमी व ऊँचाई 8 सेमी है, तो उसकी तिर्यक ऊँचाई है।
   If the radius of a cone is 6 cm and height is 8 cm, then its slant height is

   उत्तर: तिर्यक ऊँचाई l = √(r² + h²) = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 सेमी

5. 3 माध्यक = 2 माध्य + ______
   3 Median = 2 Mean + ______

   उत्तर: 3 माध्यक = 2 माध्य + बहुलक (Mode)

6. वर्ग अन्तराल 60 – 75 का वर्ग चिह्न है।
   The class mark of the class interval 60 – 75 is

   उत्तर: वर्ग चिह्न = (निम्न सीमा + उच्च सीमा)/2 = (60 + 75)/2 = 135/2 = 67.5

7. एक पासे को उछाले जाने पर 6 से बड़ा अंक आने की प्रायिकता होती है।
   The probability of getting a number greater than 6 when a die is thrown, is

   उत्तर: पासे पर अंक 1, 2, 3, 4, 5, 6 होते हैं। 6 से बड़ा कोई अंक नहीं है। अतः अनुकूल परिणाम = 0, कुल परिणाम = 6
   प्रायिकता = 0/6 = 0

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न / Very Short Answer Type Questions

1. (i) यदि x = 2⁷ × 3² और y = 2² × 3² हो, तो x और y का लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.प.) ज्ञात कीजिए।
   If x = 2⁷ × 3² and y = 2² × 3², then find the Least Common Multiple (L.C.M.) of x and y.

   हल / Solution:
   ल.स.प. ज्ञात करने के लिए प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की अधिकतम घात ली जाती है।
   x = 2⁷ × 3²
   y = 2² × 3²
   अतः ल.स.प. = 2⁷ × 3² = 128 × 9 = 1152

   उत्तर / Answer: 1152

2. (ii) बहुपद x² – 3 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
   Find the zeroes of the polynomial x² – 3.

   हल / Solution:
   बहुपद के शून्यक ज्ञात करने के लिए x² – 3 = 0 रखते हैं।
   x² = 3
   x = ±√3

   उत्तर / Answer: √3 और –√3

3. (iii) रैखिक समीकरण युग्म x + y = 14 और x – y = 4 को हल कीजिए।
   Solve the pair of linear equations x + y = 14 and x – y = 4.

   हल / Solution:
   दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
   (x + y) + (x – y) = 14 + 4
   2x = 18
   x = 9
   x का मान पहले समीकरण में रखने पर:
   9 + y = 14
   y = 5

   उत्तर / Answer: x = 9, y = 5

4. (iv) निम्न आकृति में यदि DE || BC हो, तो EC का मान ज्ञात कीजिए।
   In the given figure, if DE || BC, then find the value of EC.

   हल / Solution:
   चूँकि DE || BC है, अतः थेल्स प्रमेय (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय) के अनुसार:
   AD/DB = AE/EC
   आकृति में मान नहीं दिए गए हैं, अतः EC का मान ज्ञात नहीं किया जा सकता। कृपया आकृति में दिए गए मानों का उपयोग करें।

   नोट: यदि AD, DB और AE दिए हों, तो EC = (AE × DB) / AD होगा।

5. (v) बिन्दुओं (–a, a) तथा (a, –a) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
   Find the distance between the points (–a, a) and (a, –a).

   हल / Solution:
   दूरी सूत्र: d = √[(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²]
   यहाँ (x₁, y₁) = (–a, a) और (x₂, y₂) = (a, –a)
   d = √[(a – (–a))² + (–a – a)²]
   d = √[(a + a)² + (–2a)²]
   d = √[(2a)² + (2a)²]
   d = √[4a² + 4a²] = √(8a²) = 2√2 a

   उत्तर / Answer: 2√2 a इकाई

6. (vi) एक ऊर्ध्वाधर खम्भे की परछाईं खम्भे की ऊँचाई के बराबर है, तो सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए।
   The shadow of a vertical pole is equal to the height of the pole, then find the angle of elevation of the sun.

   हल / Solution:
   माना खम्भे की ऊँचाई = h, परछाईं की लंबाई = h
   tan θ = लंब/आधार = h/h = 1
   tan θ = 1
   θ = 45°

   उत्तर / Answer: 45°

(vii) मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए

यदि एक मीनार के पाद बिन्दु से 100 मीटर की दूरी पर स्थित एक बिन्दु से उसके शिखर का उन्नयन कोण 60° है, तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

If the angle of elevation of the top of a tower from a point at a distance of 100 metre from its foot is 60°, then find the height of the tower.

(viii) चाप की लम्बाई ज्ञात कीजिए

एक वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है तथा केन्द्र पर अंतरित कोण 60° है। चाप की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

The radius of circle is 7 cm and the angle subtended at the centre is 60°. Find the length of arc.

