RBSE Class 11th 2018 Mathematics-S-27-2018 Previous Year Papers

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Board	RBSE
Class	Class 11th
Exam year	2018
Subject	Mathematics-S-27-2018
Resource type	Previous Year Papers
Category	RBSE Previous Year Question Papers
Website	RBSE Solution

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Rajasthan Board Class 11th Mathematics-S-27-2018 2018 solved Previous Year Question Papers

वार्षिक परीक्षा - 2018

कक्षा-XI

विषय - गणित

नोट: सभी प्रश्न हल करना अनिवार्य है।

प्रश्न पत्र के हिन्दी व अंग्रेजी भाषा के रूपान्तर में किसी प्रकार की त्रुटि/अन्तर/विरोधाभास होने पर हिन्दी भाषा के प्रश्न को सही माना जाएगा।

खण्ड (अ) Section (A)

समुच्चय A = {x: x = n², n < 6, n ∈ N} को रोस्टर रूप में लिखो।

Write the set A = {x: x = n², n < 6, n ∈ N} in roster form.

हल: n = 1, 2, 3, 4, 5 (क्योंकि n < 6 और n प्राकृत संख्या है)

x = n² = 1, 4, 9, 16, 25

अतः A = {1, 4, 9, 16, 25}
sin 765° का मान ज्ञात करो।

Find the value of sin 765°.

हल: sin 765° = sin (2 × 360° + 45°) = sin 45° = 1/√2
सम्मिश्र संख्या (2 - 3i) का गुणन प्रतिलोम लिखिए।

Write the multiplicative inverse of the complex number (2 - 3i).

हल: गुणन प्रतिलोम = 1/(2 - 3i) = (2 + 3i)/((2 - 3i)(2 + 3i)) = (2 + 3i)/(4 + 9) = (2 + 3i)/13
एक वृत्त की परिधि पर 6 बिन्दु हैं, इनको मिलाने वाली सरल रेखाओं की संख्या ज्ञात करो।

There are 6 points on the circle. How many straight lines can be drawn by joining these points?

हल: दो बिन्दुओं से एक रेखा बनती है। अतः रेखाओं की संख्या = ⁶C₂ = 6!/(2!4!) = (6×5)/(2×1) = 15
1/x का अवकलज ज्ञात करो।

Find the derivative of 1/x.

हल: d/dx (1/x) = d/dx (x⁻¹) = -1 × x⁻² = -1/x²
यदि रेखाएँ y = mx + 5 तथा 3x + 5y = 8 परस्पर लम्बवत हैं तो m का मान ज्ञात करो।

If lines y = mx + 5 and 3x + 5y = 8 are mutually perpendicular, then find the value of m.

हल: पहली रेखा की प्रवणता m₁ = m

दूसरी रेखा 3x + 5y = 8 ⇒ 5y = -3x + 8 ⇒ y = (-3/5)x + 8/5, अतः प्रवणता m₂ = -3/5

लम्बवत रेखाओं के लिए m₁ × m₂ = -1

m × (-3/5) = -1 ⇒ m = 5/3
रेखा x cos θ + y sin θ = P की प्रवणता ज्ञात कीजिए।

Find the slope of the line x cos θ + y sin θ = P.

हल: x cos θ + y sin θ = P

⇒ y sin θ = -x cos θ + P

⇒ y = (-cos θ/sin θ)x + P/sin θ

अतः प्रवणता = -cot θ
वृत्त x² + y² - 8x + 10y - 12 = 0 का केन्द्र और त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

Find the centre and radius of the circle: x² + y² - 8x + 10y - 12 = 0

हल: x² - 8x + y² + 10y = 12

⇒ (x² - 8x + 16) + (y² + 10y + 25) = 12 + 16 + 25

⇒ (x - 4)² + (y + 5)² = 53

अतः केन्द्र = (4, -5), त्रिज्या = √53
चार छात्रों के प्राप्तांक क्रमशः 25, 35, 45 व 55 हैं, इनका माध्य ज्ञात कीजिए।

Find mean marks obtained by 4 students as follows: 25, 35, 45, 55.

हल: माध्य = (25 + 35 + 45 + 55)/4 = 160/4 = 40
तीन सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं। कम से कम दो चित आने की प्रायिकता ज्ञात करो।

Three coins are tossed. Find the probability that at least two heads are appeared.

हल: कुल संभावित परिणाम = 2³ = 8

कम से कम दो चित (HHT, HTH, THH, HHH) = 4

प्रायिकता = 4/8 = 1/2
(x + 1/x)⁸ के प्रसार में x⁶ का गुणांक ज्ञात करो।

Find the coefficient of x⁶ in the expansion of (x + 1/x)⁸.

