RBSE Class 12th 2011 Physics-SS-40-1-2011 Previous Year Papers

हल: दिए गए परिपथ में, प्रत्येक शाखा में दो 20 Ω के प्रतिरोध श्रेणीक्रम में जुड़े हैं, अतः प्रत्येक शाखा का प्रतिरोध = 20 Ω + 20 Ω = 40 Ω। ये दोनों शाखाएँ X और Y के बीच समानांतर क्रम में जुड़ी हैं। समानांतर क्रम में तुल्य प्रतिरोध:

1/R_eq = 1/40 + 1/40 = 2/40 = 1/20

R_eq = 20 Ω

सही उत्तर: (C) 20 Ω

कारण: जब साबुन के बुलबुले को आवेशित किया जाता है, तो उस पर समान आवेश होने के कारण प्रतिकर्षण बल उत्पन्न होता है। यह प्रतिकर्षण बल बुलबुले के पृष्ठ तनाव के विरुद्ध कार्य करता है, जिससे बुलबुले का आकार बढ़ जाता है।

आवेश घनत्व (σ) और त्रिज्या (r) में सम्बन्ध:

σ = Q / (4πr²)

जहाँ Q कुल आवेश है। चूँकि आवेशित बुलबुले पर आवेश स्थिर रहता है, त्रिज्या बढ़ने पर आवेश घनत्व घटता है।

हल:

दिया गया है:

• रेखीय आवेश घनत्व (λ) = 2 μC/m = 2 × 10⁻⁶ C/m
• दूरी (r) = 5 cm = 0.05 m
• ε₀ = 8.85 × 10⁻¹² C²/N·m²

अनन्त रेखीय आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र की तीव्रता का सूत्र:

E = λ / (2π ε₀ r)

E = (2 × 10⁻⁶) / (2 × 3.14 × 8.85 × 10⁻¹² × 0.05)

E = (2 × 10⁻⁶) / (2.78 × 10⁻¹²)

E ≈ 7.19 × 10⁵ N/C

अतः विद्युत क्षेत्र की तीव्रता लगभग 7.19 × 10⁵ N/C होगी।

अन्तर:

• विद्युत वाहक बल (EMF): यह सेल द्वारा प्रति इकाई आवेश को दी गई ऊर्जा है, जब सेल से कोई धारा नहीं ली जा रही हो (खुले परिपथ में)। यह सेल का आंतरिक गुण है।
• टर्मिनल वोल्टता: यह सेल के दो सिरों के बीच का विभवान्तर है जब सेल से धारा ली जा रही हो (बंद परिपथ में)। यह EMF से कम होता है।

सम्बन्ध:

V = E - Ir

जहाँ:

• V = टर्मिनल वोल्टता
• E = विद्युत वाहक बल (EMF)
• I = परिपथ में धारा
• r = सेल का आंतरिक प्रतिरोध

(i) पेल्टियर गुणांक की परिभाषा:

पेल्टियर गुणांक (π) वह ऊष्मा है जो दो भिन्न धातुओं के संधि पर प्रति इकाई आवेश के प्रवाह से अवशोषित या उत्सर्जित होती है। इसे जूल प्रति कूलॉम (J/C) या वोल्ट में मापा जाता है।

(ii) पेल्टियर गुणांक और सीबेक नियतांक में सम्बन्ध:

π = S × T

जहाँ:

• π = पेल्टियर गुणांक
• S = सीबेक नियतांक (Seebeck coefficient)
• T = संधि का परम ताप (केल्विन में)

उत्तर: शैथिल्य के कारण ऊर्जा हास की दर शैथिल्य लूप के क्षेत्रफल के समानुपाती होती है। यह ऊर्जा ऊष्मा के रूप में प्रकट होती है।

Answer: The rate of energy loss due to hysteresis is proportional to the area of the hysteresis loop. This energy appears in the form of heat.