(ix) घन की भुजा ज्ञात कीजिए

एक घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 294 वर्ग मीटर है। घन की भुजा ज्ञात कीजिए।

The total surface area of a cube is 294 square metre. Find the side of the cube.

(x) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

7 सेमी त्रिज्या के गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Find the surface area of a sphere of radius 7 cm.

खण्ड-ब (Section-B)

लघूत्तरात्मक प्रश्न (Short Answer Type Questions)

4. सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।

Prove that √5 is an irrational number.

5. बहुपद 2x² - x - 6 के शून्यक ज्ञात कीजिए।

Find the zeroes of the polynomial 2x² - x - 6.

6. A संख्याओं का अन्तर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी हो, तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए |

The difference of two numbers is 26 and one number is three times the other number, then find the numbers.

7. निम्न आकृति में यदि DE || BC, AD = x, DB = x − 2, AE = x + 2 तथा EC = x − 1 हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए |

In the following figure, if DE || BC, AD = x, DB = x − 2, AE = x + 2 and EC = x − 1, then find the value of x.

8. यदि बिन्दु (x, 3) और (5, 7) के बीच की दूरी 5 इकाई हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए |

If the distance between the points (x, 3) and (5, 7) is 5 units, then find the value of x.

9. यदि tan A = 1 हो, तो 2 sin A cos A का मान ज्ञात कीजिए |

If tan A = 1, then find the value of 2 sin A cos A.

10. दो खम्भों के शीर्ष, जिनकी ऊँचाई 20 मीटर तथा 4 मीटर हैं, एक तार से जुड़े हुए हैं। तार क्षैतिज रेखा के साथ 30° का कोण बनाता है, तो तार की लम्बाई ज्ञात कीजिए | (तार सरल रेखीय रूप में जुड़ा हुआ है)

The tops of two pillars, whose heights are 20 m and 4 m, are connected by a wire. If the wire makes an angle of 30° with the horizontal line, then find the length of the wire. (Wire is connected in straight line form)

11. दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 सेमी तथा 3 सेमी हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती हो |

Two concentric circles are of radii 5 cm and 3 cm. Find the length of the chord of the larger circle which touches the smaller circle.

प्रश्न 12

त्रिज्या 21 सेमी वाले वृत्त का एक चाप केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करता है। चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

An arc of a circle of radius 21 cm subtends an angle of 60° at the centre. Find the area of the sector formed by the arc.

प्रश्न 13

एक लम्ब वृत्तीय बेलन के आधार का क्षेत्रफल 154 सेमी² है तथा इसकी ऊँचाई 15 सेमी है, इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

The area of the base of a right circular cylinder is 154 cm² and its height is 15 cm, find its curved surface area.

प्रश्न 14

निम्न बारम्बारता बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए:

Find the mean of the following frequency distribution:

प्रश्न 15

एक बाल पासा ऐसा पासा है जिसके छः फलकों पर निम्नलिखित अक्षर अंकित हैं:

A B C D E A

इस पासे को एक बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि (i) A प्राप्त हो? (ii) D प्राप्त हो?

A child has a die whose six faces show the letters as given below:

A B C D E A

The die is thrown once. What is the probability of getting (i) A? (ii) D?

खण्ड-स / Section - C

दीर्घ-उत्तरीय प्रश्न / Long Answer Type Questions:

16. 10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं ?
    How many multiples of 4 lie between 10 and 250?

    हल: 10 और 250 के बीच 4 के गुणज हैं: 12, 16, 20, ..., 248। यह एक समांतर श्रेणी (AP) है जिसमें प्रथम पद a = 12, सार्व अंतर d = 4, और अंतिम पद l = 248 है।

    AP का nवाँ पद: a_n = a + (n-1)d
    248 = 12 + (n-1) × 4
    248 - 12 = (n-1) × 4
    236 = (n-1) × 4
    n - 1 = 236 / 4 = 59
    n = 60

    अतः 10 और 250 के बीच 4 के 60 गुणज हैं।

    अथवा / OR

    0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
    Find the sum of the odd numbers between 0 and 50.

    हल: 0 और 50 के बीच विषम संख्याएँ: 1, 3, 5, ..., 49। यह एक AP है जिसमें a = 1, d = 2, और अंतिम पद l = 49 है।

    पदों की संख्या: l = a + (n-1)d
    49 = 1 + (n-1) × 2
    48 = (n-1) × 2
    n - 1 = 24
    n = 25

    योग S_n = n/2 × (a + l) = 25/2 × (1 + 49) = 25/2 × 50 = 25 × 25 = 625

    अतः 0 और 50 के बीच विषम संख्याओं का योग 625 है।

17. यदि बिन्दु A(6, 1), B(8, 2), C(9, 4) और D(p, 3) एक समांतर-चतुर्भुज के शीर्ष इसी क्रम में हों, तो p का मान ज्ञात कीजिए।
    If the points A(6, 1), B(8, 2), C(9, 4) and D(p, 3) are the vertices of a parallelogram, taken in order, find the value of p.

    हल: समांतर चतुर्भुज में विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। अतः विकर्ण AC और BD के मध्य-बिंदु समान होंगे।

    AC का मध्य-बिंदु = ((6+9)/2, (1+4)/2) = (15/2, 5/2)

    BD का मध्य-बिंदु = ((8+p)/2, (2+3)/2) = ((8+p)/2, 5/2)

    दोनों मध्य-बिंदु बराबर हैं:
    15/2 = (8+p)/2
    15 = 8 + p
    p = 7

    अतः p का मान 7 है।

    अथवा / OR

    उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (-1, 7) और (4, -3) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।
    Find the coordinates of the point which divides the line segment joining the points (-1, 7) and (4, -3) in the ratio 2 : 3.

    हल: माना बिन्दु P(x, y) रेखाखण्ड AB को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है, जहाँ A(-1, 7) और B(4, -3) हैं।

    विभाजन सूत्र: P(x, y) = ((m₁x₂ + m₂x₁)/(m₁+m₂), (m₁y₂ + m₂y₁)/(m₁+m₂))

    यहाँ m₁ = 2, m₂ = 3, x₁ = -1, y₁ = 7, x₂ = 4, y₂ = -3

    x = (2×4 + 3×(-1)) / (2+3) = (8 - 3) / 5 = 5/5 = 1

    y = (2×(-3) + 3×7) / (2+3) = (-6 + 21) / 5 = 15/5 = 3

    अतः अभीष्ट बिन्दु के निर्देशांक (1, 3) हैं।

18. सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत समांतर-चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है।
    Prove that the parallelogram circumscribing a circle is a rhombus.

    हल: माना ABCD एक समांतर चतुर्भुज है जो एक वृत्त को बिंदुओं P, Q, R, S पर स्पर्श करता है।

    वृत्त के बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं। अतः:

    AP = AS (बिंदु A से स्पर्श रेखाएँ)
    BP = BQ (बिंदु B से)
    CR = CQ (बिंदु C से)
    DR = DS (बिंदु D से)

    समांतर चतुर्भुज में AB = CD और AD = BC

    अब, AB + CD = AP + BP + CR + DR = AS + BQ + CQ + DS = (AS + DS) + (BQ + CQ) = AD + BC

    चूँकि AB = CD और AD = BC, तो 2AB = 2AD ⇒ AB = AD

    अतः समांतर चतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर हैं, इसलिए यह एक समचतुर्भुज है। सिद्ध हुआ।

    अथवा / OR

    सिद्ध कीजिए कि वृत्त के परिगत बने चतुर्भुज की आमने-सामने की भुजाएँ वृत्त के केन्द्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं।
    Prove that opposite sides of quadrilateral circumscribing a circle subtend supplementary angles at the centre of the circle.

    हल: माना ABCD एक चतुर्भुज है जो वृत्त को बिंदुओं P, Q, R, S पर स्पर्श करता है। वृत्त का केंद्र O है।

    स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है। अतः OP ⟂ AB, OQ ⟂ BC, OR ⟂ CD, OS ⟂ DA

    चतुर्भुज OPBQ में, ∠OPB + ∠OQB = 90° + 90° = 180°
    इसलिए ∠POQ + ∠PBQ = 180° (चतुर्भुज के कोणों का योग 360°)

    इसी प्रकार, ∠ROS + ∠RDS = 180°

    अब, ∠POQ + ∠ROS = 180° - ∠PBQ + 180° - ∠RDS = 360° - (∠PBQ + ∠RDS)

    चूँकि ∠PBQ + ∠RDS = 180° (समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण संपूरक), तो:

    ∠POQ + ∠ROS = 360° - 180° = 180°

    अतः भुजाओं AB और CD द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण संपूरक हैं। इसी प्रकार BC और AD के लिए भी। सिद्ध हुआ।

9. निम्न बारम्बारता बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए :

Find the median of the following frequency distribution :

अथवा / OR

यदि निम्न बारम्बारता बंटन का माध्य 2.5 हो, तो k का मान ज्ञात कीजिए।

If the mean of the following frequency distribution is 2.5, then find the value of k.

खण्ड-द / SECTION - D

निबंधात्मक प्रश्न / Essay Type Questions

20. एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7 सेमी कम है। यदि कर्ण 13 सेमी का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

The altitude of a right triangle is 7 cm less than its base. If the hypotenuse is 13 cm, find the other two sides.

अथवा / OR

दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो।

Find two consecutive positive integers, sum of whose squares is 365.

S-09-Mathematics

प्रश्न 21 (दोनों विकल्प)

प्रश्न 22 (दोनों विकल्प)