RBSE Class 12th 2011 Physics-SS-40-2-2011 Previous Year Papers

सही उत्तर: (अ) λ/2

व्याख्या: कलांतर Δφ और पथान्तर Δx के बीच संबंध Δφ = (2π/λ) × Δx है। यदि Δφ = π, तो π = (2π/λ) × Δx ⇒ Δx = λ/2। अतः π कलांतर के तुल्य पथान्तर λ/2 होता है।

उत्तर: (अ) 2.4 eV और (ब) 2 eV

व्याख्या: फोटोइलेक्ट्रॉन उत्सर्जन के लिए आपतित प्रकाश की ऊर्जा धातु के कार्य फलन (4 eV) से अधिक या बराबर होनी चाहिए। यदि ऊर्जा कार्य फलन से कम है, तो कोई उत्सर्जन नहीं होगा। यहाँ 2.4 eV और 2 eV दोनों 4 eV से कम हैं, इसलिए इनसे उत्सर्जन नहीं होगा।

उत्तर: (अ) 1

व्याख्या: नियंत्रित न्यूक्लीय श्रृंखला अभिक्रिया के लिए पुनरुत्पादन गुणांक (k) का मान ठीक 1 होना चाहिए। यह सुनिश्चित करता है कि प्रत्येक विखंडन से उत्पन्न न्यूट्रॉन ठीक एक और विखंडन उत्पन्न करें, जिससे अभिक्रिया स्थिर बनी रहे।

उत्तर: (ब) 3

व्याख्या: भूस्थिर कक्षा में तीन उपग्रह, जो 120° के अंतराल पर रखे जाएं, पृथ्वी के लगभग पूरे भाग को कवर कर सकते हैं (ध्रुवीय क्षेत्रों को छोड़कर)। यह न्यूनतम संख्या है जो वैश्विक कवरेज प्रदान करती है।

उत्तर: अभ्रक (Mica) या जिप्सम (Gypsum) एक द्विअक्षीय द्विअपवर्तक क्रिस्टल है।

उत्तर: फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या आपतित प्रकाश की तीव्रता (intensity) के अनुक्रमानुपाती होती है।

उत्तर: त्वचा रोग के उपचार के लिए स्ट्रॉन्शियम-90 (Strontium-90) या फॉस्फोरस-32 (Phosphorus-32) का उपयोग किया जाता है।

उत्तर: क्रांतिक आवृत्ति (f_c) का सूत्र है:

f_c = 9 √(n_max) Hz

जहाँ n_max इलेक्ट्रॉन घनत्व (प्रति घन मीटर) है।

उत्तर:

• कम्पन तल (Plane of Vibration): वह तल जिसमें प्रकाश तरंग के विद्युत क्षेत्र सदिश का कम्पन होता है, कम्पन तल कहलाता है।
• ध्रुवण तल (Plane of Polarisation): वह तल जो कम्पन तल के लंबवत होता है, ध्रुवण तल कहलाता है।

उत्तर: हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम की बामर श्रेणी (Balmer series) दृश्य क्षेत्र में होती है।

उत्तर:

निरोधी विभव (Stopping Potential): वह न्यूनतम विभवांतर जो प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों को धातु सतह से उत्सर्जित होने से रोकने के लिए आवश्यक होता है, निरोधी विभव कहलाता है।

आलेख: आपतित प्रकाश की आवृत्ति (f) और निरोधी विभव (V₀) के बीच एक सरल रेखीय संबंध होता है। आलेख एक सीधी रेखा होती है जो आवृत्ति अक्ष को देहली आवृत्ति (f₀) पर काटती है।

V0
|
|        /
|       /
|      /
|     /
|    /
|   /
|  /
| /
|/_________________ f
  f0

उत्तर:

हाइड्रोजन परमाणु में कुल ऊर्जा (E) = गतिज ऊर्जा (K) + स्थितिज ऊर्जा (U)

बोर मॉडल के अनुसार, स्थितिज ऊर्जा (U) = 2 × कुल ऊर्जा (E) = 2E

अतः, U = 2 × (-3.6 eV) = -7.2 eV

इस प्रकार, प्रथम कक्षा में इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा -7.2 eV होगी।

उत्तर:

दिया गया है:

• अवक्षय परत की मोटाई (d) = 0.5 माइक्रोन = 0.5 × 10^-6 मीटर
• विभव रोधिका की ऊँचाई (V) = 0.8 वोल्ट