हल: व्यापक पद T_r+1 = ⁸C_r x^8-r (1/x)^r = ⁸C_r x^8-2r

x⁶ के लिए 8 - 2r = 6 ⇒ 2r = 2 ⇒ r = 1

गुणांक = ⁸C₁ = 8

खण्ड (ब) Section (B)

यदि U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} तथा B = {2, 3, 4} तो सिद्ध करो कि:

(i) (A ∪ B)' = A' ∩ B'

(ii) (A ∩ B)' = A' ∪ B'

If U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} and B = {2, 3, 4}, then prove that (i) (A ∪ B)' = A' ∩ B' (ii) (A ∩ B)' = A' ∪ B'

हल:

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∪ {2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

(A ∪ B)' = U - (A ∪ B) = {7, 8, 9, 10}

A' = U - A = {7, 8, 9, 10}, B' = U - B = {1, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A' ∩ B' = {7, 8, 9, 10}

अतः (A ∪ B)' = A' ∩ B' सिद्ध हुआ।

A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∩ {2, 3, 4} = {2, 3, 4}

(A ∩ B)' = U - {2, 3, 4} = {1, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A' ∪ B' = {7, 8, 9, 10} ∪ {1, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {1, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

अतः (A ∩ B)' = A' ∪ B' सिद्ध हुआ।
यदि समुच्चय A = {1, 2, 3, 4, 5} से समुच्चय B = {1, 4, 5} में एक सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित है कि 'x < y' जहाँ x ∈ A, y ∈ B तो R को क्रमित युग्मों के समुच्चय के रूप में लिखो तथा R⁻¹ भी ज्ञात करो।

A relation 'R' from set A = {1, 2, 3, 4, 5} to set B = {1, 4, 5} is defined such that 'x < y' where x ∈ A and y ∈ B. Find R as set of ordered pairs also find R⁻¹.

हल: R = {(x, y) : x ∈ A, y ∈ B, x < y}

x = 1 के लिए y > 1 ⇒ y = 4, 5 ⇒ (1, 4), (1, 5)

x = 2 के लिए y > 2 ⇒ y = 4, 5 ⇒ (2, 4), (2, 5)

x = 3 के लिए y > 3 ⇒ y = 4, 5 ⇒ (3, 4), (3, 5)

x = 4 के लिए y > 4 ⇒ y = 5 ⇒ (4, 5)

x = 5 के लिए y > 5 ⇒ कोई y नहीं

अतः R = {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5)}

R⁻¹ = {(y, x) : (x, y) ∈ R} = {(4, 1), (5, 1), (4, 2), (5, 2), (4, 3), (5, 3), (5, 4)}
सिद्ध करो कि: tan x tan 2x tan 3x = tan 3x - tan 2x - tan x

Prove that: tan x tan 2x tan 3x = tan 3x - tan 2x - tan x

हल: हम जानते हैं कि tan 3x = tan(2x + x)

tan(2x + x) = (tan 2x + tan x)/(1 - tan 2x tan x)

⇒ tan 3x (1 - tan 2x tan x) = tan 2x + tan x

⇒ tan 3x - tan 3x tan 2x tan x = tan 2x + tan x

⇒ tan 3x - tan 2x - tan x = tan 3x tan 2x tan x

अतः tan x tan 2x tan 3x = tan 3x - tan 2x - tan x सिद्ध हुआ।

अथवा / OR

सिद्ध करो कि: cos(π/4 + x) + cos(π/4 - x) = √2 cos x

Prove that: cos(π/4 + x) + cos(π/4 - x) = √2 cos x

हल: cos(π/4 + x) + cos(π/4 - x)

= 2 cos

खण्ड (स) Section (C)

26. log x का प्रथम सिद्धान्त से अवकलज ज्ञात कीजिए।

Find the derivative of log x by first principle.

हल: माना f(x) = log x (प्राकृतिक लघुगणक)

प्रथम सिद्धान्त से, f'(x) = lim_h→0 [f(x+h) - f(x)] / h

= lim_h→0 [log(x+h) - log x] / h

= lim_h→0 log[(x+h)/x] / h

= lim_h→0 log(1 + h/x) / h

= lim_h→0 (1/x) × [log(1 + h/x) / (h/x)]

= (1/x) × 1 = 1/x

अतः d/dx (log x) = 1/x

27. बिन्दुओं (2, 7) तथा (4, 3) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के लम्बअर्द्धक का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Find equation of the perpendicular bisector of the line segment joining the points (2, 7) and (4, 3).

हल: माना A(2, 7) और B(4, 3) हैं।

AB का मध्यबिंदु M = ((2+4)/2, (7+3)/2) = (3, 5)

AB की प्रवणता m_AB = (3-7)/(4-2) = -4/2 = -2

लम्बअर्द्धक की प्रवणता m = -1/m_AB = -1/(-2) = 1/2

लम्बअर्द्धक का समीकरण (बिंदु M से होकर):

y - 5 = (1/2)(x - 3)

⇒ 2y - 10 = x - 3

⇒ x - 2y + 7 = 0

अतः अभीष्ट समीकरण: x - 2y + 7 = 0

28. उस सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु (4, 2) से गुजरती है तथा रेखा द्वारा x-अक्ष पर काटा गया अन्तःखण्ड y-अक्ष पर काटे गये अन्तःखण्ड का दुगुना है।

Find the equation of the line passing through the point (4, 2) and intercept made by this line on x-axis is double the intercept on y-axis.

हल: माना y-अक्ष पर अन्तःखण्ड = a, तब x-अक्ष पर अन्तःखण्ड = 2a

अन्तःखण्ड रूप में रेखा का समीकरण: x/(2a) + y/a = 1

⇒ x + 2y = 2a ...(i)

रेखा बिंदु (4, 2) से गुजरती है, अतः 4 + 2×2 = 2a ⇒ 8 = 2a ⇒ a = 4

समीकरण (i) में a = 4 रखने पर: x + 2y = 8

अतः अभीष्ट समीकरण: x + 2y = 8

29. बिन्दुओं (2, 3) और (-1, 7) से जाने वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र रेखा x - 3y - 11 = 0 पर स्थित है।

Find the equation of the circle passing through the points (2, 3) and (-1, 7) and whose centre lies on the line x - 3y - 11 = 0.

हल: माना वृत्त का केंद्र C(h, k) है।

केंद्र रेखा x - 3y - 11 = 0 पर है, अतः h - 3k - 11 = 0 ⇒ h = 3k + 11 ...(i)

बिंदु A(2, 3) और B(-1, 7) वृत्त पर हैं, अतः CA = CB (त्रिज्या)

⇒ (h-2)² + (k-3)² = (h+1)² + (k-7)²

⇒ h² - 4h + 4 + k² - 6k + 9 = h² + 2h + 1 + k² - 14k + 49

⇒ -4h - 6k + 13 = 2h - 14k + 50

⇒ -6h + 8k = 37 ⇒ 6h - 8k = -37 ...(ii)

समीकरण (i) से h = 3k + 11, (ii) में रखने पर:

6(3k + 11) - 8k = -37 ⇒ 18k + 66 - 8k = -37 ⇒ 10k = -103 ⇒ k = -10.3

h = 3(-10.3) + 11 = -30.9 + 11 = -19.9

त्रिज्या r² = (h-2)² + (k-3)² = (-19.9-2)² + (-10.3-3)² = (-21.9)² + (-13.3)² = 479.61 + 176.89 = 656.5

वृत्त का समीकरण: (x + 19.9)² + (y + 10.3)² = 656.5

अतः अभीष्ट समीकरण: x² + y² + 39.8x + 20.6y - 200.5 = 0 (लगभग)

30. निम्न बारम्बारता बंटन के लिये माध्य व प्रसरण ज्ञात कीजिए।

Find the mean and variance of the following distribution.

वर्ग (Class)	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50
बारम्बारता (Frequency)	3	5	7	4	1

हल:

वर्ग	मध्यमान (x_i)	f_i	f_ix_i	x_i²	f_ix_i²
0-10	5	3	15	25	75
10-20	15	5	75	225	1125
20-30	25	7	175	625	4375
30-40	35	4	140	1225	4900
40-50	45	1	45	2025	2025
योग		20	450		12500

माध्य (Mean) = Σf_ix_i / Σf_i = 450/20 = 22.5

प्रसरण (Variance) = Σf_ix_i²/Σf_i - (माध्य)² = 12500/20 - (22.5)² = 625 - 506.25 = 118.75

अतः माध्य = 22.5, प्रसरण = 118.75

31. यदि P(A) = 0.4, P(B) = 0.8, P(B/A) = 0.6 तो P(A∩B) तथा P(A∪B) का मान ज्ञात करो।

If P(A) = 0.4, P(B) = 0.8, P(B/A) = 0.6 then find the value of P(A∩B) and P(A∪B).

हल: सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र से:

P(B/A) = P(A∩B) / P(A)

⇒ 0.6 = P(A∩B) / 0.4

⇒ P(A∩B) = 0.6 × 0.4 = 0.24

अब, P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

= 0.4 + 0.8 - 0.24 = 0.96

अतः P(A∩B) = 0.24 और P(A∪B) = 0.96