उत्तर: जब धारा बाएँ सिरे से दक्षिणावर्त (clockwise) बहती है, तो दाएँ हाथ के नियम के अनुसार, बायाँ सिरा दक्षिणी ध्रुव (S) और दायाँ सिरा उत्तरी ध्रुव (N) बनता है। चुम्बकीय क्षेत्र रेखाएँ परिनलिका के अंदर एकसमान तथा बाहर N से S की ओर जाती हैं।

Answer: When current flows clockwise from the left end, by the right-hand rule, the left end becomes a south pole (S) and the right end becomes a north pole (N). Magnetic field lines are uniform inside the solenoid and go from N to S outside.

उत्तर: फ्लेमिंग के दाहिने हाथ के नियम के अनुसार, यदि दाहिने हाथ के अंगूठे, तर्जनी और मध्यमा को परस्पर लंबवत रखा जाए, तो तर्जनी चुम्बकीय क्षेत्र की दिशा, अंगूठा चालक की गति की दिशा और मध्यमा प्रेरित धारा की दिशा को दर्शाती है।

Answer: According to Fleming's right-hand rule, if the thumb, forefinger, and middle finger of the right hand are held mutually perpendicular, the forefinger points in the direction of the magnetic field, the thumb in the direction of motion of the conductor, and the middle finger in the direction of the induced current.

हल: फैराडे के नियमानुसार, प्रेरित विद्युत वाहक बल (e) = -N (dΦ/dt)

यहाँ, N = 10 फेरे, प्रारंभिक फ्लक्स Φ₁ = 0.8 Wb, अंतिम फ्लक्स Φ₂ = 0.2 Wb, समय t = 0.1 s

फ्लक्स में परिवर्तन dΦ = Φ₂ - Φ₁ = 0.2 - 0.8 = -0.6 Wb

प्रेरित e = -10 × (-0.6 / 0.1) = -10 × (-6) = 60 V

उत्तर: कुण्डली के सिरों के मध्य प्रेरित विद्युत वाहक बल 60 वोल्ट है।

Solution: According to Faraday's law, induced e.m.f. (e) = -N (dΦ/dt)

Here, N = 10 turns, initial flux Φ₁ = 0.8 Wb, final flux Φ₂ = 0.2 Wb, time t = 0.1 s

Change in flux dΦ = Φ₂ - Φ₁ = 0.2 - 0.8 = -0.6 Wb

Induced e = -10 × (-0.6 / 0.1) = -10 × (-6) = 60 V

Answer: The induced e.m.f. across the ends of the coil is 60 volts.

उत्तर: तीन बिन्दु आवेशों q₁, q₂ और q₃ से निर्मित निकाय की कुल विद्युत स्थितिज ऊर्जा (U) निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है:

U = (1/4πε₀) [ (q₁q₂/r₁₂) + (q₂q₃/r₂₃) + (q₃q₁/r₃₁) ]

जहाँ r₁₂, r₂₃, r₃₁ क्रमशः q₁ और q₂, q₂ और q₃, तथा q₃ और q₁ के बीच की दूरियाँ हैं। यह ऊर्जा आवेशों को अनंत से उनकी स्थितियों तक लाने में किए गए कार्य के बराबर होती है।

Answer: The total electrical potential energy (U) of a system of three point charges q₁, q₂, and q₃ is given by:

U = (1/4πε₀) [ (q₁q₂/r₁₂) + (q₂q₃/r₂₃) + (q₃q₁/r₃₁) ]

where r₁₂, r₂₃, r₃₁ are the distances between q₁ and q₂, q₂ and q₃, and q₃ and q₁ respectively. This energy equals the work done in bringing the charges from infinity to their positions.

हल:

संधारित्र की धारिता, C = 6 µF = 6 × 10⁻⁶ F

प्रारंभिक विभवान्तर, V₁ = 0 V

अंतिम विभवान्तर, V₂ = 20 V

संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र: U = ½ C V²

प्रारंभिक ऊर्जा, U₁ = ½ × 6 × 10⁻⁶ × (0)² = 0 J

अंतिम ऊर्जा, U₂ = ½ × 6 × 10⁻⁶ × (20)² = ½ × 6 × 10⁻⁶ × 400 = 1200 × 10⁻⁶ J = 1.2 × 10⁻³ J

