RBSE Class 11th 2017 -2017 Previous Year Papers

हल: वृत्त के सामान्य समीकरण \(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0\) से तुलना करने पर,

\(2g = -4 \Rightarrow g = -2\)

\(2f = 8 \Rightarrow f = 4\)

केन्द्र \((-g, -f) = (2, -4)\)

उत्तर: केन्द्र \((2, -4)\) है।

हल: द्विपद प्रसार \((a + b)^n\) में \((r+1)\)वाँ पद \(T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r\)

यहाँ \(a = x\), \(b = 3\), \(n = 5\)

तीसरे पद के लिए \(r = 2\)

\(T_3 = \binom{5}{2} x^{5-2} (3)^2 = \binom{5}{2} x^3 \cdot 9\)

\(\binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\)

\(T_3 = 10 \times 9 \times x^3 = 90x^3\)

उत्तर: तीसरा पद \(90x^3\) है।

हल: यदि A = ∅ (रिक्त समुच्चय), तो A में अवयवों की संख्या \(n(A) = 0\)

P(A) (घात समुच्चय) में अवयवों की संख्या \(2^{n(A)} = 2^0 = 1\)

P(∅) = {∅}

उत्तर: P(A) में 1 अवयव है।

हल: \(\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}\) और \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\sin 45^\circ + \cos 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2}\)

उत्तर: \(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2}\)

हल: माना \(y = \sin 2x\)

श्रृंखला नियम (chain rule) से,

\(\frac{dy}{dx} = \cos 2x \cdot \frac{d}{dx}(2x) = \cos 2x \cdot 2 = 2\cos 2x\)

उत्तर: \(\frac{d}{dx}(\sin 2x) = 2\cos 2x\)

Solution: The total number of terms in the expansion is \(n+1 = 7+1 = 8\). Since 8 is even, there are two middle terms: the 4th and 5th terms (i.e., \(T_4\) and \(T_5\)).

General term: \(T_{r+1} = \binom{7}{r} \left(\frac{x}{3}\right)^{7-r} (7y)^r\)

For \(T_4\) (r=3):

\[ T_4 = \binom{7}{3} \left(\frac{x}{3}\right)^{4} (7y)^3 = 35 \cdot \frac{x^4}{81} \cdot 343 y^3 = \frac{35 \times 343}{81} x^4 y^3 = \frac{12005}{81} x^4 y^3 \]

For \(T_5\) (r=4):

\[ T_5 = \binom{7}{4} \left(\frac{x}{3}\right)^{3} (7y)^4 = 35 \cdot \frac{x^3}{27} \cdot 2401 y^4 = \frac{35 \times 2401}{27} x^3 y^4 = \frac{84035}{27} x^3 y^4 \]

Thus, the middle terms are \(\frac{12005}{81} x^4 y^3\) and \(\frac{84035}{27} x^3 y^4\).

Proof: Using the binomial theorem, \((1+x)^n = \sum_{r=0}^{n} {}^nC_r x^r\).

Put \(x = 3\):

\[ (1+3)^n = \sum_{r=0}^{n} {}^nC_r \cdot 3^r \]

\[ 4^n = \sum_{r=0}^{n} 3^r \cdot {}^nC_r \]

Hence proved.

Solution:

First, find \(A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\).

Then, \((A \cup B)' = U - (A \cup B) = \{1, 9\}\).

Now, \(A' = U - A = \{1, 3, 5, 7, 9\}\) and \(B' = U - B = \{1, 4, 6, 8, 9\}\).

So, \(A' \cap B' = \{1, 9\}\).

Since \((A \cup B)' = \{1, 9\}\) and \(A' \cap B' = \{1, 9\}\), we have \((A \cup B)' = A' \cap B'\). Hence verified.

Proof: We know that \(\tan 3x = \tan(2x + x)\).

Using the formula \(\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}\):

\[ \tan 3x = \frac{\tan 2x + \tan x}{1 - \tan 2x \tan x} \]

Cross-multiplying:

\[ \tan 3x (1 - \tan 2x \tan x) = \tan 2x + \tan x \]

\[ \tan 3x - \tan 3x \tan 2x \tan x = \tan 2x + \tan x \]

Rearranging:

\[ \tan 3x - \tan 2x - \tan x = \tan 3x \tan 2x \tan x \]

Hence proved.

Solution: A parabola symmetric about the y-axis has the equation \(x^2 = 4ay\) or \(x^2 = -4ay\). Since it passes through (2, -3), we substitute \(x=2\) and \(y=-3\).

If the parabola opens downward, the equation is \(x^2 = -4ay\). Substituting:

\[ 2^2 = -4a(-3) \implies 4 = 12a \implies a = \frac{1}{3} \]

Thus, the equation is \(x^2 = -4 \cdot \frac{1}{3} \cdot y\) or \(x^2 = -\frac{4}{3}y\).

