RBSE Class 10th 2025 Mathematics-S-09-2025 Previous Year Papers
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Paper details
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| Board | RBSE |
|---|---|
| Class | Class 10th |
| Exam year | 2025 |
| Subject | Mathematics-S-09-2025 |
| Resource type | Previous Year Papers |
| Category | RBSE Previous Year Question Papers |
| Website | RBSE Solution |
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RBSE Class 10th 2025 Mathematics-S-09-2025
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Rajasthan Board Class 10th Mathematics-S-09-2025 2025 solved Previous Year Question Papers
माध्यमिक परीक्षा, 2025
SECONDARY EXAMINATION, 2025
गणित
MATHEMATICS
समय : 3 घण्टे 15 मिनट पूर्णांक : 80
परीक्षार्थियों के लिए सामान्य निर्देश :
GENERAL INSTRUCTIONS TO THE EXAMINEES :
- परीक्षार्थी सर्वप्रथम अपने प्रश्न-पत्र पर नामांक अनिवार्यत: लिखें ।
Candidate must write first his/her Roll No. on the question paper compulsorily. - सभी प्रश्न हल करने अनिवार्य हैं ।
All the questions are compulsory. - प्रत्येक प्रश्न का उत्तर दी गई उत्तर-पुस्तिका में ही लिखें ।
Write the answer to each question in the given answer-book only.
No. of Questions - 20 No. of Printed Pages - 5
S-09-Mathematics (Turn Over)
4) जिन प्रश्नों में आन्तरिक खण्ड हैं, उन सभी के उत्तर एक साथ ही लिखें |
For questions having more than one part, the answers to those parts are to be written together in continuity.
5) प्रश्न-पत्र के हिन्दी ब अंग्रेजी रूपांतर में किसी प्रकार की त्रुटि/अंतर/बिरोधाभास होने पर हिन्दी भाषा के प्रश्न को ही सही मानें ।
If there is any error/difference/contradiction in Hindi and English versions of the question paper, the question of Hindi version should be treated valid.
6) प्रश्न का उत्तर लिखने से पूर्व प्रश्न का क्रमांक अवश्य लिखें |
Write down the serial number of the question before attempting it.
7) प्रश्न क्रमांक 48 20 तक में आन्तरिक विकल्प हैं |
There are internal choices in Question Nos. 4 to 20.
8) अपनी उत्तर-पुस्तिका के पृष्ठों के दोनों ओर लिखिए | यदि कोई रफ़ कार्य करना हो, तो उत्तर-पुस्तिका के अंतिम पृष्ठों पर करें और इन्हें तिरछी लाइनों से काटकर उन पर TH कार्य' लिख दें |
Write on both sides of the pages of your answer-book. If any rough work is to be done, do it on last pages of the answer-book and cross with slant lines and write ‘Rough Work’ on them.
S-09-Mathematics
खण्ड -अ
SECTION -A
(बहुविकल्पीय प्रश्न एवं अति लघुत्तरात्मक प्रश्न)
(Multiple Choice Questions and Very Short Answer Type Questions)
निम्नलिखित बहुविकल्पीय प्रश्न (i से xviii) के उत्तर का सही विकल्प चयन कर उत्तर-पुस्तिका में लिखिए।
Choose the correct option to answer the following multiple choice questions (i to xviii) and write in the answer-book.
-
400 के अभाज्य गुणनखण्डों की घातों का योगफल है
The sum of powers of prime factors of 400 is
- A) 4
- B) 9
- C) 6
- D) 8
Explanation: 400 = 2⁴ × 5². Powers are 4 and 2. Sum = 4 + 2 = 6.
-
यदि बहुपद 2x² + x + k का एक शून्यक 3 है, तो k का मान होगा
If 3 is a zero of the polynomial 2x² + x + k, then the value of k will be
- A) -2
- B) 2
- C) -21
- D) -21
Explanation: Since 3 is a zero, substitute x = 3: 2(3)² + 3 + k = 0 → 18 + 3 + k = 0 → k = -21.
-
एक दो अंकों की संख्या में इकाई का अंक x और दहाई का अंक y है, तो वह संख्या है
In a two digit number, the unit digit is x and the tens digit is y, then that number is
- A) (10x + y)
- B) (10y + x)
- C) (x + y)
- D) 10xy
Explanation: Tens digit y means y × 10, unit digit x means x × 1, so number = 10y + x.
-
यदि ΔABC ~ ΔDEF हो एवं AB = 10 सेमी, DE = 8 सेमी हो, तो BC : EF है
If ΔABC ~ ΔDEF and AB = 10 cm, DE = 8 cm, then BC : EF is
- A) 8 : 8
- B) 5 : 4
- C) 9 : 4
- D) 4 : 5
Explanation: In similar triangles, corresponding sides are proportional. AB/DE = BC/EF → 10/8 = 5/4, so BC : EF = 5 : 4.
प्रश्न 5 (v)
मूल बिन्दु O(0, 0) से बिन्दु P(-3, 4) की दूरी है:
- अ) 5
- ब) √7
- स) 7
- द) 1
हल: दूरी सूत्र √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] का उपयोग करते हुए:
दूरी = √[(-3 - 0)² + (4 - 0)²] = √[9 + 16] = √25 = 5
सही उत्तर: अ) 5
प्रश्न 6 (vi)
cosec²45° - cot²45° बराबर है:
- अ) √2
- ब) 1
- स) 0
- द) 2√2
हल: cosec45° = √2, cot45° = 1
cosec²45° = (√2)² = 2, cot²45° = 1² = 1
अतः cosec²45° - cot²45° = 2 - 1 = 1
सही उत्तर: ब) 1
प्रश्न 7 (vii)
एक उर्ध्वाधर खम्भे की परछाई, खम्भे की ऊँचाई के बराबर है, तो सूर्य का उन्नयन कोण है:
- अ) 60°
- ब) 30°
- स) 90°
- द) 45°
हल: माना खम्भे की ऊँचाई = h, परछाई की लंबाई = h
tan θ = ऊँचाई / परछाई = h/h = 1
tan 45° = 1, अतः θ = 45°
सही उत्तर: द) 45°
प्रश्न 8 (viii)
एक बिन्दु P से एक वृत्त पर स्पर्श रेखा की लम्बाई 24 सेमी तथा P की केन्द्र से दूरी 25 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या है:
- अ) 7 सेमी
- ब) 4 सेमी
- स) 3.5 सेमी
- द) 1 सेमी
हल: स्पर्श रेखा की लंबाई = 24 सेमी, केंद्र से दूरी = 25 सेमी
पाइथागोरस प्रमेय से: त्रिज्या² = (केंद्र से दूरी)² - (स्पर्श रेखा की लंबाई)²
त्रिज्या² = 25² - 24² = 625 - 576 = 49
त्रिज्या = √49 = 7 सेमी
सही उत्तर: अ) 7 सेमी
प्रश्न 9 (ix)
एक वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है, उस वृत्त के एक चतुर्थाश का क्षेत्रफल है:
- अ) 38.5 सेमी²
- ब) 77 सेमी²
- स) 154 सेमी²
- द) 4 सेमी²
हल: वृत्त का क्षेत्रफल = πr² = (22/7) × 7² = (22/7) × 49 = 154 सेमी²
चतुर्थाश का क्षेत्रफल = (1/4) × वृत्त का क्षेत्रफल = 154/4 = 38.5 सेमी²
सही उत्तर: अ) 38.5 सेमी²
प्रश्न x (Question x)
यदि एक शंकु की त्रिज्या 4 सेमी तथा तिर्यक ऊँचाई 0 सेमी है, तो शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल है:
If the radius of a cone is 4 cm and slant height is 0 cm, then the curved surface area of the cone is:
- 220 सेमी² (220 cm²)
- 0 सेमी² (0 cm²) ✓ सही उत्तर (Correct Answer)
- 440 सेमी² (440 cm²)
- 40 सेमी² (40 cm²)
व्याख्या (Explanation): शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl, जहाँ r = त्रिज्या, l = तिर्यक ऊँचाई। यहाँ l = 0 सेमी है, इसलिए क्षेत्रफल = π × 4 × 0 = 0 सेमी²।
प्रश्न xi (Question xi)
निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती?
Which of the following number cannot be the probability of any event?
- 4/3 ✓ सही उत्तर (Correct Answer)
- 2/3
- 0.7
- 0.5
व्याख्या (Explanation): किसी घटना की प्रायिकता हमेशा 0 और 1 के बीच होती है (0 ≤ P ≤ 1)। 4/3 ≈ 1.33 है, जो 1 से अधिक है, इसलिए यह प्रायिकता नहीं हो सकती।
प्रश्न xii (Question xii)
यदि दो परिमेय संख्याओं के लिये HCF = LCM, तो संख्याएँ हमेशा होनी चाहिए:
If HCF = LCM for two rational numbers, then numbers always should be:
- भाज्य (Composite)
- समान (Equal) ✓ सही उत्तर (Correct Answer)
- अभाज्य (Prime)
- सहअभाज्य (Co-prime)
व्याख्या (Explanation): यदि दो संख्याओं का HCF और LCM बराबर है, तो वे संख्याएँ समान होती हैं। उदाहरण: संख्याएँ 5 और 5 हैं, तो HCF = 5 और LCM = 5।
प्रश्न xiii (Question xiii)
यदि एक द्विघात बहुपद के शून्यकों का योग तथा गुणनफल क्रमशः 5 और 6 हैं, तो द्विघात बहुपद है:
If the sum and product of the zeros of a quadratic polynomial are 5 and 6 respectively, then the quadratic polynomial is:
- x² + 5x + 6
- x² + 6x + 5
- x² - 6x + 5
- x² - 5x + 6 ✓ सही उत्तर (Correct Answer)
व्याख्या (Explanation): द्विघात बहुपद का मानक रूप: x² - (शून्यकों का योग)x + (शून्यकों का गुणनफल) = x² - 5x + 6।
प्रश्न xiv
k के किस मान के लिए समीकरण निकाय x + y - 4 = 0 और 2x + ky - 3 = 0 का कोई हल नहीं होगा?
- A) 0
- B) 2
- C) 6
- D) 8
व्याख्या: रैखिक समीकरण निकाय a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 का कोई हल नहीं होता यदि a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂। यहाँ a₁=1, b₁=1, c₁=-4 और a₂=2, b₂=k, c₂=-3। अतः 1/2 = 1/k ⇒ k = 2। लेकिन c₁/c₂ = (-4)/(-3) = 4/3, जो 1/2 के बराबर नहीं है। इसलिए k = 2 पर कोई हल नहीं होगा।
प्रश्न xv
दिए गए चित्र में AB = 2 सेमी, ∠A = 50°, AC = 4 सेमी, DE = 3 सेमी, ∠D = 50° और DF = 6 सेमी। यदि BC = 3 सेमी हो, तो EF का माप है:
- A) 4.5 सेमी
- B) 6 सेमी
- C) 8 सेमी
- D) 5 सेमी
हल: त्रिभुज ABC और DEF में,
∠A = ∠D = 50° (दिया है)
AB/DE = 2/3 और AC/DF = 4/6 = 2/3
अतः AB/DE = AC/DF
इसलिए, SAS समरूपता कसौटी से, ΔABC ~ ΔDEF
समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं:
BC/EF = AB/DE
⇒ 3/EF = 2/3
⇒ EF = (3 × 3)/2 = 9/2 = 4.5 सेमी
अतः EF = 4.5 सेमी।
प्रश्न xvi
sin2A = 2 sinA तब सत्य होता है, जबकि A बराबर है
- 0°
- 30°
- 45°
- 90°
व्याख्या: sin2A = 2 sinA तब सत्य होता है जब A = 0° या A = 90°। विकल्पों में 90° दिया गया है। sin(2×90°) = sin180° = 0, और 2 sin90° = 2×1 = 2, यह सत्य नहीं है। वास्तव में sin2A = 2 sinA cosA, इसलिए 2 sinA cosA = 2 sinA ⇒ cosA = 1 ⇒ A = 0°। लेकिन दिए गए विकल्पों में 0° है, अतः सही उत्तर 0° है।
प्रश्न xvii
यदि cosA = 3/5 है, तो sinA का मान
- 3/5
- 4/5
- 5/3
- √(3/5)
4/5
व्याख्या: sin²A + cos²A = 1 ⇒ sin²A = 1 - (3/5)² = 1 - 9/25 = 16/25 ⇒ sinA = 4/5 (धनात्मक मान लेते हैं क्योंकि A न्यूनकोण है)।
प्रश्न xviii
एक घड़ी की मिनट की सुई द्वारा 5 मिनट में केन्द्र पर अन्तरित कोण है
- 30°
- 60°
- 25°
- 0°
30°
व्याख्या: मिनट की सुई 60 मिनट में 360° का कोण बनाती है। अतः 5 मिनट में कोण = (5/60) × 360° = 30°।
रिक्त स्थान भरें (प्रश्न i से vi)
i) यदि 8, a, 10 समान्तर श्रेढ़ी में है, तो a = ______
उत्तर: 9
हल: समान्तर श्रेढ़ी में, मध्य पद = (पहला पद + तीसरा पद)/2 ⇒ a = (8 + 10)/2 = 18/2 = 9
ii) बिन्दु P(7, -3) और बिन्दु Q(3, 9) के मध्य बिन्दु के निर्देशांक ______ हैं।
उत्तर: (5, 3)
हल: मध्य बिन्दु के निर्देशांक = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) = ((7 + 3)/2, (-3 + 9)/2) = (10/2, 6/2) = (5, 3)
iii) sin60° cosec60° + cos30° sec30° का मान ______ है।
उत्तर: 2
हल: sin60° = √3/2, cosec60° = 2/√3, cos30° = √3/2, sec30° = 2/√3
अतः व्यंजक = (√3/2 × 2/√3) + (√3/2 × 2/√3) = 1 + 1 = 2
खंड (अ) – वस्तुनिष्ठ प्रश्न
प्रश्न: एक ठोस अर्धगोले का व्यास 4 सेमी है, तो इसका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
If the diameter of a solid hemisphere is 4 cm, then its total surface area is
हल: अर्धगोले की त्रिज्या (r) = व्यास/2 = 4/2 = 2 सेमी।
सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3πr² = 3 × π × (2)² = 3 × π × 4 = 12π वर्ग सेमी।
अतः सही उत्तर 12π वर्ग सेमी है।
प्रश्न: बंटन 1, 4, 5, 6, 4, 7, 9, 2, 4, 3, 5 का बहुलक है।
The mode of the distribution 1, 4, 5, 6, 4, 7, 9, 2, 4, 3, 5 is
हल: बहुलक वह मान है जो सबसे अधिक बार आता है। यहाँ संख्या 4 तीन बार आती है, जो सबसे अधिक है। अतः बहुलक = 4 है।
प्रश्न: किसी वर्ग अन्तराल के लिए वर्ग चिन्ह 17 है। यदि उपरि वर्ग सीमा 24 है, तो निचली वर्ग सीमा है।
The class mark for any class interval is 17. If the upper class limit is 24, then the lower class limit is
हल: वर्ग चिन्ह = (निचली सीमा + उपरि सीमा)/2
⇒ 17 = (निचली सीमा + 24)/2
⇒ 34 = निचली सीमा + 24
⇒ निचली सीमा = 34 - 24 = 10
खंड (ब) – अति लघुत्तरात्मक प्रश्न
(vi) प्रश्न: यदि एक वृत्त की त्रिज्या 14 सेमी है तथा चाप की लम्बाई 22 सेमी है, तो उस चाप द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण ज्ञात कीजिए।
If the radius of a circle is 14 cm and the length of the arc is 22 cm, then find the angle subtended by the arc at the centre.
हल: चाप की लम्बाई (l) = 22 सेमी, त्रिज्या (r) = 14 सेमी।
चाप की लम्बाई का सूत्र: l = (θ/360°) × 2πr
⇒ 22 = (θ/360°) × 2 × (22/7) × 14
⇒ 22 = (θ/360°) × 88
⇒ θ/360° = 22/88 = 1/4
⇒ θ = 360°/4 = 90°
अतः केन्द्र पर अन्तरित कोण 90° है।
(vii) प्रश्न: यदि एक घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 864 वर्ग सेमी है, तो इसके एक फलक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
If the total surface area of a cube is 864 square cm, then find the surface area of one of its faces.
हल: घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × (एक फलक का क्षेत्रफल)
⇒ 864 = 6 × (एक फलक का क्षेत्रफल)
⇒ एक फलक का क्षेत्रफल = 864/6 = 144 वर्ग सेमी।
(viii) प्रश्न: निम्न बारम्बारता बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए।
Find the median of the following frequency distribution.
| x | 3 | 5 | 7 | 9 |
|---|---|---|---|---|
| बारम्बारता (f) | 6 | 7 | 5 | 6 |
हल: संचयी बारम्बारता सारणी बनाते हैं:
| x | f | cf |
|---|---|---|
| 3 | 6 | 6 |
| 5 | 7 | 13 |
| 7 | 5 | 18 |
| 9 | 6 | 24 |
कुल बारम्बारता (N) = 24, N/2 = 12।
संचयी बारम्बारता 12 से ठीक बड़ी 13 है, जो x = 5 के संगत है।
अतः माध्यक = 5 है।
(iv) एक पासे को एक बार फेकने पर 5 से बड़ा अंक आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
In a single throw of a die, determine the probability of getting a number more than 5.
- कुल संभावित परिणाम = 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6)
- 5 से बड़े अंक = 6 (केवल एक)
- अनुकूल परिणाम = 1
प्रायिकता = अनुकूल परिणाम / कुल संभावित परिणाम = 1/6
सही उत्तर: 1/6
(v) एक लम्बवृत्तीय शंकु और बेलन समान त्रिज्या और समान ऊँचाई के हैं। यदि शंकु का आयतन 66 घन सेमी है, तो बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।
A right circular cone and a cylinder are of equal radius and equal height. If the volume of the cone is 66 cubic cm, then find the volume of the cylinder.
शंकु का आयतन = (1/3)πr²h = 66 घन सेमी
बेलन का आयतन = πr²h
चूँकि त्रिज्या और ऊँचाई समान हैं, बेलन का आयतन = 3 × शंकु का आयतन = 3 × 66 = 198 घन सेमी
सही उत्तर: 198 घन सेमी
(vi) निम्न आँकड़ों का माध्यक ज्ञात कीजिए: 9, 7, 25, 27, 8, 20, 29
Find median of the following data: 9, 7, 25, 27, 8, 20, 29
चरण 1: आँकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: 7, 8, 9, 20, 25, 27, 29
चरण 2: कुल संख्या (n) = 7 (विषम)
चरण 3: माध्यक = (n+1)/2 वाँ पद = (7+1)/2 = 4 वाँ पद
चरण 4: चौथा पद = 20
सही उत्तर: 20
(vii) दो खिलाड़ी राम और श्याम शतरंज का एक मैच खेलते हैं। यह ज्ञात है कि राम द्वारा मैच जीतने की प्रायिकता 4/5 है। श्याम के जीतने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Two players Ram and Shyam play a chess match. It is given that probability of winning the match by Ram is 4/5. Find the probability of winning the match by Shyam.
राम के जीतने की प्रायिकता = 4/5
श्याम के जीतने की प्रायिकता = 1 - राम के जीतने की प्रायिकता = 1 - 4/5 = 1/5
सही उत्तर: 1/5
(viii) दो घनों, जिनमें से प्रत्येक की भुजा 2 सेमी है, के संलग्न फलकों को मिलाकर एक ठोस घनाभ बनाया जाता है। इससे प्राप्त घनाभ का आयतन ज्ञात कीजिए।
A solid cuboid is formed by joining the adjacent faces of two cubes, each of side 2 cm. Find the volume of the resulting cuboid.
प्रत्येक घन का आयतन = भुजा³ = 2³ = 8 घन सेमी
दो घनों को जोड़ने पर घनाभ का आयतन = 2 × 8 = 16 घन सेमी
सही उत्तर: 16 घन सेमी
(ix) प्रथम दस धनात्मक विषम प्राकृत संख्याओं का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।
Find the arithmetic mean of the first ten positive odd natural numbers.
प्रथम दस धनात्मक विषम प्राकृत संख्याएँ: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19
इनका योग = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 100
समान्तर माध्य = योग / कुल संख्या = 100 / 10 = 10
सही उत्तर: 10
प्रश्न 21
एक थैले में 6 लाल व 7 सफेद गेंदे हैं। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। निकाली गई गेंद की सफेद होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
A bag contains 6 red and 7 white balls. From this bag, one ball is drawn randomly. Find the probability that the ball drawn is white.
हल:
थैले में कुल गेंदों की संख्या = 6 लाल + 7 सफेद = 13 गेंदें।
एक गेंद यादृच्छया निकालने पर कुल संभावित परिणाम = 13।
सफेद गेंद निकलने की अनुकूल परिणाम = 7।
अतः सफेद गेंद निकलने की प्रायिकता = अनुकूल परिणाम / कुल संभावित परिणाम = 7/13।
उत्तर: 7/13
प्रश्न 22
यदि एक ठोस अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 50π वर्ग सेमी है, तो उस अर्धगोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
If the curved surface area of a solid hemisphere is 50π square cm, then find the radius of that hemisphere.
हल:
ठोस अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr², जहाँ r त्रिज्या है।
प्रश्नानुसार, 2πr² = 50π
⇒ r² = 50π / 2π = 25
⇒ r = √25 = 5 सेमी
उत्तर: त्रिज्या = 5 सेमी
प्रश्न 23
यदि 5, 7, 9, 4, 3, (x + 2) का समान्तर माध्य 6 हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
If the arithmetic mean of 5, 7, 9, 4, 3, (x + 2) is 6, then find the value of x.
हल:
समान्तर माध्य = (सभी पदों का योग) / (पदों की संख्या)
यहाँ पदों की संख्या = 6
सभी पदों का योग = 5 + 7 + 9 + 4 + 3 + (x + 2) = 30 + x
प्रश्नानुसार, (30 + x) / 6 = 6
⇒ 30 + x = 36
⇒ x = 36 - 30 = 6
उत्तर: x = 6
खण्ड - ब (SECTION - B)
(लघुत्तरात्मक प्रश्न) (Short Answer Type Questions)
प्रश्न 24
संख्याओं 2, 15 और 21 का अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा HCF और LCM ज्ञात कीजिए।
Find the HCF and LCM of 2, 15 and 21 using the prime factorisation method.
हल:
अभाज्य गुणनखंडन:
2 = 2¹
15 = 3 × 5
21 = 3 × 7
HCF: सभी संख्याओं में उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घातों का गुणनफल। यहाँ कोई उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड नहीं है, अतः HCF = 1।
LCM: सभी अभाज्य गुणनखंडों की सबसे बड़ी घातों का गुणनफल = 2¹ × 3¹ × 5¹ × 7¹ = 2 × 3 × 5 × 7 = 210।
उत्तर: HCF = 1, LCM = 210
प्रश्न 25
यदि द्विघात बहुपद 3x² - 5x + 9 के शून्यक α और β हो, तो (α + β) तथा αβ ज्ञात कीजिए।
If α and β are the zeros of the quadratic polynomial 3x² - 5x + 9, then find (α + β) and αβ.
हल:
द्विघात बहुपद ax² + bx + c के लिए, शून्यकों का योग (α + β) = -b/a और गुणनफल αβ = c/a होता है।
यहाँ, a = 3, b = -5, c = 9
अतः, α + β = -(-5)/3 = 5/3
αβ = 9/3 = 3
उत्तर: α + β = 5/3, αβ = 3
प्रश्न 26
विलोपन विधि का प्रयोग करके, निम्न रैखिक समीकरण युग्म के सभी संभव हल ज्ञात कीजिए:
3x + 5y = 7
6x + y = -4
Use elimination method to find all possible solutions of the following pair of linear equations:
3x + 5y = 7
6x + y = -4
हल:
दिए गए समीकरण:
3x + 5y = 7 ...(i)
6x + y = -4 ...(ii)
समीकरण (ii) को 5 से गुणा करने पर:
30x + 5y = -20 ...(iii)
समीकरण (iii) में से समीकरण (i) को घटाने पर:
(30x + 5y) - (3x + 5y) = -20 - 7
⇒ 27x = -27
⇒ x = -1
x का मान समीकरण (ii) में रखने पर:
6(-1) + y = -4
⇒ -6 + y = -4
⇒ y = 2
उत्तर: x = -1, y = 2
प्रश्न 1 (Question 1)
समांतर श्रेढ़ी 7, 13, 19, ...., 205 में पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Find the number of terms in arithmetic progression 7, 13, 19, ...., 205.
हल / Solution:
यहाँ प्रथम पद (a) = 7, सार्व अंतर (d) = 13 - 7 = 6, अंतिम पद (l) = 205.
माना पदों की संख्या n है।
सूत्र: l = a + (n - 1)d
⇒ 205 = 7 + (n - 1) × 6
⇒ 205 - 7 = (n - 1) × 6
⇒ 198 = (n - 1) × 6
⇒ n - 1 = 198 / 6 = 33
⇒ n = 33 + 1 = 34
अतः पदों की संख्या 34 है।
प्रश्न 2 (Question 2)
दिए गए चित्र में, DE || BC है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
In the given figure, DE || BC, then find the value of x.
हल / Solution:
चूँकि DE || BC है, अतः थेल्स प्रमेय (मूल आनुपातिकता प्रमेय) से:
AD / DB = AE / EC
माना AD = x, DB = 2, AE = 3, EC = 4 (चित्र के अनुसार मान लिया गया है, यदि भिन्न हों तो तदनुसार मान रखें)
⇒ x / 2 = 3 / 4
⇒ x = (3 × 2) / 4 = 6 / 4 = 1.5
अतः x का मान 1.5 है।
प्रश्न 3 (Question 3)
बिन्दुओं (5, 3) और (3, -2) को मिलाने वाला रेखाखण्ड x-अक्ष द्वारा किस अनुपात में विभाजित होता है?
In which ratio, x-axis divides the line segment which joins points (5, 3) and (3, -2)?
हल / Solution:
माना x-अक्ष रेखाखण्ड को बिन्दु P(x, 0) पर m : n के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र से, y-निर्देशांक: (m × y₂ + n × y₁) / (m + n) = 0
यहाँ y₁ = 3, y₂ = -2
⇒ (m × (-2) + n × 3) / (m + n) = 0
⇒ -2m + 3n = 0
⇒ 3n = 2m
⇒ m/n = 3/2
⇒ m : n = 3 : 2
अतः x-अक्ष रेखाखण्ड को 3 : 2 के अनुपात में विभाजित करता है।
प्रश्न 4 (Question 4)
4cot²45° - sec²60° + sin²60° का मान ज्ञात कीजिए।
Find the value of 4cot²45° - sec²60° + sin²60°.
हल / Solution:
हम जानते हैं:
cot45° = 1 ⇒ cot²45° = 1
sec60° = 2 ⇒ sec²60° = 4
sin60° = √3/2 ⇒ sin²60° = (√3/2)² = 3/4
अतः दिया गया व्यंजक:
= 4 × 1 - 4 + 3/4
= 4 - 4 + 3/4
= 0 + 3/4
= 3/4
अतः मान 3/4 है।
प्रश्न 1
2 मीटर लम्बी एक सीढ़ी, एक उर्ध्वाधर दीवार के शिखर तक पहुँचती है। यदि यह सीढ़ी दीवार के साथ 60° का कोण बनाती है, तो दीवार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
A 2 meter long ladder touches the top of a vertical wall. If this ladder makes an angle of 60° with the wall, then find the height of the wall.
हल: माना सीढ़ी की लम्बाई AC = 2 मीटर है। सीढ़ी दीवार के साथ 60° का कोण बनाती है, अतः ∠ACB = 60°। दीवार की ऊँचाई AB = ?
समकोण त्रिभुज ABC में,
cos 60° = आधार/कर्ण = BC/AC
⇒ 1/2 = BC/2
⇒ BC = 1 मीटर
अतः दीवार की ऊँचाई 1 मीटर है।
प्रश्न 2
एक वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज ABCD खींचा गया है। सिद्ध कीजिए कि AB + CD = AD + BC।
A quadrilateral ABCD is drawn to circumscribe a circle. Prove that AB + CD = AD + BC.
हल: माना वृत्त चतुर्भुज की भुजाओं AB, BC, CD और DA को क्रमशः बिन्दुओं P, Q, R और S पर स्पर्श करता है।
वृत्त के बाह्य बिन्दु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लम्बाई समान होती है।
∴ AP = AS ...(1)
BP = BQ ...(2)
CR = CQ ...(3)
DR = DS ...(4)
समीकरण (1), (2), (3) और (4) को जोड़ने पर,
AP + BP + CR + DR = AS + BQ + CQ + DS
⇒ (AP + BP) + (CR + DR) = (AS + DS) + (BQ + CQ)
⇒ AB + CD = AD + BC
इति सिद्धम्।
प्रश्न 3
वृत्त के चाप द्वारा वृत्त के केन्द्र पर अन्तरित कोण 50° है। यदि चाप की लम्बाई 5π सेमी हो, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
The angle subtended at the centre by an arc of a circle is 50°. If the length of the arc is 5π cm, then find the radius of that circle.
हल: चाप की लम्बाई (l) = 5π सेमी
केन्द्र पर अन्तरित कोण (θ) = 50°
चाप की लम्बाई का सूत्र: l = (θ/360°) × 2πr
⇒ 5π = (50°/360°) × 2πr
⇒ 5π = (5/36) × 2πr
⇒ 5π = (10πr)/36
⇒ 5 = (10r)/36
⇒ r = (5 × 36)/10
⇒ r = 18 सेमी
अतः वृत्त की त्रिज्या 18 सेमी है।
खण्ड-स / SECTION -C
(दीर्घ-उत्तरीय प्रश्न) / (Long Answer Type Questions)
-
प्रश्न 25 (पहला विकल्प): एक समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम 5 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए, जिसका nवाँ पद an = 3 + 2n है।
Find the sum of first 5 terms of arithmetic progression, whose nth term is an = 3 + 2n.
हल: दिया है, an = 3 + 2n
पहला पद (a1) = 3 + 2(1) = 5
दूसरा पद (a2) = 3 + 2(2) = 7
तीसरा पद (a3) = 3 + 2(3) = 9
चौथा पद (a4) = 3 + 2(4) = 11
पाँचवाँ पद (a5) = 3 + 2(5) = 13
अतः श्रेढ़ी है: 5, 7, 9, 11, 13
प्रथम 5 पदों का योग = 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 45
उत्तर: 45
प्रश्न 25 (दूसरा विकल्प): एक समान्तर श्रेढ़ी में 60 पद हैं। यदि उसका प्रथम पद तथा अंतिम पद क्रमश: 7 तथा 25 है तो उसका 32वाँ पद ज्ञात कीजिए।
There are 60 terms in an arithmetic progression. If its first and last terms are 7 and 25 respectively, then find its 32nd term.
हल: दिया है, प्रथम पद (a) = 7, अंतिम पद (l) = 25, कुल पद (n) = 60
सूत्र: l = a + (n - 1)d
⇒ 25 = 7 + (60 - 1)d
⇒ 25 = 7 + 59d
⇒ 59d = 18
⇒ d = 18/59
अब, 32वाँ पद = a + (32 - 1)d = 7 + 31 × (18/59)
= 7 + 558/59 = (413 + 558)/59 = 971/59
उत्तर: 971/59
-
प्रश्न 26 (पहला विकल्प): बिन्दुओं (4, 0) और (0, -8) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 4 बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Find the co-ordinates of points which divide the line segment joining points (4, 0) and (0, -8) into 4 equal parts.
हल: माना A(4, 0) और B(0, -8) हैं। रेखाखण्ड को 4 बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिन्दु P, Q, R हैं, जहाँ Q मध्यबिन्दु है।
Q (मध्यबिन्दु) = ((4+0)/2, (0+(-8))/2) = (2, -4)
P, A और Q का मध्यबिन्दु = ((4+2)/2, (0+(-4))/2) = (3, -2)
R, Q और B का मध्यबिन्दु = ((2+0)/2, (-4+(-8))/2) = (1, -6)
उत्तर: अभीष्ट बिन्दु (3, -2), (2, -4) और (1, -6) हैं।
प्रश्न 26 (दूसरा विकल्प): बिन्दु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ AB एक वृत्त का व्यास है, जिसका केन्द्र (2, -3) है तथा B के निर्देशांक (1, 4) हैं।
Find the co-ordinates of a point A, where AB is a diameter of a circle whose centre is (2, -3) and co-ordinates of B is (1, 4).
हल: माना A(x, y) है। केन्द्र O(2, -3) व्यास AB का मध्यबिन्दु है।
मध्यबिन्दु सूत्र से: (x + 1)/2 = 2 और (y + 4)/2 = -3
⇒ x + 1 = 4 ⇒ x = 3
⇒ y + 4 = -6 ⇒ y = -10
उत्तर: A के निर्देशांक (3, -10) हैं।
-
प्रश्न 27 (पहला विकल्प): सिद्ध कीजिए कि दो संकेंद्रीय वृत्तों में बड़े वृत्त की जीवा जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है, स्पर्श बिन्दु पर समद्विभाजित होती है।
Prove that in two concentric circles, the chord of the larger circle, which touches the smaller circle, is bisected at the point of contact.
हल: माना O दोनों वृत्तों का उभयनिष्ठ केन्द्र है। बड़े वृत्त की जीवा AB छोटे वृत्त को बिन्दु C पर स्पर्श करती है।
OC छोटे वृत्त की त्रिज्या है। चूँकि AB स्पर्श रेखा है और OC स्पर्श बिन्दु पर त्रिज्या है, अतः OC ⟂ AB
अब, O से जीवा AB पर लम्ब OC डाला गया है। हम जानते हैं कि केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है।
अतः AC = CB
इस प्रकार, बड़े वृत्त की जीवा AB, स्पर्श बिन्दु C पर समद्विभाजित होती है। सिद्ध हुआ।
प्रश्न 27 (दूसरा विकल्प): सिद्ध कीजिए कि बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लम्बाइयाँ बराबर होती हैं।
Prove that the lengths of tangents drawn from an external point to a circle are equal.
हल: माना O वृत्त का केन्द्र है। बाह्य बिन्दु P से दो स्पर्श रेखाएँ PA और PB खींची गई हैं, जो वृत्त को क्रमशः A और B पर स्पर्श करती हैं।
हमें सिद्ध करना है: PA = PB
रचना: OA, OB और OP को मिलाइए।
उपपत्ति: चूँकि स्पर्श बिन्दु पर त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लम्ब होती है,
∴ OA ⟂ PA और OB ⟂ PB
अतः ∠OAP = ∠OBP = 90°
अब, ΔOAP और ΔOBP में:
- OA = OB (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
- OP = OP (उभयनिष्ठ भुजा)
- ∠OAP = ∠OBP = 90°
∴ ΔOAP ≅ ΔOBP (समकोण-कर्ण-भुजा सर्वांगसमता से)
अतः PA = PB सिद्ध हुआ।
प्रश्न 27 (भाग 1)
निम्न बारम्बारता बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए। [3]
| x | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| f | 5 | 8 | 9 | 2 | 6 | 4 |
हल:
माध्य (Mean) = Σ(f × x) / Σf
Σ(f × x) = (5×5) + (6×8) + (7×9) + (8×2) + (9×6) + (10×4)
= 25 + 48 + 63 + 16 + 54 + 40 = 246
Σf = 5 + 8 + 9 + 2 + 6 + 4 = 34
माध्य = 246 / 34 = 7.235 (लगभग)
अतः माध्य ≈ 7.24 है।
प्रश्न 27 (भाग 2) – अथवा
यदि निम्न बंटन का माध्य 7 हो, तो P का मान ज्ञात कीजिए। [3]
| x | 2 | 5 | P | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| f | 5 | 4 | 7 | 3 |
हल:
माध्य = Σ(f × x) / Σf = 7 (दिया है)
Σ(f × x) = (2×5) + (5×4) + (P×7) + (9×3) + (10×?)
ध्यान दें: तालिका में x=10 के लिए f नहीं दिया गया है। मान लें f=0 या प्रश्न में त्रुटि है। सामान्यतः यहाँ f=3 हो सकता है।
यदि f=3 हो: Σ(f×x) = 10 + 20 + 7P + 27 + 30 = 87 + 7P
Σf = 5 + 4 + 7 + 3 + 3 = 22
माध्य = (87 + 7P) / 22 = 7
87 + 7P = 154
7P = 67
P = 67/7 ≈ 9.57
अतः P का मान लगभग 9.57 है।
SECTION - D (निबंधात्मक प्रश्न)
प्रश्न 28
दो संख्याओं के वर्गों का अन्तर 180 है। छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुना है। दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए। [4]
हल:
माना बड़ी संख्या = x, छोटी संख्या = y
प्रश्नानुसार:
(1) x² - y² = 180
(2) y² = 8x
समीकरण (2) को (1) में रखने पर:
x² - 8x = 180
x² - 8x - 180 = 0
x² - 18x + 10x - 180 = 0
x(x - 18) + 10(x - 18) = 0
(x - 18)(x + 10) = 0
x = 18 या x = -10 (ऋणात्मक मान अमान्य)
अतः बड़ी संख्या = 18
y² = 8 × 18 = 144
y = 12 (धनात्मक)
अतः संख्याएँ 18 और 12 हैं।
प्रश्न 28 – अथवा
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए, जिनके वर्गों का योग 365 हो। [4]
हल:
माना दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक = n और n+1
प्रश्नानुसार:
n² + (n+1)² = 365
n² + n² + 2n + 1 = 365
2n² + 2n + 1 = 365
2n² + 2n - 364 = 0
n² + n - 182 = 0
n² + 14n - 13n - 182 = 0
n(n + 14) - 13(n + 14) = 0
(n + 14)(n - 13) = 0
n = 13 या n = -14 (ऋणात्मक मान अमान्य)
अतः n = 13 और n+1 = 14
अतः अभीष्ट पूर्णांक 13 और 14 हैं।
प्रश्न 4
(क) सिद्ध कीजिए कि:
\(\frac{1 + \sin \theta}{1 - \sin \theta} = 2 \sec^2 \theta - 1\)
अथवा
सिद्ध कीजिए कि:
\(\sin^2 \theta \cos \theta + \cos^2 \theta + \tan \theta \sin \theta = \sec \theta\)
हल (पहला भाग):
बायाँ पक्ष:
\(\frac{1 + \sin \theta}{1 - \sin \theta}\)
अंश और हर को \((1 + \sin \theta)\) से गुणा करने पर:
\(\frac{(1 + \sin \theta)^2}{1 - \sin^2 \theta} = \frac{(1 + \sin \theta)^2}{\cos^2 \theta}\)
अब, \((1 + \sin \theta)^2 = 1 + 2\sin \theta + \sin^2 \theta\)
अतः:
\(\frac{1 + 2\sin \theta + \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta} + \frac{2\sin \theta}{\cos^2 \theta} + \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}\)
\(= \sec^2 \theta + 2\tan \theta \sec \theta + \tan^2 \theta\)
चूँकि \(\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta\), अतः:
\(= 1 + \tan^2 \theta + 2\tan \theta \sec \theta + \tan^2 \theta = 1 + 2\tan^2 \theta + 2\tan \theta \sec \theta\)
यह सरल रूप में \(2\sec^2 \theta - 1\) के बराबर नहीं है। वास्तव में, दिया गया समीकरण गलत है। सही सर्वसमिका है:
\(\frac{1 + \sin \theta}{1 - \sin \theta} = (\sec \theta + \tan \theta)^2\)
अतः दिए गए कथन को सिद्ध नहीं किया जा सकता।
हल (दूसरा भाग):
बायाँ पक्ष:
\(\sin^2 \theta \cos \theta + \cos^2 \theta + \tan \theta \sin \theta\)
\(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) रखने पर:
\(\sin^2 \theta \cos \theta + \cos^2 \theta + \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \cdot \sin \theta\)
\(= \sin^2 \theta \cos \theta + \cos^2 \theta + \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta}\)
\(\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta\) रखने पर:
\(= (1 - \cos^2 \theta) \cos \theta + \cos^2 \theta + \frac{1 - \cos^2 \theta}{\cos \theta}\)
\(= \cos \theta - \cos^3 \theta + \cos^2 \theta + \frac{1}{\cos \theta} - \cos \theta\)
\(= -\cos^3 \theta + \cos^2 \theta + \frac{1}{\cos \theta}\)
यह \(\sec \theta\) के बराबर नहीं है। वास्तव में, दिया गया समीकरण गलत है। सही सर्वसमिका है:
\(\sin^2 \theta \cos \theta + \cos^2 \theta + \tan \theta \sin \theta = \sec \theta\)
यह केवल विशेष कोणों के लिए सत्य है, सामान्यतः नहीं।
प्रश्न 5
(क) निम्न बारम्बारता बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए:
| वर्ग | 7-17 | 17-27 | 27-37 | 37-47 | 47-57 | 57-67 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| बारम्बारता | 22 | 15 | 20 | 12 | 15 | 3 |
अथवा
निम्न बारम्बारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए:
| वर्ग | 2-11 | 11-20 | 20-29 | 29-38 | 38-47 |
|---|---|---|---|---|---|
| बारम्बारता | 16 | 7 | 12 | 2 | 1 |
हल (माध्यक):
सर्वप्रथम संचयी बारम्बारता सारणी बनाते हैं:
| वर्ग | बारम्बारता (f) | संचयी बारम्बारता (cf) |
|---|---|---|
| 7-17 | 22 | 22 |
| 17-27 | 15 | 37 |
| 27-37 | 20 | 57 |
| 37-47 | 12 | 69 |
| 47-57 | 15 | 84 |
| 57-67 | 3 | 87 |
कुल बारम्बारता N = 87
माध्यक वर्ग वह वर्ग है जिसकी संचयी बारम्बारता N/2 = 43.5 से अधिक हो।
यहाँ, cf = 37 (17-27 वर्ग) और cf = 57 (27-37 वर्ग)। अतः माध्यक वर्ग = 27-37 है।
माध्यक सूत्र: \(M = l + \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \times h\)
जहाँ, l = 27, cf = 37, f = 20, h = 10
\(M = 27 + \frac{43.5 - 37}{20} \times 10 = 27 + \frac{6.5}{20} \times 10 = 27 + 3.25 = 30.25\)
अतः माध्यक = 30.25
हल (बहुलक):
सर्वाधिक बारम्बारता 16 है, जो वर्ग 2-11 में है। अतः बहुलक वर्ग = 2-11 है।
बहुलक सूत्र: \(Z = l + \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \times h\)
जहाँ, l = 2, f₁ = 16, f₀ = 0 (पिछले वर्ग की बारम्बारता), f₂ = 7 (अगले वर्ग की बारम्बारता), h = 9
\(Z = 2 + \frac{16 - 0}{2 \times 16 - 0 - 7} \times 9 = 2 + \frac{16}{32 - 7} \times 9 = 2 + \frac{16}{25} \times 9\)
\(= 2 + \frac{144}{25} = 2 + 5.76 = 7.76\)
अतः बहुलक = 7.76