RBSE Class 10th 2026 HALF-YEARLY-MATHEMATICS-1003-011225 Previous Year Papers

कक्षा 10वीं अर्द्धवार्षिक परीक्षा, 2025-26
गणित / MATHS [003]

समय: 3.45 घंटे | पूर्णांक: 70

कुल प्रश्नों की संख्या: 20 | कुल मुद्रित पृष्ठ: 04

सामान्य अनुदेश (General Instructions):

1. परीक्षार्थी प्रश्न-पत्र के प्रथम पृष्ठ पर अपना अनुक्रमांक अवश्य लिखें। (Candidate must write his/her Roll Number on the first page of the Question Paper.)
2. प्रत्येक प्रश्न के सामने उसका अंक भार अंकित है। (Marks for every question are indicated alongside.)

खण्ड - A / Section - A

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Objective Type Questions)

1. 26 और 91 का HCF है -
   HCF of 26 and 91 is -

   • (A) 26
   • (B) 7
   • (C) 3
   • (D) 2

   व्याख्या: 26 = 2 × 13, 91 = 7 × 13. इनका महत्तम समापवर्तक (HCF) 13 है। दिए गए विकल्पों में 13 नहीं है, अतः सही उत्तर (D) 2 नहीं है। वास्तविक HCF 13 है, परंतु विकल्पों में 2 सबसे निकटतम नहीं है। प्रश्न में त्रुटि प्रतीत होती है, परंतु दिए गए विकल्पों में (D) 2 को चिह्नित किया गया है।

2. द्विघात समीकरण x² + 7x + 10 = 0 के मूलों का योग होगा -
   Sum of the roots in the quadratic equation x² + 7x + 10 = 0 will be -

   • (A) 7
   • (B) 10
   • (C) -10
   • (D) -7

   व्याख्या: द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 में मूलों का योग = -b/a होता है। यहाँ a = 1, b = 7, अतः योग = -7/1 = -7.

3. यदि x + y = 10 और x - y = 6, तो x और y के मान होंगे -
   If x + y = 10 and x - y = 6, then the value of x and y -

   • (A) 8, 2
   • (B) 2, 8
   • (C) 4, 6
   • (D) 5, 5

   व्याख्या: दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: 2x = 16 ⇒ x = 8. तब y = 10 - 8 = 2. अतः x = 8, y = 2.

4. द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 में विविक्तकर (D) ज्ञात करने का सूत्र होता है -
   Formula to find discriminant (D) in the quadratic equation ax² + bx + c = 0 is -

   • (A) c² - 2ab
   • (B) b² - 4ac
   • (C) a² - bc
   • (D) b² - ac

   व्याख्या: द्विघात समीकरण के विविक्तकर का सूत्र D = b² - 4ac होता है।

5. A.P. 7, 3, -1, -5, ... का 12वां पद होगा -
   12th term of an A.P. 7, 3, -1, -5, ... is -

   • (A) 50
   • (B) 60
   • (C) 73
   • (D) इनमें से कोई नहीं (None of these)

   व्याख्या: प्रथम पद a = 7, सार्वअंतर d = 3 - 7 = -4. 12वां पद = a + (12-1)d = 7 + 11(-4) = 7 - 44 = -37. अतः कोई विकल्प सही नहीं है।

6. दिए गए चित्र में, यदि DE ∥ BC है, तो x का मान होगा -
   In the given figure, if DE ∥ BC, then the value of x is -

   (चित्र संलग्न - त्रिभुज ABC में DE, BC के समांतर)

   AD = 2 cm, DB = 3 cm, AE = x cm, EC = 6 cm

   • (A) 4
   • (B) 3
   • (C) 9
   • (D) 6

   व्याख्या: थेल्स प्रमेय (मूल आनुपातिकता प्रमेय) के अनुसार, AD/DB = AE/EC ⇒ 2/3 = x/6 ⇒ 3x = 12 ⇒ x = 4.

7. वृत्त का व्यास AB है तथा A(3, -10) और B(1, 4) है, तो वृत्त के केंद्र के निर्देशांक होंगे -
   AB is the diameter of the circle and A(3, -10) and B(1, 4), then the coordinates of centre of the circle are -

   • (A) (2, -3)
   • (B) (-2, 3)
   • (C) (2, -5)
   • (D) (2, -3)

   व्याख्या: वृत्त का केंद्र व्यास का मध्यबिंदु होता है। मध्यबिंदु = ((3+1)/2, (-10+4)/2) = (4/2, -6/2) = (2, -3).

प्रश्न पत्र – गणित (अर्द्धवार्षिक परीक्षा) – कक्षा 10

खण्ड – अ (बहुविकल्पीय प्रश्न)

1. Sin 60° का मान है –

   • (A) ½
   • (B) √3/2
   • (C) 1/√2
   • (D) √2

   सही उत्तर: (B) √3/2

   व्याख्या: त्रिकोणमिति के अनुसार, sin 60° = √3/2.

2. 10√3 मीटर ऊँचे एक वृक्ष की छाया 10 मीटर लम्बी हो, तो सूर्य का उन्नतांश कोण होगा –

   • (A) 90°
   • (B) 60°
   • (C) 45°
   • (D) 30°

   सही उत्तर: (B) 60°

   व्याख्या: tan θ = लंब/आधार = (10√3)/10 = √3 ⇒ θ = 60°.

3. किसी एक बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की संख्या होगी –

   • (A) एक
   • (B) दो
   • (C) तीन
   • (D) अनन्त

   सही उत्तर: (B) दो

   व्याख्या: किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर अधिकतम दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं.

4. r त्रिज्या वाले वृत्त के त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल जो केन्द्र पर θ कोण बनाता है –

   • (A) (θ/360°) × πr²
   • (B) (θ/360°) × 2πr
   • (C) (θ/360°) × πr
   • (D) (θ/360°) × 2πr²

   सही उत्तर: (A) (θ/360°) × πr²

   व्याख्या: त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = (θ/360°) × πr².

5. 3 से.मी. त्रिज्या वाले गोले का आयतन होगा –

   • (A) 36π
   • (B) 108π
   • (C) 27π
   • (D) 12π

   सही उत्तर: (A) 36π

   व्याख्या: गोले का आयतन = (4/3)πr³ = (4/3)π(3)³ = (4/3)π(27) = 36π घन से.मी.

6. बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र जिसकी त्रिज्या r और ऊँचाई h है –

   • (A) πr(r + h)
   • (B) 2πrh
   • (C) 2πr
   • (D) 2πr(r + h)

   सही उत्तर: (B) 2πrh

   व्याख्या: बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh.

7. एक पासे को फेंकने पर 6 अंक आने की प्रायिकता है –

   • (A) 1/6
   • (B) 1/3
   • (C) 1/2
   • (D) 2/3

   सही उत्तर: (A) 1/6

   व्याख्या: पासे पर 6 अंक आने की अनुकूल स्थिति = 1, कुल स्थितियाँ = 6, अतः प्रायिकता = 1/6.

8. 3, 5, 7, 9, 4, 13, 8 का माध्य होगा –

   • (A) 7
   • (B) 24
   • (C) 9
   • (D) इनमें से कोई नहीं

   सही उत्तर: (A) 7

   व्याख्या: माध्य = (3+5+7+9+4+13+8)/7 = 49/7 = 7.

खण्ड – ब (रिक्त स्थानों की पूर्ति करें)

1. रेखाएँ a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 यदि a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ हो तो रेखाओं के कोई हल नहीं होंगे।

   उत्तर: कोई हल नहीं (समान्तर रेखाएँ)

2. वृत्त के किसी बिन्दु पर स्पर्श रेखा, उस बिन्दु से जाने वाली त्रिज्या पर लम्ब होती है।

   उत्तर: लम्ब

3. घड़ी के मिनट की सुई द्वारा 1 मिनट में बनाया कोण 6° होता है।

   उत्तर: 6°

4. शंकु का आयतन (1/3)πr²h होता है।

   उत्तर: (1/3)πr²h

5. वृत्त के किसी व्यास के शिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समान्तर होती हैं।

   उत्तर: समान्तर

6. 3 माध्यक = बहुलक + 2 माध्य

   उत्तर: 2 माध्य

अति लघुत्तरात्मक प्रश्न / Very Short Answer Type Questions

1. 3825 के अभाज्य गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए।
   Find the prime factors of 3825.

   हल: 3825 = 3 × 1275 = 3 × 3 × 425 = 3² × 5 × 85 = 3² × 5 × 5 × 17 = 3² × 5² × 17

   अतः अभाज्य गुणनखण्ड = 3, 3, 5, 5, 17

2. द्विघात समीकरण ज्ञात कीजिए, यदि मूलों का योग -3 व मूलों का गुणनफल 2 है।
   Find the quadratic equation, if the sum of roots is -3 and product of the roots is 2.

   हल: द्विघात समीकरण का मानक रूप: x² - (मूलों का योग)x + (मूलों का गुणनफल) = 0

   x² - (-3)x + 2 = 0

   x² + 3x + 2 = 0

3. A.P. 3, 8, 13, 18... का कौनसा पद 78 है?
   Which term of the A.P. 3, 8, 13, 18... is 78?

   हल: यहाँ a = 3, d = 8 - 3 = 5, a_n = 78

   a_n = a + (n - 1)d

   78 = 3 + (n - 1)5

   75 = (n - 1)5

   n - 1 = 15

   n = 16

   अतः 78, A.P. का 16वाँ पद है।

4. Sin 60° Cos 30° + Sin 30° Cos 60° का मान ज्ञात कीजिए।
   Find the value of Sin 60° Cos 30° + Sin 30° Cos 60°.

   हल: Sin 60° = √3/2, Cos 30° = √3/2, Sin 30° = 1/2, Cos 60° = 1/2

   = (√3/2 × √3/2) + (1/2 × 1/2)

   = (3/4) + (1/4)

   = 4/4 = 1

5. एक मीनार के पाद बिन्दु से 30 मी. दूर स्थित बिन्दु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
   The angle of elevation of the top of a tower from a point on the ground, which is 30 m away from the foot of the tower is 30°. Find the height of the tower.

   हल: माना मीनार की ऊँचाई = h मीटर

   tan 30° = लंब/आधार = h/30

   1/√3 = h/30

   h = 30/√3 = (30√3)/3 = 10√3 मीटर

   मीनार की ऊँचाई = 10√3 मीटर

खण्ड — B / Section-B

लघुत्तरात्मक प्रश्न / Short Answer Type Questions

6. सिद्ध कीजिए कि 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है।
   Prove that 3 + 2√5 is an irrational number.

   हल: माना 3 + 2√5 एक परिमेय संख्या है।

   तब 3 + 2√5 = p/q (जहाँ p और q सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, q ≠ 0)

   2√5 = p/q - 3

   2√5 = (p - 3q)/q

   √5 = (p - 3q)/2q

   चूँकि p और q पूर्णांक हैं, (p - 3q)/2q एक परिमेय संख्या है, अतः √5 परिमेय होगा।

   लेकिन यह ज्ञात है कि √5 अपरिमेय है। यह विरोधाभास हमारी मान्यता को गलत सिद्ध करता है।

   अतः 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है।

7. बहुपद x² - 2x - 8 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।
   Find the zeroes of the polynomial x² - 2x - 8 and verify the relationship between the zeroes and the coefficients.

   हल: x² - 2x - 8 = x² - 4x + 2x - 8 = x(x - 4) + 2(x - 4) = (x - 4)(x + 2)

   शून्यक: x - 4 = 0 ⇒ x = 4; x + 2 = 0 ⇒ x = -2

   शून्यक = 4 और -2

   सत्यापन:

   शून्यकों का योग = 4 + (-2) = 2 = -(-2)/1 = -(x का गुणांक)/(x² का गुणांक)

   शून्यकों का गुणनफल = 4 × (-2) = -8 = (-8)/1 = (अचर पद)/(x² का गुणांक)

   अतः संबंध सत्य है।

8. संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है, उन्हें ज्ञात कीजिए।
   The larger of two supplementary angles exceeds the smaller by 18 degrees. Find them.

   हल: माना छोटा कोण = x°, तो बड़ा कोण = x + 18°

   संपूरक कोणों का योग = 180°

   x + (x + 18) = 180

   2x + 18 = 180

   2x = 162

   x = 81°

   छोटा कोण = 81°, बड़ा कोण = 99°

9. दी गई आकृति में, यदि LM || CB और LN || CD, तो सिद्ध कीजिए कि AM/AB = AN/AD

   हल: ΔABC में, LM || CB (दिया है)

   अतः थेल्स प्रमेय से, AM/AB = AL/AC ...(i)

   ΔACD में, LN || CD (दिया है)

   अतः थेल्स प्रमेय से, AN/AD = AL/AC ...(ii)

   समीकरण (i) और (ii) से,

   AM/AB = AN/AD (सिद्ध)

10. उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (4, -3) और (8, 5) को जोड़ने वाले रेखाखंड को आंतरिक रूप से 3:2 के अनुपात में विभाजित करता है।
    Find the coordinates of the point which divides the line segment joining the points (4, -3) and (8, 5) in the ratio 3:2 internally.

    हल: विभाजन सूत्र: P(x, y) = [(m₁x₂ + m₂x₁)/(m₁ + m₂), (m₁y₂ + m₂y₁)/(m₁ + m₂)]

    यहाँ m₁ = 3, m₂ = 2, (x₁, y₁) = (4, -3), (x₂, y₂) = (8, 5)

    x = (3×8 + 2×4)/(3 + 2) = (24 + 8)/5 = 32/5

    y = (3×5 + 2×(-3))/(3 + 2) = (15 - 6)/5 = 9/5

    निर्देशांक = (32/5, 9/5)

11. भूमि पर एक बिन्दु से 20 मी. ऊँचे भवन के शिखर पर लगी एक संचार मीनार के तल और शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 45° और 60° हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
    From a point on the ground, the angles of elevation of the bottom and the top of a transmission tower fixed at the top of a 20 m high building are 45° and 60° respectively. Find the height of the tower.

    हल: माना भवन से बिन्दु की दूरी = x मीटर

    मीनार के तल के लिए: tan 45° = 20/x ⇒ 1 = 20/x ⇒ x = 20 मीटर

    माना मीनार की ऊँचाई = h मीटर

    मीनार के शिखर के लिए: tan 60° = (20 + h)/x

    √3 = (20 + h)/20

    20√3 = 20 + h

    h = 20√3 - 20 = 20(√3 - 1) मीटर

    मीनार की ऊँचाई = 20(√3 - 1) मीटर

12. 21 सेमी. त्रिज्या वाले वृत्त का एक चाप केन्द्र पर 60° का कोण अंतरित करता है तो चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
    In a circle of radius 21 cm, an arc subtends an angle of 60° at the centre. Find the area of sector formed by the arc.

    हल: त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = (θ/360°) × πr²

    = (60/360) × (22/7) × 21 × 21

    = (1/6) × (22/7) × 441

    = (1/6) × 22 × 63

    = (22 × 63)/6 = 22 × 10.5

    = 231 वर्ग सेमी

13. एक ठोस एक अर्धगोले पर खड़े शंकु के आकार का है जिनकी त्रिज्याएँ 1 सेमी हैं तथा शंकु की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबर है। इस ठोस का आयतन π के पदों में ज्ञात कीजिए।
    A solid is in the shape of a cone standing on a hemisphere with both their radii being equal to 1 cm and the height of the cone is equal to its radius. Find the volume of the solid in terms of π.

    हल: त्रिज्या r = 1 सेमी, शंकु की ऊँचाई h = r = 1 सेमी

    शंकु का आयतन = (1/3)πr²h = (1/3)π(1)²(1) = π/3 घन सेमी

    अर्धगोले का आयतन = (2/3)πr³ = (2/3)π(1)³ = 2π/3 घ

खण्ड — B / Section — B (उत्तरात्मक प्रश्न / Long Answer Type Questions)

7. एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि गेंद (i) लाल हो (ii) लाल न हो।

   A bag contains 3 red balls and 5 black balls. A ball is drawn at random from the bag. What is the probability that the ball drawn is (i) red (ii) not red?

   हल / Solution:

   कुल गेंदें = 3 लाल + 5 काली = 8 गेंदें
   Total number of balls = 3 + 5 = 8

   (i) लाल गेंद होने की प्रायिकता / Probability of red ball:
   अनुकूल परिणाम = 3 (लाल गेंदें)
   P(लाल) = 3/8

   (ii) लाल न होने की प्रायिकता / Probability of not red:
   अनुकूल परिणाम = 5 (काली गेंदें)
   P(लाल नहीं) = 5/8

   उत्तर / Answer: (i) 3/8, (ii) 5/8

8. उस A.P. का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।

   Find the 31st term of an A.P., whose 11th term is 38 and the 16th term is 73.

   हल / Solution:

   माना A.P. का प्रथम पद = a और सार्वअंतर = d है।

   11वाँ पद: a + 10d = 38 ...(i)
   16वाँ पद: a + 15d = 73 ...(ii)

   समीकरण (ii) में से (i) घटाने पर:
   (a + 15d) - (a + 10d) = 73 - 38
   5d = 35
   d = 7

   d का मान समीकरण (i) में रखने पर:
   a + 10(7) = 38
   a + 70 = 38
   a = -32

   अब 31वाँ पद = a + 30d = -32 + 30(7) = -32 + 210 = 178

   उत्तर / Answer: 31वाँ पद = 178

9. x-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो (2, -5) और (-2, 9) से समान दूरी पर हो।

   Find the point on the x-axis which is equidistant from (2, -5) and (-2, 9).

   हल / Solution:

   माना x-अक्ष पर बिंदु P(x, 0) है।

   P से A(2, -5) की दूरी = P से B(-2, 9) की दूरी

   दूरी सूत्र से:
   √[(x - 2)² + (0 + 5)²] = √[(x + 2)² + (0 - 9)²]

   दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
   (x - 2)² + 25 = (x + 2)² + 81

   x² - 4x + 4 + 25 = x² + 4x + 4 + 81
   -4x + 29 = 4x + 85
   -4x - 4x = 85 - 29
   -8x = 56
   x = -7

   उत्तर / Answer: अभीष्ट बिंदु = (-7, 0)

10. सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।

    Prove that the lengths of tangents drawn from an external point to a circle are equal.

    हल / Solution:

    माना O केंद्र वाले वृत्त के बाहर बिंदु P है। P से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ PA और PB खींची गई हैं, जहाँ A और B स्पर्श बिंदु हैं।

    सिद्ध करना है: PA = PB

    रचना: OA, OB और OP को मिलाइए।

    उपपत्ति:
    OA ⟂ PA (स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लंब होती है)
    OB ⟂ PB
    ∴ ∠OAP = ∠OBP = 90°

    ΔOAP और ΔOBP में:
    OA = OB (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
    OP = OP (उभयनिष्ठ भुजा)
    ∠OAP = ∠OBP = 90°

    ∴ ΔOAP ≅ ΔOBP (RHS सर्वांगसमता नियम से)

    अतः PA = PB (सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ)

    इति सिद्धम् / Hence Proved.

11. निम्नलिखित बारंबारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए:

    वर्ग / Class	0-20	20-40	40-60	60-80	80-100	100-120
    बारंबारता / Frequency	10	35	52	61	38	29

    Find the mode of the following frequency distribution.

    हल / Solution:

    सर्वाधिक बारंबारता 61 है, जो वर्ग 60-80 में है।
    ∴ बहुलक वर्ग = 60-80

    यहाँ, l = 60 (बहुलक वर्ग की निम्न सीमा)
    f₁ = 61 (बहुलक वर्ग की बारंबारता)
    f₀ = 52 (बहुलक वर्ग से ठीक पहले वर्ग की बारंबारता)
    f₂ = 38 (बहुलक वर्ग के ठीक बाद वर्ग की बारंबारता)
    h = 20 (वर्ग आकार)

    बहुलक = l + [(f₁ - f₀) / (2f₁ - f₀ - f₂)] × h
    = 60 + [(61 - 52) / (2×61 - 52 - 38)] × 20
    = 60 + [9 / (122 - 90)] × 20
    = 60 + (9/32) × 20
    = 60 + (180/32)
    = 60 + 5.625
    = 65.625

    उत्तर / Answer: बहुलक = 65.625

खण्ड — C / Section — C (निबंधात्मक प्रश्न / Essay Type Questions)

12. निम्नलिखित द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि मूलों का अस्तित्व हो, तो उन्हें ज्ञात कीजिए: 2x² - 6x + 3 = 0

    Find the nature of the roots of the following quadratic equation. If the real roots exist, then find them: 2x² - 6x + 3 = 0

    हल / Solution:

    दिया गया समीकरण: 2x² - 6x + 3 = 0

    यहाँ a = 2, b = -6, c = 3

    विविक्तकर (Discriminant) D = b² - 4ac
    D = (-6)² - 4(2)(3)
    D = 36 - 24
    D = 12

    चूँकि D > 0, अतः मूल वास्तविक और भिन्न हैं।

    मूल ज्ञात करने के लिए:
    x = [-b ± √D] / 2a
    x = [6 ± √12] / 4
    x = [6 ± 2√3] / 4
    x = [3 ± √3] / 2

    उत्तर / Answer: मूल = (3 + √3)/2 और (3 - √3)/2

    अथवा / OR

    एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7 सेमी कम है। यदि कर्ण 13 सेमी का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

    The altitude of a right triangle is 7 cm less than its base. If the hypotenuse is 13 cm, then find the other two sides.

    हल / Solution:

    माना आधार = x सेमी
    तब ऊँचाई = (x - 7) सेमी
    कर्ण = 13 सेमी

    पाइथागोरस प्रमेय से:
    (आधार)² + (ऊँचाई)² = (कर्ण)²
    x² + (x - 7)² = 13²
    x² + x² - 14x + 49 = 169
    2x² - 14x + 49 - 169 = 0
    2x² - 14x - 120 = 0
    x² - 7x - 60 = 0

    गुणनखंड करने पर:
    x² - 12x + 5x - 60 = 0
    x(x - 12) + 5(x - 12) = 0
    (x - 12)(x + 5) = 0

    x = 12 या x = -5 (अमान्य, क्योंकि लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती)

    ∴ आधार = 12 सेमी, ऊँचाई = 12 - 7 = 5 सेमी

    उत्तर / Answer: आधार = 12 सेमी, ऊँचाई = 5 सेमी

13. सिद्ध कीजिए / Prove that: √[(1 + sinA) / (1 - sinA)] = secA + tanA

    हल / Solution:

    बायाँ पक्ष = √[(1 + sinA) / (1 - sinA)]

    अंश और हर में (1 + sinA) से गुणा करने पर:
    = √[{(1 + sinA)(1 + sinA)} / {(1 - sinA)(1 + sinA)}]
    = √[(1 + sinA)² / (1 - sin²A)]
    = √[(1 + sinA)² / cos²A] (∵ sin²A + cos²A = 1)
    = (1 + sinA) / cosA
    = 1/cosA + sinA/cosA
    = secA + tanA = दायाँ पक्ष

    इति सिद्धम् / Hence Proved.

    अथवा / OR

    यदि tan(A + B) = √3 और tan(A - B) = 1/√3 हो, तो A और B का मान