Alternatively, if it opens upward, \(x^2 = 4ay\) gives \(4 = 4a(-3) \implies a = -\frac{1}{3}\), which is not valid for a standard parabola. So the correct equation is \(x^2 = -\frac{4}{3}y\).

Solution: The given ellipse is \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{7} = 1\).

Here, \(a^2 = 16\) so \(a = 4\), and \(b^2 = 7\) so \(b = \sqrt{7}\). Since \(a > b\), the major axis is along the x-axis.

Eccentricity: \(e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{7}{16}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}\).

Foci: \((\pm ae, 0) = (\pm 4 \cdot \frac{3}{4}, 0) = (\pm 3, 0)\).

Vertices: \((\pm a, 0) = (\pm 4, 0)\).

Length of latus rectum: \(\frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 7}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}\).

Thus, foci: \((\pm 3, 0)\), vertices: \((\pm 4, 0)\), eccentricity: \(\frac{3}{4}\), length of latus rectum: \(\frac{7}{2}\).

हल: दिए गए दीर्घवृत्त की तुलना \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) से करने पर, \(a^2 = 25\) और \(b^2 = 9\)। अतः \(a = 5\), \(b = 3\)।

उत्केंद्रता \(e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}\)।

नाभियाँ: \((\pm ae, 0) = (\pm 5 \times \frac{4}{5}, 0) = (\pm 4, 0)\)।

शीर्ष: \((\pm a, 0) = (\pm 5, 0)\)।

नाभिलंब जीवा की लंबाई: \(\frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 9}{5} = \frac{18}{5}\)।

हल: जब \(x \to 0^+\) (दाएँ पक्ष से), \(|x| = x\), तब \(\frac{|x|}{x} = \frac{x}{x} = 1\)।

जब \(x \to 0^-\) (बाएँ पक्ष से), \(|x| = -x\), तब \(\frac{|x|}{x} = \frac{-x}{x} = -1\)।

चूँकि दाएँ पक्ष की सीमा (1) और बाएँ पक्ष की सीमा (-1) समान नहीं हैं, अतः \(\lim_{x \to 0} f(x)\) का अस्तित्व नहीं है।

हल: \(K\)वाँ पद \(a_K = 5K + 1\) है।

पहला पद \(a_1 = 5(1) + 1 = 6\)।

दूसरा पद \(a_2 = 5(2) + 1 = 11\)।

सार्व अंतर \(d = a_2 - a_1 = 11 - 6 = 5\)।

\(n\) पदों का योगफल: \(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] = \frac{n}{2}[2 \times 6 + (n-1)5] = \frac{n}{2}[12 + 5n - 5] = \frac{n}{2}(5n + 7)\)।

अतः अभीष्ट योगफल \(\frac{n(5n+7)}{2}\) है।

हल: \(Z = -\sqrt{3} + i\)।

मापांक: \(|Z| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2\)।

कोणांक: \(\tan \theta = \frac{1}{-\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}\)।

चूँकि \(x = -\sqrt{3} < 0\) और \(y = 1 > 0\), अतः \(Z\) द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है।

इसलिए \(\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}\) (या \(150^\circ\))।

अतः मापांक = 2, कोणांक = \(\frac{5\pi}{6}\)।

हल: हम जानते हैं कि \(^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)।

\(^7C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35\)

\(^6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20\)

\(^5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\)

अतः \(^7C_3 - ^6C_3 + ^5C_3 = 35 - 20 + 10 = 25\)।

हल: मान लीजिए कि \(\sqrt{7}\) एक परिमेय संख्या है। तब इसे \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं और \(q \neq 0\)।

अतः \(\sqrt{7} = \frac{p}{q}\) ⇒ \(7 = \frac{p^2}{q^2}\) ⇒ \(p^2 = 7q^2\)।

इससे स्पष्ट है कि \(p^2\), 7 से विभाज्य है, अतः \(p\) भी 7 से विभाज्य होगा। माना \(p = 7m\)।

तब \((7m)^2 = 7q^2\) ⇒ \(49m^2 = 7q^2\) ⇒ \(q^2 = 7m^2\)।

इससे \(q^2\) भी 7 से विभाज्य है, अतः \(q\) भी 7 से विभाज्य होगा।

इस प्रकार \(p\) और \(q\) दोनों 7 से विभाज्य हैं, जो हमारी प्रारंभिक कल्पना (सह-अभाज्य) के विरुद्ध है। अतः \(\sqrt{7}\) परिमेय नहीं है, बल्कि अपरिमेय है।

हल: माना \(f(x) = x^n + ax^{n-1} + a^2 x^{n-2} + \ldots + a^{n-1}x + a^n\)।

प्रत्येक पद का \(x\) के सापेक्ष अवकलज ज्ञात करने पर:

\(\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}\)

\(\frac{d}{dx}(ax^{n-1}) = a(n-1)x^{n-2}\)

\(\frac{d}{dx}(a^2 x^{n-2}) = a^2 (n-2)x^{n-3}\)

इसी प्रकार, \(\frac{d}{dx}(a^{n-1}x) = a^{n-1}\)

तथा \(\frac{d}{dx}(a^n) = 0\) (क्योंकि \(a^n\) अचर है)।

अतः अभीष्ट अवकलज:

\(f'(x) = nx^{n-1} + a(n-1)x^{n-2} + a^2 (n-2)x^{n-3} + \ldots + a^{n-1}\)।

हल:

माना कि गणित पढ़ाने वाले अध्यापकों का समुच्चय M है और भौतिकी पढ़ाने वाले अध्यापकों का समुच्चय P है।

दिया है: n(M ∪ P) = 20, n(M) = 12, n(M ∩ P) = 4

सूत्र: n(M ∪ P) = n(M) + n(P) – n(M ∩ P)

⇒ 20 = 12 + n(P) – 4

⇒ 20 = 8 + n(P)

⇒ n(P) = 20 – 8 = 12

अतः भौतिकी पढ़ाने वाले अध्यापकों की संख्या = 12

हल:

चरण 1: आधार स्थिति (n = 1)

बायाँ पक्ष = 1/(1·2) = 1/2

दायाँ पक्ष = 1/(1+1) = 1/2

अतः n = 1 के लिए कथन सत्य है।

चरण 2: आगमन परिकल्पना

माना कि n = k के लिए कथन सत्य है, अर्थात:

1/(1·2) + 1/(2·3) + ... + 1/[k(k+1)] = k/(k+1)

चरण 3: n = k+1 के लिए सिद्ध करना

बायाँ पक्ष = [1/(1·2) + 1/(2·3) + ... + 1/[k(k+1)]] + 1/[(k+1)(k+2)]

= k/(k+1) + 1/[(k+1)(k+2)]

= [k(k+2) + 1] / [(k+1)(k+2)]

= [k² + 2k + 1] / [(k+1)(k+2)]

= (k+1)² / [(k+1)(k+2)]

= (k+1)/(k+2)

= (k+1)/[(k+1)+1] = दायाँ पक्ष

अतः n = k+1 के लिए भी कथन सत्य है।

गणितीय आगमन सिद्धांत से, सभी n ∈ N के लिए कथन सत्य है।

हल:

दिया है: x + iy = (a + ib)/(a – ib)

दोनों पक्षों का मापांक लेने पर:

|x + iy| = |(a + ib)/(a – ib)|

⇒ √(x² + y²) = |a + ib| / |a – ib|

⇒ √(x² + y²) = √(a² + b²) / √(a² + b²)

⇒ √(x² + y²) = 1

⇒ x² + y² = 1

इति सिद्धम्

हल:

EQUATION शब्द में कुल 8 अक्षर हैं: E, Q, U, A, T, I, O, N

सभी अक्षर भिन्न-भिन्न हैं।

अतः क्रमचयों की संख्या = 8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 40320

अतः EQUATION शब्द के अक्षरों से 40320 क्रमचय बनाए जा सकते हैं।

हल:

दिया है: प्रथम पद a = 729, 7वां पद = 64

गुणोत्तर श्रेणी का nवां पद: aₙ = arⁿ⁻¹

⇒ a₇ = ar⁶ = 64

⇒ 729 × r⁶ = 64

⇒ r⁶ = 64/729 = (2⁶)/(3⁶) = (2/3)⁶

⇒ r = 2/3

अब, S₇ = a(1 – r⁷)/(1 – r) = 729[1 – (2/3)⁷] / [1 – 2/3]

= 729[1 – 128/2187] / (1/3)

= 729 × 3 × [(2187 – 128)/2187]

= 2187 × (2059/2187)

= 2059

अतः S₇ = 2059

हल:

त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक शीर्षों के निर्देशांकों के मध्यमान होते हैं।

यदि त्रिभुज के शीर्ष A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂) और C(x₃, y₃, z₃) हैं, तो केन्द्रक G के निर्देशांक:

G = [(x₁ + x₂ + x₃)/3, (y₁ + y₂ + y₃)/3, (z₁ + z₂ + z₃)/3]

अतः केन्द्रक के निर्देशांक = ((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3, (z₁+z₂+z₃)/3)

हल:

प्रांत (Domain) के लिए: \( 9 - x^2 \geq 0 \) ⇒ \( x^2 \leq 9 \) ⇒ \( -3 \leq x \leq 3 \)

अतः प्रांत = \( [-3, 3] \)

परिसर (Range) के लिए: जब \( x = 0 \), तब \( f(0) = \sqrt{9} = 3 \) (अधिकतम मान)

जब \( x = \pm 3 \), तब \( f(\pm 3) = 0 \) (न्यूनतम मान)

अतः परिसर = \( [0, 3] \)

हल:

बायाँ पक्ष = \(\frac{\sin x - \sin y}{\cos x + \cos y}\)

सूत्रों का प्रयोग करने पर:

\(\sin x - \sin y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}\)

\(\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}\)

अतः बायाँ पक्ष = \(\frac{2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}}{2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}} = \frac{\sin \frac{x-y}{2}}{\cos \frac{x-y}{2}} = \tan \frac{x-y}{2}\)

अतः सिद्ध हुआ।

हल:

पहली असमिका \(2x + y \geq 8\) के लिए:

रेखा \(2x + y = 8\) खींचिए। यह अक्षों को (4,0) और (0,8) पर काटती है।

मूल बिंदु (0,0) रखने पर: \(0 \geq 8\) असत्य है, अतः छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु से दूर की ओर होगा।

दूसरी असमिका \(x + 2y \geq 10\) के लिए:

रेखा \(x + 2y = 10\) खींचिए। यह अक्षों को (10,0) और (0,5) पर काटती है।

मूल बिंदु (0,0) रखने पर: \(0 \geq 10\) असत्य है, अतः छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु से दूर की ओर होगा।

दोनों असमिकाओं का हल क्षेत्र वह भाग है जहाँ दोनों छायांकित क्षेत्र एक-दूसरे को काटते हैं।

हल:

दी गई रेखा \(Ax + By + C = 0\) के समांतर किसी रेखा का समीकरण \(Ax + By + k = 0\) होता है, जहाँ k एक अचर है।

यह रेखा बिंदु \((x_1, y_1)\) से गुजरती है, अतः:

\(Ax_1 + By_1 + k = 0\) ⇒ \(k = -Ax_1 - By_1\)

k का मान रखने पर:

\(Ax + By - Ax_1 - By_1 = 0\)

⇒ \(A(x - x_1) + B(y - y_1) = 0\)

अतः सिद्ध हुआ।

हल:

प्रांत ज्ञात करने के लिए, हर को शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए।

\(x^2 - 5x + 4 = 0\)

⇒ \((x - 1)(x - 4) = 0\)

⇒ \(x = 1\) या \(x = 4\)

अतः फलन \(x = 1\) और \(x = 4\) पर परिभाषित नहीं है।

प्रांत = \( \mathbb{R} - \{1, 4\} \)

अर्थात सभी वास्तविक संख्याएँ 1 और 4 को छोड़कर।

हल:

कुल संभावित परिणाम = 52

(0) हीरा का 8: हीरा के 8 का एक ही पत्ता होता है। अनुकूल परिणाम = 1
प्रायिकता = 1/52

(ii) इक्का न हो: कुल इक्के = 4, अतः इक्का न होने के अनुकूल परिणाम = 52 - 4 = 48
प्रायिकता = 48/52 = 12/13

(iii) काले रंग का: काले रंग के पत्ते = 26 (हुकुम और चिड़ी)
प्रायिकता = 26/52 = 1/2

हल: उपरोक्त के समान ही।

हल:

सर्वप्रथम प्रत्येक वर्ग का मध्यबिंदु (x_i) ज्ञात करें:

10–20: 15, 20–30: 25, 30–40: 35, 40–50: 45, 50–60: 55, 60–70: 65, 70–80: 75

कुल छात्र (N) = 2 + 3 + 8 + 4 + 8 + 3 + 2 = 30

माध्य (x̄) = Σ(f_i × x_i) / N

गणना:

• 2×15 = 30
• 3×25 = 75
• 8×35 = 280
• 4×45 = 180
• 8×55 = 440
• 3×65 = 195
• 2×75 = 150

Σ(f_i × x_i) = 30 + 75 + 280 + 180 + 440 + 195 + 150 = 1350

माध्य (x̄) = 1350 / 30 = 45

अब प्रत्येक वर्ग के लिए |x_i – x̄| ज्ञात करें:

• |15 – 45| = 30
• |25 – 45| = 20
• |35 – 45| = 10
• |45 – 45| = 0
• |55 – 45| = 10
• |65 – 45| = 20
• |75 – 45| = 30

अब f_i × |x_i – x̄| ज्ञात करें:

• 2×30 = 60
• 3×20 = 60
• 8×10 = 80
• 4×0 = 0
• 8×10 = 80
• 3×20 = 60
• 2×30 = 60

Σ(f_i × |x_i – x̄|) = 60 + 60 + 80 + 0 + 80 + 60 + 60 = 400

माध्य विचलन = Σ(f_i × |x_i – x̄|) / N = 400 / 30 = 13.33 (लगभग)

अतः माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन = 13.33