विद्युत क्षेत्र (E) का सूत्र: E = V / d

E = 0.8 / (0.5 × 10^-6)

E = 1.6 × 10⁶ वोल्ट/मीटर

अतः, P-N संधि डायोड में विद्युत क्षेत्र का मान 1.6 × 10⁶ V/m है।

उत्तर: मैगनीशियम (Mg) एक धातु है जिसमें चालन बैण्ड और संयोजक बैण्ड आपस में ओवरलैप करते हैं। इसका बैण्ड संरचना चित्र निम्न प्रकार है:

   ऊर्जा (Energy)
      ↑
      |   चालन बैण्ड (Conduction Band)
      |   ────────────────
      |   (ओवरलैप क्षेत्र)
      |   ────────────────
      |   संयोजक बैण्ड (Valence Band)
      |____________________→

चूंकि चालन बैण्ड और संयोजक बैण्ड के बीच कोई ऊर्जा अंतराल (Forbidden gap) नहीं है, अतः इलेक्ट्रॉन आसानी से चालन बैण्ड में जा सकते हैं और विद्युत चालन संभव होता है।

उत्तर: द्विआधारी संख्या (11)₂ को दशमलव में बदलने के लिए:

(11)₂ = 1 × 2¹ + 1 × 2⁰ = 2 + 1 = 3

अतः दशमलव संख्या = 3 है।

उत्तर: स्पेस तरंग संचरण में प्रयुक्त विद्युतचुम्बकीय तरंगों की आवृत्ति परास सामान्यतः 30 MHz से 300 GHz तक होती है। ये तरंगें सीधी रेखा में चलती हैं और इनका उपयोग टेलीविजन, रडार, और उपग्रह संचार में किया जाता है।

उत्तर: दिया गया है:

• प्रिज्म कोण (α) = 1° = (π/180) रेडियन = 0.01745 रेडियन
• अपवर्तनांक (μ) = 1.5
• तरंगदैर्घ्य (λ) = 6000 Å = 6000 × 10^-10 मीटर = 6 × 10^-7 मीटर
• स्रोत से द्विप्रिज्म दूरी (a) = 20 सेमी = 0.2 मीटर
• पर्दे से द्विप्रिज्म दूरी (b) = 80 सेमी = 0.8 मीटर

फ्रिंज चौड़ाई (β) का सूत्र: β = λD / d

जहाँ D = a + b = 0.2 + 0.8 = 1.0 मीटर

d = 2a(μ - 1)α = 2 × 0.2 × (1.5 - 1) × 0.01745

d = 0.4 × 0.5 × 0.01745 = 0.00349 मीटर

β = (6 × 10^-7 × 1.0) / 0.00349

β = 1.719 × 10^-4 मीटर = 0.1719 मिमी

अतः फ्रिंज चौड़ाई लगभग 0.172 मिमी है।

उत्तर:

हाइजनबर्ग का अनिश्चितता सिद्धान्त: इस सिद्धान्त के अनुसार, किसी कण की स्थिति (x) और संवेग (p) को एक साथ पूर्ण यथार्थता से नहीं मापा जा सकता। गणितीय रूप में: Δx · Δp ≥ h/(4π), जहाँ h प्लांक नियतांक है।

सत्यापन (संकीर्ण रेखाछिद्र से इलेक्ट्रॉन विवर्तन):

   इलेक्ट्रॉन पुंज
        ↓
   ────┼────  (संकीर्ण रेखाछिद्र, चौड़ाई Δx)
        ↓
   ────┼────  (पर्दा)
        ↓
   विवर्तन प्रतिरूप (केंद्रीय उच्चिष्ठ)

जब इलेक्ट्रॉनों का पुंज एक संकीर्ण रेखाछिद्र (चौड़ाई Δx) से गुजरता है, तो पर्दे पर विवर्तन प्रतिरूप बनता है।

• छिद्र की चौड़ाई Δx, इलेक्ट्रॉन की स्थिति में अनिश्चितता है।
• विवर्तन के कारण इलेक्ट्रॉन का संवेग x-दिशा में बदल जाता है, जिससे संवेग में अनिश्चितता Δp उत्पन्न होती है।
• Δp = p sinθ, जहाँ θ विवर्तन कोण है।
• प्रथम निम्निष्ठ के लिए: Δx · sinθ = λ (λ = h/p)
• अतः Δx · Δp ≈ h, जो हाइजनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धान्त की पुष्टि करता है।

उत्तर: दिया गया है:

• λ₁ = 4000 Å = 4000 × 10^-10 मीटर = 4 × 10^-7 मीटर
• λ₂ = 6000 Å = 6000 × 10^-10 मीटर = 6 × 10^-7 मीटर
• h = 6.62 × 10^-34 J·s
• c = 3 × 10⁸ m/s

फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा: K = hν - φ = hc/λ - φ

दोनों तरंगदैर्घ्यों के लिए गतिज ऊर्जाओं का अंतर:

ΔK = K₁ - K₂ = (hc/λ₁ - φ) - (hc/λ₂ - φ) = hc(1/λ₁ - 1/λ₂)

ΔK = 6.62 × 10^-34 × 3 × 10⁸ × (1/(4×10^-7) - 1/(6×10^-7))

ΔK = 1.986 × 10^-25 × (2.5×10⁶ - 1.667×10⁶)

ΔK = 1.986 × 10^-25 × 0.833×10⁶

ΔK = 1.654 × 10^-19 जूल

अतः गतिज ऊर्जाओं में अंतर = 1.654 × 10^-19 जूल (या लगभग 1.03 eV, क्योंकि 1 eV = 1.6×10^-19 J)

चित्र: बैकेरेल किरणों (α, β, γ) पर लम्बवत विद्युत एवं चुम्बकीय क्षेत्र का प्रभाव

[चित्र: एक क्षैतिज रेखा पर बायीं ओर रेडियोधर्मी पदार्थ का एक टुकड़ा (जैसे रेडियम) रखा है। इससे तीन प्रकार की किरणें निकलती हैं: α (धनात्मक आवेशित, भारी, कम विक्षेपित), β (ऋणात्मक आवेशित, हल्की, अधिक विक्षेपित), और γ (अनावेशित, अविक्षेपित)। किरणों के लम्बवत ऊपर की ओर एक विद्युत क्षेत्र (E) और कागज के तल के लम्बवत अन्दर की ओर एक चुम्बकीय क्षेत्र (B) कार्यरत है। α किरणें थोड़ा नीचे की ओर झुकती हैं, β किरणें अधिक नीचे की ओर झुकती हैं, और γ किरणें सीधी चली जाती हैं।]

व्याख्या: बैकेरेल किरणों में α-कण (He²⁺ नाभिक) धनावेशित होते हैं, β-कण (इलेक्ट्रॉन) ऋणावेशित होते हैं, और γ-किरणें (उच्च ऊर्जा फोटॉन) अनावेशित होती हैं। लम्बवत विद्युत क्षेत्र में, α और β कण विपरीत दिशाओं में विक्षेपित होते हैं (α विद्युत क्षेत्र की दिशा में, β विपरीत दिशा में)। चुम्बकीय क्षेत्र में, लोरेन्ट्ज़ बल के कारण ये वृत्ताकार पथ पर विक्षेपित होते हैं। γ-किरणें, अनावेशित होने के कारण, किसी भी क्षेत्र में विक्षेपित नहीं होतीं।

न्यूट्रिनो परिकल्पना: β-क्षय में, नाभिक से एक इलेक्ट्रॉन (β-कण) उत्सर्जित होता है। प्रयोगों में पाया गया कि β-कणों का ऊर्जा स्पेक्ट्रम सतत होता है, जो ऊर्जा संरक्षण के नियम का उल्लंघन प्रतीत होता था। इस समस्या को हल करने के लिए, वुल्फगैंग पाउली ने 1930 में न्यूट्रिनो (ν) नामक एक उदासीन, अत्यंत द्रव्यमानहीन कण की परिकल्पना प्रस्तुत की। इस परिकल्पना के अनुसार, β-क्षय में इलेक्ट्रॉन के साथ एक न्यूट्रिनो भी उत्सर्जित होता है, जो ऊर्जा और संवेग का कुछ भाग ले जाता है।

संवेग एवं ऊर्जा संरक्षण:

• ऊर्जा संरक्षण: β-क्षय में, मूल नाभिक की ऊर्जा, उत्पाद नाभिक, इलेक्ट्रॉन और न्यूट्रिनो की कुल ऊर्जा के बराबर होती है। चूंकि न्यूट्रिनो ऊर्जा का कुछ भाग ले जाता है, इसलिए इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा शून्य से अधिकतम मान तक सतत रूप से भिन्न हो सकती है। इस प्रकार ऊर्जा संरक्षण सिद्धांत संतुष्ट होता है।
• संवेग संरक्षण: β-क्षय में, मूल नाभिक का संवेग शून्य होता है (यदि वह स्थिर है)। क्षय के बाद, उत्पाद नाभिक, इलेक्ट्रॉन और न्यूट्रिनो के संवेगों का सदिश योग शून्य होना चाहिए। न्यूट्रिनो की उपस्थिति के कारण, इलेक्ट्रॉन और उत्पाद नाभिक के संवेग एक सीधी रेखा में नहीं होते, बल्कि एक त्रिभुज बनाते हैं, जिससे संवेग संरक्षण सिद्धांत संतुष्ट होता है।

न्यूट्रिनो की खोज 1956 में रेन्स और कोवान ने प्रयोगात्मक रूप से की थी, जिससे इस परिकल्पना की पुष्टि हुई।

हल:

कार्बन नाभिक ₆C¹² में 6 प्रोटॉन और 6 न्यूट्रॉन होते हैं।

नाभिकीय द्रव्यमान = 12.0000 amu

प्रोटॉनों का कुल द्रव्यमान = 6 × 1.0073 amu = 6.0438 amu

न्यूट्रॉनों का कुल द्रव्यमान = 6 × 1.0086 amu = 6.0516 amu

न्यूक्लिऑनों का कुल द्रव्यमान = 6.0438 + 6.0516 = 12.0954 amu

द्रव्यमान क्षति (Δm) = न्यूक्लिऑनों का कुल द्रव्यमान - नाभिकीय द्रव्यमान

Δm = 12.0954 - 12.0000 = 0.0954 amu

बंधन ऊर्जा (B.E.) = Δm × 931 MeV

B.E. = 0.0954 × 931 = 88.8174 MeV

अतः कार्बन नाभिक ₆C¹² की बंधन ऊर्जा लगभग 88.82 MeV है।

बूलीय समीकरण: Y = A + B (जहाँ A और B निवेशी संकेत हैं, और Y निर्गत है)

संकेत चित्र:

[चित्र: एक OR गेट का मानक प्रतीक, जिसमें बायीं ओर दो निवेशी रेखाएँ (A और B) और दायीं ओर एक निर्गत रेखा (Y) है।]

सत्यता सारणी:

मॉडुलन (Modulation): यह वह प्रक्रिया है जिसमें किसी उच्च आवृत्ति वाहक तरंग (carrier wave) के किसी गुण (जैसे आयाम, आवृत्ति या कला) को निम्न आवृत्ति संदेश संकेत (message signal) के अनुसार परिवर्तित किया जाता है।

विमॉडुलन (Demodulation): यह मॉडुलन की विपरीत प्रक्रिया है, जिसमें मॉडुलित तरंग से मूल संदेश संकेत को पुनः प्राप्त किया जाता है।

मॉडुलन की आवश्यकता:

• एंटीना की लंबाई कम करना: निम्न आवृत्ति संकेतों को प्रसारित करने के लिए बहुत लंबे एंटीना की आवश्यकता होती है। मॉडुलन द्वारा संकेत की आवृत्ति बढ़ा दी जाती है, जिससे एंटीना की लंबाई व्यावहारिक हो जाती है (λ/4 के क्रम में)।
• दूर संचार: उच्च आवृत्ति तरंगें वायुमंडल में कम क्षीणन के साथ लंबी दूरी तय कर सकती हैं।
• बैंडविड्थ आवंटन: विभिन्न स्टेशनों को अलग-अलग वाहक आवृत्तियाँ आवंटित करके एक साथ संचार संभव होता है, जिससे व्यतिकरण से बचा जा सकता है।
• शोर कम करना: मॉडुलन तकनीकों (जैसे FM) से संकेत में शोर के प्रभाव को कम किया जा सकता है।

मॉडुलन के प्रकार:

1. 23.

   Draw circuit diagram of common emitter N-P-N transistor amplifier and explain its working.

   Circuit Diagram: In a common emitter NPN transistor amplifier, the emitter is common to both input and output circuits. The input signal is applied between base and emitter, and the output is taken between collector and emitter. A DC bias voltage (V_BB) forward biases the base-emitter junction, and V_CC reverse biases the collector-base junction. A load resistor R_C is connected in the collector circuit.

   Working: When a small AC input signal is applied to the base, it varies the base-emitter voltage, causing a change in base current. Due to transistor action, a much larger change occurs in collector current (β times the base current change). This varying collector current flows through R_C, producing a large voltage variation across it. The output voltage is thus an amplified version of the input signal, with a 180° phase shift.

   Draw circuit diagram for output and input characteristic curves of N-P-N transistor in common emitter configuration. Establish the relation between current amplification factors α and β.

   Input Characteristics: These show the variation of base current (I_B) with base-emitter voltage (V_BE) for constant collector-emitter voltage (V_CE). They resemble a forward-biased diode curve.

   Output Characteristics: These show the variation of collector current (I_C) with collector-emitter voltage (V_CE) for constant base current (I_B). They have three regions: active, saturation, and cut-off.

   Relation between α and β:

   α (common base current gain) = I_C / I_E
   β (common emitter current gain) = I_C / I_B

   Since I_E = I_B + I_C, we have:

   β = I_C / I_B = I_C / (I_E - I_C) = (I_C/I_E) / (1 - I_C/I_E) = α / (1 - α)

   Thus, β = α / (1 - α) and α = β / (1 + β).

   ---

   24.

   What do you mean by diffraction of light? Why is it not observed in general circumstances? Derive the formula of direction angle for n^th minima in Fraunhofer diffraction of monochromatic light from a narrow slit and draw the necessary diagram.

   Diffraction of Light: Diffraction is the bending of light waves around obstacles or the spreading of light waves when they pass through a narrow aperture. It is a wave phenomenon that occurs when the size of the obstacle or aperture is comparable to the wavelength of light.

   Why not observed in general circumstances: In everyday life, the obstacles and apertures are much larger than the wavelength of light (≈ 400-700 nm). Therefore, the diffraction effects are negligible and not noticeable. For diffraction to be observable, the size of the obstacle or slit must be of the order of the wavelength of light.

   Derivation for n^th minima in Fraunhofer diffraction (single slit):

   Consider a narrow slit of width 'a' illuminated by monochromatic light of wavelength λ. According to Huygens' principle, each point on the slit acts as a source of secondary wavelets. For Fraunhofer diffraction, these wavelets are brought to focus on a screen using a lens.

   Let the slit be divided into two equal halves. For the first minima, the path difference between wavelets from the top of the slit and the middle of the slit should be λ/2. If θ is the angle of diffraction, then:

   (a/2) sin θ = λ/2 ⇒ a sin θ = λ

   For the n^th minima, the slit can be divided into 2n equal parts, and the condition becomes:

   a sin θ_n = nλ, where n = 1, 2, 3, ...

   Thus, the direction angle for the n^th minima is given by: sin θ_n = nλ/a

   Diagram: A diagram showing a narrow slit of width 'a', parallel rays of monochromatic light incident on it, a convex lens focusing the diffracted rays on a screen, and the central bright maximum with alternating dark and bright fringes on either side.

   OR

   Draw diagram of refraction of light on the basis of Huygens wave theory and explain it. Derive formula for refractive index.

   Huygens' Explanation of Refraction: According to Huygens' wave theory, every point on a wavefront acts as a source of secondary wavelets. When a plane wavefront AB (in medium 1) strikes the interface XY at an angle, point A on the wavefront reaches the interface first. Secondary wavelets from A travel in medium 2 with speed v₂, while the rest of the wavefront (from B to A') travels in medium 1 with speed v₁. By the time the wavelet from B reaches B' (on the interface), the wavelet from A has traveled a distance in medium 2, forming a new wavefront A'B'. The refracted wavefront is thus bent towards or away from the normal depending on the speeds.

   Derivation of Refractive Index:

   Let the speed of light in medium 1 be v₁ and in medium 2 be v₂. Let the angle of incidence be i and angle of refraction be r.

   From the geometry of the diagram:

   In triangle ABB': sin i = BB' / AB' = (v₁t) / AB'

   In triangle AA'B': sin r = AA' / AB' = (v₂t) / AB'

   Dividing: sin i / sin r = v₁ / v₂

   The refractive index of medium 2 with respect to medium 1 is defined as:

   n₂₁ = v₁ / v₂ = sin i / sin r

   This is Snell's law of refraction.

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   25.

   Explain the J.J. Thomson method for determining the value of e/m for cathode rays and derive its formula. Draw diagram of used apparatus.

   J.J. Thomson's Method for e/m of Cathode Rays:

   Principle: Cathode rays (electrons) are deflected by electric and magnetic fields. By balancing these deflections, the velocity of the electrons can be found, and then the charge-to-mass ratio (e/m) can be determined.

   Apparatus: A cathode ray tube with a cathode, anode, and a fluorescent screen. There are two sets of parallel plates to produce an electric field (E) perpendicular to the path of electrons, and two coils to produce a magnetic field (B) perpendicular to both the electric field and the electron path.

   Procedure:

   1. First, only the electric field is applied, causing the electron beam to deflect. The deflection is measured.
   2. Then, a magnetic field is applied perpendicular to the electric field such that it produces an opposite deflection. The magnetic field is adjusted until the beam returns to its original undeflected position.
   3. At this point, the electric force (eE) equals the magnetic force (evB), so: eE = evB ⇒ v = E/B
   4. Now, the magnetic field is switched off, and only the electric field is applied. The deflection (y) of the beam on the screen is measured. Using the geometry of the tube and the known electric field, the e/m ratio can be calculated.

   Derivation of Formula:

   When only electric field is applied, the electron experiences a force F = eE, and acceleration a = eE/m. The time spent in the electric field region (length L) is t = L/v. The vertical displacement at the end of the plates is y₁ = (1/2) a t² = (1/2)(eE/m)(L/v)².

   After leaving the plates, the electron moves in a straight line and hits the screen at a distance D from the plates. The total deflection y on the screen is given by:

   y = y₁ + (L/2 + D) tan θ, where tan θ = v_y/v = (eEL/mv)/v = eEL/mv²

   Simplifying, y = (eEL/mv²)(L/2 + D)

   Substituting v = E/B from the balanced condition:

   y = (eEL/m(E/B)²)(L/2 + D) = (eB²L/mE)(L/2 + D)

   Therefore, e/m = (yE) / (B²L(L/2 + D))

   All quantities on the right side are measurable, so e/m can be calculated.

   Diagram: A diagram showing the cathode ray tube with cathode, anode, electric field plates, magnetic field coils, and the fluorescent screen with the deflected beam.

   OR

   Explain the Millikan's oil drop experiment for determining the value of charge of an electron and derive its formula. Draw diagram of used apparatus.

   Millikan's Oil Drop Experiment:

   Principle: Tiny oil droplets are charged and suspended in an electric field. By balancing the gravitational force with the electric force, the charge on the droplet can be determined. The charge is always found to be an integer multiple of the elementary charge (e).

   Apparatus: The apparatus consists of two parallel metal plates (horizontal) separated by a small distance. The upper plate has a small hole for introducing oil droplets. A source of X-rays or ionizing radiation is used to charge the droplets. A microscope is used to observe the droplets. A variable voltage source is connected to the plates to create an electric field.

   Procedure:

   1. Oil droplets are sprayed into the chamber. Some droplets fall through the hole into the space between the plates.
   2. A droplet is selected and its terminal velocity (v₁) under gravity is measured. From this, the radius (r) of the droplet can be calculated using Stokes' law: v₁ = (2/9)(r²g(ρ - ρ_air)/η), where ρ is the density of oil, ρ_air is the density of air, and η is the viscosity of air.
   3. An electric field (E) is applied between the plates. The voltage is adjusted so that the droplet is stationary (balanced). At this point, the electric force (qE) equals the gravitational force (mg): qE = mg.
   4. Since m = (4/3)πr³ρ, and E = V/d (where V is the voltage and d is the plate separation), the charge q can be calculated.
   5. The experiment is repeated for many droplets, and the charges are found to be multiples of 1.6 × 10^-19 C, which is the charge of an electron.

   Derivation of Formula:

   When the droplet is stationary: qE = mg

   q(V/d) = (4/3)πr³ρg

   q = (4/3)πr³ρgd / V

   The radius r is found from the terminal velocity v₁ (without electric field):

   v₁ = (2/9)(r²g(ρ - ρ_air)/η) ⇒ r = √[(9ηv₁) / (2g(ρ - ρ_air))]

   Substituting r in the equation for q gives the charge on the droplet.

   Diagram: A diagram showing the two parallel plates, the oil spray, the microscope, the X-ray source, the voltage source, and the droplet between the plates.