ऊर्जा में वृद्धि = U₂ – U₁ = 1.2 × 10⁻³ – 0 = 1.2 × 10⁻³ J

हल:

नामांकित चित्र:

        A
       / \
      /   \
     P     Q
    /       \
   B---------C
    \       /
     R     S
      \   /
       \ /
        D

जहाँ: P, Q, R, S चार प्रतिरोध हैं; A और C के बीच बैटरी जुड़ी है; B और D के बीच गैल्वेनोमीटर जुड़ा है।

संतुलन की शर्त: जब गैल्वेनोमीटर से कोई धारा नहीं बहती (शून्य विक्षेप), तो ब्रिज संतुलित कहलाता है।

इस स्थिति में, B और D बिंदुओं का विभव समान होता है।

किरचॉफ के नियम से: P/Q = R/S

अतः संतुलन की शर्त: P/Q = R/S

हल:

मानक सेल का विद्युत वाहक बल, E₁ = 1.1 V, संतुलन लम्बाई, L₁ = 5.5 m

विभव प्रवणता, k = E₁ / L₁ = 1.1 / 5.5 = 0.2 V/m

प्रतिरोध R = 2.3 Ω में धारा I = 0.1 A प्रवाहित होने पर सिरों पर विभवान्तर:

V = I × R = 0.1 × 2.3 = 0.23 V

इस विभवान्तर के लिए संतुलन लम्बाई, L₂ = V / k = 0.23 / 0.2 = 1.15 m

वोल्टमीटर का पाठ्यांक = 0.25 V

वास्तविक विभवान्तर = 0.23 V

त्रुटि = पाठ्यांक – वास्तविक मान = 0.25 – 0.23 = 0.02 V (अधिक पढ़ना)

हल:

इलेक्ट्रॉन का आवेश = e (ऋणात्मक)

कक्षा की त्रिज्या = r

कक्षीय वेग = v

आवर्तकाल, T = 2πr / v

धारा, I = आवेश / समय = e / T = e / (2πr/v) = ev / (2πr)

चुम्बकीय आघूर्ण, M = धारा × क्षेत्रफल = I × A

क्षेत्रफल, A = πr²

अतः M = (ev / 2πr) × πr² = (evr) / 2

चुम्बकीय आघूर्ण का सूत्र: M = evr / 2

यदि कोणीय संवेग L = mvr (m = इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान) के रूप में व्यक्त करें, तो M = (e/2m) L

उत्तर / Answer:

जब छड़ चुम्बक का दक्षिण ध्रुव कुण्डली की ओर लाया जाता है, तो कुण्डली के पास चुम्बकीय फ्लक्स बढ़ता है। लेन्ज के नियम के अनुसार, प्रेरित धारा की दिशा ऐसी होगी कि वह इस फ्लक्स परिवर्तन का विरोध करे। अतः कुण्डली का वह फलक जो चुम्बक की ओर है, दक्षिण ध्रुव बन जाएगा ताकि चुम्बक के दक्षिण ध्रुव को प्रतिकर्षित किया जा सके।

दक्षिण ध्रुव बनाने के लिए कुण्डली में धारा की दिशा दक्षिणावर्त (clockwise) होगी जब कुण्डली को चुम्बक की ओर से देखा जाए।

चित्र / Diagram:

        S (दक्षिण ध्रुव)
        |
        v
    +---[ ]---+
    |  कुण्डली  |
    +---------+
    धारा दिशा: दक्षिणावर्त (clockwise)

उत्तर / Answer:

वाटहीन धारा की परिभाषा: वह धारा जो परिपथ में प्रवाहित होने पर कोई औसत शक्ति व्यय नहीं करती, वाटहीन धारा कहलाती है। यह तब होता है जब धारा और वोल्टता के बीच कलान्तर 90° (π/2) होता है, जैसे कि शुद्ध प्रेरक या शुद्ध धारिता परिपथ में।

गणना / Calculation:

दिया गया है: V_rms = 100 V, I_rms = 1 A, कलान्तर φ = π/3

1. शक्ति गुणांक (Power factor):
   cos φ = cos(π/3) = 1/2 = 0.5
2. औसत शक्ति (Average power):
   P_avg = V_rms × I_rms × cos φ = 100 × 1 × 0.5 = 50 वाट
3. वाटहीन धारा का वर्ग माध्य मूल मान (RMS value of wattless current):
   वाटहीन धारा का RMS मान = I_rms × sin φ = 1 × sin(π/3) = 1 × (√3/2) = √3/2 ≈ 0.866 A

उत्तर / Answer:

एक लम्बी परिनलिका (solenoid) पर विचार करें जिसकी लम्बाई l, अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल A, तथा प्रति एकांक लम्बाई में फेरों की संख्या n है। माना इसमें I धारा प्रवाहित हो रही है।

परिनलिका के अंदर चुम्बकीय क्षेत्र B = μ₀ n I (जहाँ μ₀ निर्वात की चुम्बकशीलता है)।

परिनलिका से सम्बद्ध कुल चुम्बकीय फ्लक्स Φ = N × B × A = (n l) × (μ₀ n I) × A = μ₀ n² l A I

स्वप्रेरकत्व L = Φ / I = μ₀ n² l A

अतः लम्बी परिनलिका का स्वप्रेरकत्व L = μ₀ n² l A होता है।

बायो-सावर्ट नियम (Biot-Savart Law)

कथन: इस नियम के अनुसार, किसी धारावाही चालक के अल्पांश dl के कारण किसी बिन्दु पर उत्पन्न चुम्बकीय क्षेत्र dB का मान निम्नलिखित बातों पर निर्भर करता है:

• यह धारा I के अनुक्रमानुपाती होता है।
• यह अल्पांश की लम्बाई dl के अनुक्रमानुपाती होता है।
• यह अल्पांश एवं बिन्दु के बीच की दूरी r के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
• यह अल्पांश एवं त्रिज्या सदिश के बीच के कोण θ की ज्या (sin θ) के अनुक्रमानुपाती होता है।

गणितीय रूप:

dB = (μ₀ / 4π) × (I dl sin θ) / r²

सदिश रूप में: dB = (μ₀ / 4π) × (I dl × r̂) / r²

जहाँ μ₀ = निर्वात की चुम्बकशीलता (4π × 10⁻⁷ T m/A) है।

सीधे धारावाही चालक (परिमित लम्बाई) के कारण चुम्बकीय क्षेत्र

मान लीजिए एक सीधा धारावाही चालक AB है जिसमें धारा I प्रवाहित हो रही है। चालक की लम्बाई परिमित है। हमें चालक से लम्बवत दूरी d पर स्थित बिन्दु P पर चुम्बकीय क्षेत्र ज्ञात करना है।

चालक के एक अल्पांश dl पर विचार करें जो बिन्दु O से l दूरी पर है। अल्पांश से बिन्दु P की दूरी r है।

बायो-सावर्ट नियम से:

dB = (μ₀ / 4π) × (I dl sin θ) / r²

जहाँ θ, dl एवं r के बीच का कोण है। चित्र से, sin θ = d / r = d / √(l² + d²)

अतः dB = (μ₀I / 4π) × (dl × d) / (l² + d²)^(3/2)

सम्पूर्ण चालक के कारण चुम्बकीय क्षेत्र प्राप्त करने के लिए l = -a से l = +b तक समाकलन करते हैं:

B = ∫dB = (μ₀I d / 4π) ∫_-a^b dl / (l² + d²)^(3/2)

माना l = d tan φ, तो dl = d sec² φ dφ, और l² + d² = d² sec² φ

समाकलन करने पर:

B = (μ₀I / 4πd) [sin φ₁ + sin φ₂]

जहाँ φ₁ और φ₂ वे कोण हैं जो चालक के सिरों A और B को बिन्दु P से मिलाने वाली रेखाएँ अभिलम्ब से बनाती हैं।

यही परिमित लम्बाई के धारावाही चालक के कारण चुम्बकीय क्षेत्र का व्यंजक है।

अनन्त लम्बाई के धारावाही चालक के लिए

यदि चालक अनन्त लम्बाई का हो, तो φ₁ = φ₂ = 90° होता है। अतः sin φ₁ = sin φ₂ = 1

B = (μ₀I / 4πd) [1 + 1] = (μ₀I) / (2πd)

अतः सिद्ध हुआ कि अनन्त लम्बाई के धारावाही चालक से लम्बवत दूरी d पर चुम्बकीय क्षेत्र B = μ₀I / (2πd) होता है।

आवश्यक चित्र:

[चित्र: एक सीधा धारावाही चालक AB, बिन्दु P चालक से d दूरी पर, अल्पांश dl, कोण θ, त्रिज्या सदिश r दर्शाया गया है।]

गाउस का नियम (Gauss's Law)

कथन: किसी बन्द पृष्ठ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स उस पृष्ठ के अन्दर उपस्थित कुल आवेश का 1/ε₀ गुना होता है।

गणितीय रूप:

∮ E · dA = Q_in / ε₀

जहाँ Q_in बन्द पृष्ठ के अन्दर कुल आवेश है, ε₀ निर्वात की विद्युतशीलता है।

समरूप आवेशित अपरिमित चालक परत के कारण विद्युत क्षेत्र

मान लीजिए एक अपरिमित चालक परत है जिस पर पृष्ठीय आवेश घनत्व σ (कूलॉम/मी²) है। हमें परत के समीप किसी बिन्दु पर विद्युत क्षेत्र ज्ञात करना है।

गाउसीय पृष्ठ के रूप में एक बेलनाकार पृष्ठ लेते हैं जिसका अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल A है और जो परत को समद्विभाजित करता है। बेलन के वक्र पृष्ठ से गुजरने वाला फ्लक्स शून्य होता है क्योंकि विद्युत क्षेत्र रेखाएँ पृष्ठ के समान्तर होती हैं। केवल दोनों सिरों (प्रत्येक क्षेत्रफल A) से फ्लक्स होता है।

गाउस के नियम से:

∮ E · dA = E × 2A = Q_in / ε₀ = (σA) / ε₀

अतः E × 2A = σA / ε₀

E = σ / (2ε₀)

यह व्यंजक दर्शाता है कि समरूप आवेशित अपरिमित चालक परत के समीप विद्युत क्षेत्र की तीव्रता E = σ / (2ε₀) होती है। यह परत से दूरी पर निर्भर नहीं करता (समीप के बिन्दुओं के लिए)।

विद्युत क्षेत्र की पृष्ठीय आवेश घनत्व पर निर्भरता:

उपरोक्त व्यंजक से स्पष्ट है कि E ∝ σ, अर्थात विद्युत क्षेत्र पृष्ठीय आवेश घनत्व के अनुक्रमानुपाती होता है।

[वक्र: एक सीधी रेखा जो मूल बिन्दु से गुजरती है, x-अक्ष पर σ और y-अक्ष पर E दर्शाया गया है।]

आवश्यक चित्र:

[चित्र: अपरिमित चालक परत, गाउसीय बेलनाकार पृष्ठ, विद्युत क्षेत्र रेखाएँ परत के लम्बवत दोनों ओर दर्शाई गई हैं।]

अथवा (वैकल्पिक प्रश्न)

विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण (Electric Dipole Moment)

विद्युत द्विध्रुव दो समान एवं विपरीत आवेशों (+q और -q) का निकाय है जो एक छोटी दूरी 2a से पृथक हों। विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण एक सदिश राशि है जिसका परिमाण p = q × 2a होता है और इसकी दिशा ऋणात्मक आवेश से धनात्मक आवेश की ओर होती है।

समरूप विद्युत क्षेत्र में द्विध्रुव को घुमाने में किया गया कार्य

मान लीजिए एक विद्युत द्विध्रुव को समरूप विद्युत क्षेत्र E में रखा गया है। प्रारम्भ में द्विध्रुव स्थायी साम्यावस्था में है, अर्थात द्विध्रुव आघूर्ण p विद्युत क्षेत्र E के समान्तर है (θ = 0°)।

द्विध्रुव पर बल आघूर्ण (Torque) τ = pE sin θ

द्विध्रुव को θ कोण से घुमाने में किया गया कार्य: