RBSE Class 12th 2018 -SS-40-1-2018 Previous Year Papers

उत्तर: जब दो बिन्दु आवेशों के मध्य सुचालक माध्यम होता है, तो स्थिर विद्युत बल का मान शून्य हो जाता है। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि सुचालक माध्यम में मुक्त इलेक्ट्रॉन आवेशों को उदासीन कर देते हैं, जिससे बल का प्रभाव समाप्त हो जाता है।

उत्तर: यहाँ P प्रतिरोध (R) और Q प्रतिरोधकता (ρ) है। प्रतिरोधकता (Q) चालक के पदार्थ पर निर्भर करती है, लम्बाई पर नहीं, अतः Q का नवीन मान वही रहेगा: 24×10⁻⁸ Ωm।

प्रतिरोध (P) का सूत्र R = ρL/A है। यदि लम्बाई (L) एक चौथाई हो जाए, तो नया प्रतिरोध R' = ρ(L/4)/A = R/4 = 4Ω/4 = 1Ω।

अतः P का नवीन मान 1Ω और Q का नवीन मान 24×10⁻⁸ Ωm होगा।

उत्तर: चल कुण्डली धारामापी को अमीटर में रूपांतरित करने के लिए इसके समान्तर क्रम में एक अल्प प्रतिरोध (शण्ट प्रतिरोध) जोड़ा जाता है। यह शण्ट प्रतिरोध अधिकांश धारा को अपने से होकर प्रवाहित कर देता है, जिससे धारामापी के कुण्डली में केवल सुरक्षित सीमा तक ही धारा जाती है। इस प्रकार धारामापी को बड़ी धाराओं को मापने योग्य बनाया जाता है।

उत्तर: किसी छड़-चुम्बक का चुम्बकीय आघूर्ण (M) उसके उत्तरी ध्रुव प्राबल्य (m) और ध्रुवों के बीच की दूरी (2l) के गुणनफल के बराबर होता है। इसे सूत्र M = m × 2l द्वारा व्यक्त किया जाता है। यह एक सदिश राशि है जिसकी दिशा दक्षिणी ध्रुव से उत्तरी ध्रुव की ओर होती है।

उत्तर: अन्योन्य प्रेरण गुणांक (M) का विमीय सूत्र [ML²T⁻²A⁻²] होता है।

उत्तर: प्रकाश के प्रकीर्णन से तात्पर्य उस प्रक्रिया से है जिसमें प्रकाश तरंगें किसी माध्यम में उपस्थित छोटे-छोटे कणों (जैसे धूल, धुआँ, या अणु) से टकराकर अपने मूल पथ से विचलित हो जाती हैं और चारों दिशाओं में फैल जाती हैं।

उत्तर: निरोधी विभव (Stopping Potential) वह न्यूनतम विभवांतर है जिसे प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों के विपरीत दिशा में लगाने पर सबसे तीव्र गति वाले इलेक्ट्रॉन भी एनोड तक पहुँचने से रुक जाते हैं, जिससे प्रकाश-विद्युत धारा शून्य हो जाती है। इसे V₀ से प्रदर्शित किया जाता है।

उत्तर: N-प्रकार के अर्द्धचालक बनाने के लिए पंचसंयोजी अशुद्धियों का उपयोग किया जाता है। दो उदाहरण हैं: आर्सेनिक (As) और फॉस्फोरस (P)।

Answer: Pentavalent impurities are used to create N-type semiconductors. Two examples are: Arsenic (As) and Phosphorus (P).

हल: उभयनिष्ठ उत्सर्जक धारा लाभ (β) = 99

उभयनिष्ठ आधार धारा लाभ (α) = β / (1 + β) = 99 / (1 + 99) = 99 / 100 = 0.99

Solution: Common emitter current gain (β) = 99

Common base current gain (α) = β / (1 + β) = 99 / (1 + 99) = 99 / 100 = 0.99

उत्तर: XOR गेट का प्रतीक चिन्ह नीचे दर्शाया गया है:

    ┌───┐
A ──┤   ├── Y = A ⊕ B
    │ =1│
B ──┤   │
    └───┘

Answer: The symbol for XOR gate is shown above, where the output Y = A ⊕ B.

उत्तर: स्कैनिंग इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोप (SEM) या ट्रांसमिशन इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोप (TEM)।

Answer: Scanning Electron Microscope (SEM) or Transmission Electron Microscope (TEM).

उत्तर: संचार तंत्र के मुख्य अवयवों का ब्लॉक आरेख:

[सूचना स्रोत] → [ट्रांसमीटर] → [चैनल] → [रिसीवर] → [गंतव्य]

Answer: The block diagram of a communication system includes: Information Source → Transmitter → Channel → Receiver → Destination.

उत्तर: जब एक गोलीय तरंगाग्र समतल दर्पण पर आपतित होता है, तो परावर्तित तरंगाग्र भी गोलीय होता है, लेकिन इसका वक्रता केंद्र दर्पण के पीछे होता है।

       आपतित तरंगाग्र
       ┌──────┐
       │      │
       │  ●   │ (स्रोत)
       │      │
       └──────┘
         │
    ─────┴───── समतल दर्पण
         │
       ┌──────┐
       │      │
       │  ●   │ (प्रतिबिंब)
       │      │
       └──────┘
       परावर्तित तरंगाग्र

Answer: When a spherical wavefront is incident on a plane mirror, the reflected wavefront is also spherical, with its center of curvature behind the mirror.

हल: दिया है: बाहरी त्रिज्या (b) = 1 मी, भीतरी त्रिज्या (a) = 75 सेमी = 0.75 मी, सापेक्षिक विद्युतशीलता (ε_r) = 9

गोलीय संधारित्र की धारिता का सूत्र: C = 4πε₀ε_r × (ab) / (b - a)

यहाँ, 4πε₀ = 1 / (9 × 10⁹) = 1.11 × 10⁻¹⁰ F/m

ab = 1 × 0.75 = 0.75 m²

b - a = 1 - 0.75 = 0.25 m

C = (1 / (9 × 10⁹)) × 9 × (0.75 / 0.25)

C = (1 / 10⁹) × 3 = 3 × 10⁻⁹ F = 3 nF

Solution: Given: Outer radius (b) = 1 m, Inner radius (a) = 75 cm = 0.75 m, Relative permittivity (ε_r) = 9

Formula for spherical capacitor: C = 4πε₀ε_r × (ab) / (b - a)

Here, 4πε₀ = 1 / (9 × 10⁹) = 1.11 × 10⁻¹⁰ F/m

ab = 1 × 0.75 = 0.75 m²

b - a = 1 - 0.75 = 0.25 m

C = (1 / (9 × 10⁹)) × 9 × (0.75 / 0.25)

C = (1 / 10⁹) × 3 = 3 × 10⁻⁹ F = 3 nF

सिद्धान्त (Principle): विभवमापी का सिद्धान्त यह है कि जब किसी एकसमान अनुप्रस्थ काट वाले तार में स्थिर धारा प्रवाहित की जाती है, तो तार के किसी भी दो बिन्दुओं के बीच विभवान्तर उन बिन्दुओं के बीच की लम्बाई के समानुपाती होता है। अर्थात्, V ∝ l.

अल्प प्रतिरोध मापन का परिपथ चित्र (Circuit Diagram for measuring small resistance):

[चित्र: एक विभवमापी तार, एक सेल E, एक धारा नियंत्रक Rh, तथा एक कुंजी K श्रेणीक्रम में जुड़े हैं। अज्ञात अल्प प्रतिरोध r और एक ज्ञात प्रतिरोध R को श्रेणीक्रम में जोड़कर इस संयोजन को एक सेल E' से जोड़ा गया है। विभवमापी के सिरे A और B के बीच तार पर दो बिन्दु P और Q चिह्नित हैं। P और Q के बीच विभवान्तर मापा जाता है।]

व्याख्या: परिपथ में, अज्ञात अल्प प्रतिरोध r और ज्ञात प्रतिरोध R को श्रेणीक्रम में जोड़कर, इनके सिरों के बीच विभवान्तर क्रमशः V_r और V_R विभवमापी से मापे जाते हैं। चूँकि धारा समान है, r/R = V_r/V_R से r ज्ञात किया जा सकता है।

व्युत्पत्ति (Derivation): ओम के नियम के सूक्ष्म रूप में, किसी चालक में धारा घनत्व J और विद्युत क्षेत्र E के बीच संबंध स्थापित किया जाता है।

माना किसी चालक में इलेक्ट्रॉनों का अपवाह वेग v_d है। धारा घनत्व J = n e v_d, जहाँ n इलेक्ट्रॉन घनत्व है, e आवेश है।

अपवाह वेग v_d = (eEτ)/m, जहाँ τ विश्रांति काल है, m इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है।

अतः J = n e (eEτ/m) = (n e² τ/m) E

यहाँ (n e² τ/m) को चालकता σ कहते हैं। अतः J = σ E

यही ओम के नियम का सूक्ष्म रूप है। इसमें J और E के बीच सीधा समानुपातिक संबंध दर्शाया गया है।

हल (Solution): माना दो तारों के बीच की दूरी d = 10 cm = 0.1 m है। पहले तार में धारा I तथा दूसरे में 4I है, दोनों समान दिशा में हैं।

परिणामी चुम्बकीय क्षेत्र शून्य होने के लिए, दोनों तारों के कारण उत्पन्न चुम्बकीय क्षेत्र परिमाण में बराबर और दिशा में विपरीत होने चाहिए। चूँकि धाराएँ समान दिशा में हैं, यह स्थिति तारों के बीच में होगी।

माना पहले तार से x दूरी पर बिन्दु P है, तो दूसरे तार से दूरी (d - x) होगी।

पहले तार के कारण चुम्बकीय क्षेत्र: B₁ = μ₀I / (2πx)

दूसरे तार के कारण चुम्बकीय क्षेत्र: B₂ = μ₀(4I) / [2π(d - x)]

शून्य क्षेत्र के लिए B₁ = B₂

⇒ μ₀I / (2πx) = μ₀(4I) / [2π(d - x)]

⇒ 1/x = 4/(d - x)

⇒ d - x = 4x

⇒ d = 5x

⇒ x = d/5 = 10 cm / 5 = 2 cm

अतः अभीष्ट बिन्दु पहले तार (I धारा वाले) से 2 cm की दूरी पर, दोनों तारों के बीच स्थित है।

व्युत्पत्ति (Derivation): माना एक लम्बा बेलनाकार चालक है जिसकी त्रिज्या R है और इसमें धारा I प्रवाहित हो रही है। हम चालक के अन्दर, अक्ष से r दूरी (r < R) पर चुम्बकीय क्षेत्र ज्ञात करना चाहते हैं।

एम्पीयर के नियम के अनुसार, ∮ B·dl = μ₀ I_enclosed

हम चालक के अक्ष के समान्तर, त्रिज्या r का एक वृत्ताकार एम्पीयरियन लूप लेते हैं। इस लूप पर चुम्बकीय क्षेत्र B सर्वत्र समान और स्पर्शरेखीय होता है।

अतः ∮ B·dl = B × (2πr)

अब, लूप द्वारा घिरी धारा I_enclosed = (धारा घनत्व) × (लूप का क्षेत्रफल)

धारा घनत्व J = I / (πR²)

लूप का क्षेत्रफल = πr²

अतः I_enclosed = (I / πR²) × πr² = I (r²/R²)

एम्पीयर के नियम से:

B × (2πr) = μ₀ I (r²/R²)

⇒ B = (μ₀ I r) / (2π R²)

यह चालक के अन्दर (r ≤ R) चुम्बकीय क्षेत्र का सूत्र है। यह दर्शाता है कि चालक के अन्दर चुम्बकीय क्षेत्र अक्ष से दूरी r के समानुपाती होता है।

सूत्र की स्थापना (Derivation of formula): माना एक दण्ड चुम्बक जिसका चुम्बकीय आघूर्ण M है, को एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र B में θ कोण पर रखा गया है। चुम्बक के उत्तरी ध्रुव (N) पर बल F = mB (क्षेत्र की दिशा में) तथा दक्षिणी ध्रुव (S) पर बल F = mB (क्षेत्र की विपरीत दिशा में) लगता है, जहाँ m ध्रुव प्रबलता है।

ये दोनों बल परिमाण में बराबर और दिशा में विपरीत हैं, अतः ये एक बलयुग्म बनाते हैं। बलयुग्म का आघूर्ण (Torque) = बल × बलों के बीच लम्बवत दूरी

लम्बवत दूरी = 2l sinθ, जहाँ 2l चुम्बक की लम्बाई है।

अतः बलाघूर्ण τ = (mB) × (2l sinθ) = (m × 2l) B sinθ = M B sinθ

अतः सूत्र: τ = M B sinθ

गणना (Calculation): दिया है: M = 2 A·m², B = 5 T, θ = 30°

τ = M B sinθ = 2 × 5 × sin30° = 10 × (1/2) = 5 N·m

अतः दण्ड चुम्बक पर कार्यरत बलाघूर्ण 5 N·m है।

हल:

A) प्रतिबाधा (Z):

प्रतिबाधा Z = V₀ / I₀

जहाँ V₀ = 20 V (अधिकतम वोल्टता) और I₀ = 7 A (अधिकतम धारा)

Z = 20 / 7 ≈ 2.86 Ω

B) आवृत्ति (f):

दिए गए समीकरण V = 20 Sin 200t से, कोणीय आवृत्ति ω = 200 rad/s

आवृत्ति f = ω / (2π) = 200 / (2 × 3.14) = 200 / 6.28 ≈ 31.85 Hz

अतः प्रतिबाधा ≈ 2.86 Ω और आवृत्ति ≈ 31.85 Hz है।

व्युत्पत्ति:

बोर के सिद्धान्त के अनुसार, जब इलेक्ट्रॉन उच्च ऊर्जा स्तर (n₂) से निम्न ऊर्जा स्तर (n₁) में संक्रमण करता है, तो उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा होती है:

ΔE = E₂ - E₁ = hν = hc/λ

हाइड्रोजन परमाणु की nवीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा:

E_n = -13.6/n² eV

अतः ΔE = 13.6 (1/n₁² - 1/n₂²) eV

चूँकि hc = 12400 eV·Å, तरंगदैर्ध्य λ के लिए:

1/λ = R (1/n₁² - 1/n₂²)

जहाँ R = 1.097 × 10⁷ m⁻¹ (रिडबर्ग नियतांक) है। यही अभीष्ट सूत्र है।

व्यंजक:

बोर मॉडल के अनुसार, nवीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा:

E_n = - (me⁴)/(8ε₀²h²) × (1/n²)

या E_n = -13.6/n² eV

जहाँ m = इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान, e = आवेश, ε₀ = निर्वात की विद्युतशीलता, h = प्लांक नियतांक।

हल:

ड्यूट्रॉन में 1 प्रोटॉन और 1 न्यूट्रॉन होता है।

द्रव्यमान क्षति (Δm) = (प्रोटॉन का द्रव्यमान + न्यूट्रॉन का द्रव्यमान) - ड्यूट्रॉन का द्रव्यमान

Δm = (1.007 + 1.008) - 2.013 = 2.015 - 2.013 = 0.002 u

बंधन ऊर्जा = Δm × 931 MeV = 0.002 × 931 = 1.862 MeV

प्रति न्यूक्लिऑन बंधन ऊर्जा = कुल बंधन ऊर्जा / न्यूक्लिऑनों की संख्या

= 1.862 / 2 = 0.931 MeV

परिभाषा (Definition): विस्थापन धारा वह धारा है जो समय के साथ बदलते विद्युत क्षेत्र (या विद्युत फ्लक्स) के कारण उत्पन्न होती है। इसे मैक्सवेल ने एम्पीयर के नियम में संशोधन के लिए प्रस्तावित किया था। विस्थापन धारा का मान \( I_d = \varepsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt} \) होता है, जहाँ \( \phi_E \) विद्युत फ्लक्स है।

सिद्ध करना (Proof): मान लीजिए कि एक संधारित्र को आवेशित किया जा रहा है। संधारित्र की प्लेटों के बीच क्षेत्र में कोई चालन धारा नहीं होती, लेकिन विद्युत क्षेत्र बदलता है।

संधारित्र की प्लेट पर आवेश \( q = CV \) होता है। प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र \( E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{q}{A\varepsilon_0} \) होता है, जहाँ A प्लेट का क्षेत्रफल है।

विद्युत फ्लक्स \( \phi_E = EA = \frac{q}{\varepsilon_0} \) होता है।

अतः विस्थापन धारा \( I_d = \varepsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt} = \varepsilon_0 \frac{d}{dt}\left(\frac{q}{\varepsilon_0}\right) = \frac{dq}{dt} \)

लेकिन \( \frac{dq}{dt} \) चालन धारा \( I_c \) के बराबर है। अतः \( I_d = I_c \).

इस प्रकार सिद्ध होता है कि विस्थापन धारा चालन धारा के तुल्य होती है।

परिभाषा (Definition): लेंस की क्षमता (Power of lens) उसकी प्रकाश किरणों को अभिसरित या अपसरित करने की क्षमता का माप है। इसे लेंस की फोकस दूरी (मीटर में) के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है। \( P = \frac{1}{f} \) (जहाँ f मीटर में है)। इसका मात्रक डायोप्टर (D) है।

हल (Solution):

दिया गया है: फोकस दूरी \( f = 24 \) cm, अपवर्तनांक \( \mu = \frac{3}{2} \), दोनों पृष्ठों की वक्रता त्रिज्या समान है, माना \( R_1 = R \) और \( R_2 = -R \) (उत्तल लेंस के लिए चिह्न परिपाटी के अनुसार)।

लेंस निर्माता सूत्र (Lens Maker's Formula) का उपयोग करते हैं:

\[ \frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \]

मान रखने पर:

\[ \frac{1}{24} = \left( \frac{3}{2} - 1 \right) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) \]

\[ \frac{1}{24} = \left( \frac{1}{2} \right) \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{R} \right) \]

\[ \frac{1}{24} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{R} \]

\[ \frac{1}{24} = \frac{1}{R} \]

अतः \( R = 24 \) cm.

उत्तर (Answer): वक्रता त्रिज्या 24 cm है।

परिभाषा (Definition): प्रकाश का विवर्तन (Diffraction of light) वह घटना है जिसमें प्रकाश तरंगें किसी बाधा या स्लिट के किनारे से मुड़कर ज्यामितीय छाया क्षेत्र में प्रवेश करती हैं। यह तरंगों की प्रकृति को दर्शाता है और तब होता है जब बाधा का आकार प्रकाश की तरंगदैर्ध्य के तुलनीय होता है।

हल (Solution):

एकल स्लिट विवर्तन में, प्रथम निम्निष्ठ (first minima) की स्थिति के लिए: \( a \sin\theta = n\lambda \), जहाँ n = 1 के लिए \( a \sin\theta = \lambda \)

प्रथम उच्चिष्ठ (first maxima) की स्थिति के लिए: \( a \sin\theta = \left(n + \frac{1}{2}\right)\lambda \), जहाँ n = 1 के लिए \( a \sin\theta = \frac{3}{2}\lambda \)

दिया गया है कि 7200 Å के प्रकाश का प्रथम निम्निष्ठ, λ₁ के प्रकाश के प्रथम उच्चिष्ठ से सम्पाती है। अतः दोनों के लिए \( a \sin\theta \) समान होगा।

इसलिए: \( 7200 = \frac{3}{2} \lambda_1 \)

\[ \lambda_1 = 7200 \times \frac{2}{3} = 4800 \text{ Å} \]

उत्तर (Answer): λ₁ का मान 4800 Å है।

दे-ब्रागली परिकल्पना (de-Broglie Hypothesis): दे-ब्रागली ने प्रस्तावित किया कि गतिशील कण (जैसे इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन आदि) तरंगों की तरह व्यवहार करते हैं। इन तरंगों को द्रव्य तरंगें (matter waves) कहा जाता है। किसी कण से सम्बद्ध तरंग की तरंगदैर्ध्य (λ) उसके संवेग (p) के व्युत्क्रमानुपाती होती है, अर्थात \( \lambda = \frac{h}{p} \), जहाँ h प्लांक नियतांक है।

सूत्र व्युत्पत्ति (Derivation of Formula):

(i) गतिशील आवेशित कण के लिए (For a moving charged particle):

मान लीजिए कि एक आवेशित कण (जैसे इलेक्ट्रॉन) जिसका द्रव्यमान m है और आवेश q है, V विभवांतर से त्वरित होता है।

कण द्वारा अर्जित गतिज ऊर्जा: \( K = qV = \frac{1}{2}mv^2 \)

कण का संवेग: \( p = mv = \sqrt{2mK} = \sqrt{2mqV} \)

दे-ब्रागली तरंगदैर्ध्य: \( \lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mqV}} \)

यह आवेशित कण (जैसे इलेक्ट्रॉन) के लिए तरंगदैर्ध्य का सूत्र है।

(ii) गतिशील अनावेशित कण के लिए (For a moving uncharged particle):

मान लीजिए कि एक अनावेशित कण (जैसे न्यूट्रॉन) जिसका द्रव्यमान m है, v वेग से गतिमान है।

कण की गतिज ऊर्जा: \( K = \frac{1}{2}mv^2 \)

कण का संवेग: \( p = mv = \sqrt{2mK} \)

दे-ब्रागली तरंगदैर्ध्य: \( \lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}} \)

यदि कण का ताप T पर तापीय संतुलन में है, तो \( K = \frac{3}{2}kT \) (जहाँ k बोल्ट्जमान नियतांक है), तब \( \lambda = \frac{h}{\sqrt{3mkT}} \)

यह अनावेशित कण के लिए तरंगदैर्ध्य का सामान्य सूत्र है।

व्याख्या: नैज (intrinsic) अर्द्धचालक शुद्ध अर्द्धचालक होते हैं जिनमें तापीय ऊर्जा के कारण इलेक्ट्रॉन-होल युग्म उत्पन्न होते हैं। इनमें इलेक्ट्रॉन और होल दोनों ही आवेश वाहक होते हैं। विद्युत क्षेत्र लगाने पर इलेक्ट्रॉन चालन बैंड में और होल संयोजकता बैंड में गति करते हैं, जिससे धारा प्रवाहित होती है।

धारा घनत्व का व्यंजक:

माना कि नैज अर्द्धचालक में इलेक्ट्रॉनों का घनत्व n_e और होलों का घनत्व n_h है। नैज अर्द्धचालक में n_e = n_h = n_i (आंतरिक वाहक सांद्रता)।

इलेक्ट्रॉनों के कारण धारा घनत्व: J_e = n_e e v_e = n_i e μ_e E

होलों के कारण धारा घनत्व: J_h = n_h e v_h = n_i e μ_h E

कुल धारा घनत्व: J = J_e + J_h = n_i e (μ_e + μ_h) E

जहाँ e = इलेक्ट्रॉन का आवेश, μ_e = इलेक्ट्रॉन की गतिशीलता, μ_h = होल की गतिशीलता, E = विद्युत क्षेत्र की तीव्रता।

पूर्ण तरंग दिष्टकारी: यह AC वोल्टेज के दोनों अर्ध-चक्रों को DC में परिवर्तित करता है।

निवेशी संकेत (Input Signal): यह एक प्रत्यावर्ती धारा (AC) तरंग होती है जो समय के साथ धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मान लेती है।

निर्गत संकेत (Output Signal): यह एक स्पंदित DC तरंग होती है जिसमें दोनों अर्ध-चक्र धनात्मक दिशा में होते हैं।

विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण की परिभाषा: विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण (p) दो समान एवं विपरीत आवेशों (+q और -q) के बीच की दूरी (2a) और आवेश के परिमाण का गुणनफल है। यह एक सदिश राशि है जिसकी दिशा ऋणात्मक आवेश से धनात्मक आवेश की ओर होती है।

p = q × 2a

निरक्ष पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता का व्यंजक:

माना एक विद्युत द्विध्रुव AB है जिसके केंद्र O से निरक्ष पर r दूरी पर एक बिंदु P है।

+q आवेश के कारण P पर विद्युत क्षेत्र: E₁ = (1/4πε₀) × q/(r² + a²)

-q आवेश के कारण P पर विद्युत क्षेत्र: E₂ = (1/4πε₀) × q/(r² + a²)

E₁ और E₂ परिमाण में समान होते हैं लेकिन दिशा में भिन्न। इनके अभिलंब घटक निरस्त हो जाते हैं और क्षैतिज घटक जुड़ जाते हैं।

परिणामी विद्युत क्षेत्र: E = 2E₁ cosθ

जहाँ cosθ = a/√(r² + a²)

E = 2 × (1/4πε₀) × q/(r² + a²) × a/√(r² + a²)

E = (1/4πε₀) × (2qa)/(r² + a²)^3/2

चूँकि p = 2qa, अतः:

E = (1/4πε₀) × p/(r² + a²)^3/2

यदि r >> a, तो E = (1/4πε₀) × p/r³

विद्युत विभव की परिभाषा: किसी बिंदु पर विद्युत विभव वह कार्य है जो एकांक धनात्मक आवेश को अनंत से उस बिंदु तक लाने में किया जाता है।

आवेशित गोलीय कोश के कारण विभव:

माना R त्रिज्या का एक गोलीय कोश है जिस पर Q आवेश समान रूप से वितरित है।

i) जब बिंदु गोलीय कोश के बाहर स्थित हो (r > R):

गोलीय कोश के बाहर विद्युत क्षेत्र वैसा ही होता है जैसा कि केंद्र पर स्थित बिंदु आवेश Q के कारण होता है।

E = (1/4πε₀) × Q/r²

विभव: V = -∫_∞^r E dr = (1/4πε₀) × Q/r

ii) जब बिंदु गोलीय कोश के अंदर स्थित हो (r < R):

गोलीय कोश के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है (E = 0)।

अतः विभव स्थिर रहता है और कोश के पृष्ठ पर विभव के बराबर होता है।

V = (1/4πε₀) × Q/R

दूरी के साथ विभव में परिवर्तन का ग्राफ:

माना R त्रिज्या का एक गोलीय कोश है जिस पर Q आवेश समान रूप से वितरित है। कोश के केंद्र से r दूरी पर स्थित बिंदु P पर विद्युत विभव ज्ञात करना है।

गोलीय कोश के बाहर स्थित बिंदु के लिए (r > R):

गोलीय कोश के बाहर विद्युत क्षेत्र वैसा ही होता है जैसा कि सम्पूर्ण आवेश केंद्र पर केंद्रित होने पर होता है।

विद्युत क्षेत्र: E = (1/4πε₀) × (Q/r²)

विभव: V = -∫_∞^r E·dr = -∫_∞^r (1/4πε₀) × (Q/r²) dr

V = (1/4πε₀) × (Q/r)

अतः बाह्य बिंदु के लिए विभव: V = (1/4πε₀) × (Q/r)

गोलीय कोश के अंदर (r < R) विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।

अतः अंदर विभव नियत रहता है और कोश के पृष्ठ पर विभव के बराबर होता है।

पृष्ठ पर विभव: V = (1/4πε₀) × (Q/R)

अतः आंतरिक बिंदु के लिए विभव: V = (1/4πε₀) × (Q/R) (नियत)

व्युत्पत्ति:

माना एक आयताकार लूप PQRS (चौड़ाई l, लंबाई b) x-अक्ष के अनुदिश नियत वेग v से गतिमान है। चुम्बकीय क्षेत्र B असमान है, अर्थात B, x पर निर्भर करता है।

माना किसी क्षण लूप की स्थिति ऐसी है कि इसका एक किनारा PQ, x दूरी पर तथा दूसरा किनारा RS, (x + b) दूरी पर है।

लूप से संबद्ध चुम्बकीय फ्लक्स:

Φ = ∫ B·dA = ∫_x^x+b B(x) · l · dx

प्रेरित emf: ε = -dΦ/dt = -d/dt [∫_x^x+b B(x) · l · dx]

लेबनिज नियम से:

ε = -l [B(x+b) · dx/dt - B(x) · dx/dt]

चूँकि dx/dt = v (नियत वेग):

ε = -l v [B(x+b) - B(x)]

यदि लूप का प्रतिरोध R है, तो प्रेरित धारा:

I = ε/R = -[l v (B(x+b) - B(x))]/R

यह प्रेरित emf और धारा के व्यंजक हैं।

पूर्ण आन्तरिक परावर्तन की परिभाषा: जब प्रकाश किरण सघन माध्यम से विरल माध्यम में जाती है और आपतन कोण क्रान्तिक कोण से अधिक होता है, तो प्रकाश पूर्णतः सघन माध्यम में वापस परावर्तित हो जाता है। इस घटना को पूर्ण आन्तरिक परावर्तन कहते हैं।

दर्पण समीकरण का व्युत्पन्न:

मान लीजिए एक अवतल दर्पण जिसका मुख्य फोकस F, वक्रता केंद्र C और ध्रुव P है। एक वस्तु AB को मुख्य अक्ष पर रखा गया है। वस्तु से निकलने वाली एक किरण मुख्य अक्ष के समानांतर दर्पण पर आपतित होती है और परावर्तन के बाद फोकस F से होकर जाती है। दूसरी किरण वक्रता केंद्र C से होकर जाती है और उसी मार्ग पर वापस लौटती है। इन दोनों परावर्तित किरणों का प्रतिच्छेदन बिंदु A'B' वास्तविक प्रतिबिम्ब बनाता है।

त्रिभुज ABC और A'B'C समरूप हैं, अतः:

AB/A'B' = CB/CB'

त्रिभुज ABP और A'B'P भी समरूप हैं, अतः:

AB/A'B' = PB/PB'

इन दोनों से: CB/CB' = PB/PB'

चूँकि CB = PC - PB और CB' = PB' - PC, तथा PC = 2f (जहाँ f फोकस दूरी है):

(PC - PB)/(PB' - PC) = PB/PB'

माना PB = u (वस्तु दूरी), PB' = v (प्रतिबिम्ब दूरी), PC = 2f:

(2f - u)/(v - 2f) = u/v

क्रॉस गुणा करने पर: v(2f - u) = u(v - 2f)

2fv - uv = uv - 2fu

2fv + 2fu = 2uv

दोनों पक्षों को 2fuv से भाग देने पर:

1/u + 1/v = 1/f

यही अभीष्ट दर्पण समीकरण है।

किरण चित्र: (आवश्यक किरण चित्र में अवतल दर्पण, मुख्य अक्ष, वस्तु AB, फोकस F, वक्रता केंद्र C, तथा प्रतिबिम्ब A'B' को दर्शाया जाता है।)

कला सम्बद्ध स्रोत: वे दो प्रकाश स्रोत जिनके बीच कला का अंतर समय के साथ स्थिर रहता है, कला सम्बद्ध स्रोत कहलाते हैं। इन स्रोतों से उत्सर्जित तरंगों की आवृत्ति समान होती है और इनके बीच एक निश्चित कला संबंध होता है।

सम्पोषी एवं विनाशी व्यतिकरण की शर्तें:

मान लीजिए दो कला सम्बद्ध स्रोत S₁ और S₂ से निकलने वाली तरंगों के समीकरण:

y₁ = a₁ sin(ωt) और y₂ = a₂ sin(ωt + φ)

जहाँ φ कला अंतर है।

अध्यारोपण सिद्धांत से, परिणामी विस्थापन:

y = y₁ + y₂ = a₁ sin(ωt) + a₂ sin(ωt + φ)

y = R sin(ωt + θ)

जहाँ R = √(a₁² + a₂² + 2a₁a₂ cos φ)

तीव्रता I ∝ R², अतः:

I = I₁ + I₂ + 2√(I₁I₂) cos φ

सम्पोषी व्यतिकरण की शर्त: जब cos φ = +1, अर्थात φ = 2nπ (n = 0, 1, 2, ...)

तब I_max = (√I₁ + √I₂)²

पथांतर Δ = nλ (जहाँ λ तरंगदैर्ध्य है)

विनाशी व्यतिकरण की शर्त: जब cos φ = -1, अर्थात φ = (2n+1)π (n = 0, 1, 2, ...)

तब I_min = (√I₁ - √I₂)²

पथांतर Δ = (2n+1)λ/2

तीव्रता वितरण वक्र: तीव्रता वितरण को एक कोसाइन वक्र द्वारा प्रदर्शित किया जाता है, जिसमें अधिकतम तीव्रता (I_max) और न्यूनतम तीव्रता (I_min) के बीच नियमित रूप से परिवर्तन होता है। x-अक्ष पर पथांतर और y-अक्ष पर तीव्रता दर्शाई जाती है।

Definition of Total Internal Reflection: When a light ray travels from a denser medium to a rarer medium and the angle of incidence is greater than the critical angle, the light is completely reflected back into the denser medium. This phenomenon is called total internal reflection.

Derivation of Mirror Equation:

Consider a concave mirror with principal focus F, center of curvature C, and pole P. An object AB is placed on the principal axis. A ray from the object parallel to the principal axis strikes the mirror and after reflection passes through focus F. Another ray passes through the center of curvature C and returns along the same path. The intersection of these two reflected rays forms the real image A'B'.

Triangles ABC and A'B'C are similar, so:

AB/A'B' = CB/CB'

Triangles ABP and A'B'P are also similar, so:

AB/A'B' = PB/PB'

From these: CB/CB' = PB/PB'

Since CB = PC - PB and CB' = PB' - PC, and PC = 2f (where f is focal length):

(PC - PB)/(PB' - PC) = PB/PB'

Let PB = u (object distance), PB' = v (image distance), PC = 2f:

(2f - u)/(v - 2f) = u/v

Cross-multiplying: v(2f - u) = u(v - 2f)

2fv - uv = uv - 2fu

2fv + 2fu = 2uv

Dividing both sides by 2fuv:

1/u + 1/v = 1/f

This is the required mirror equation.

Ray Diagram: (The necessary ray diagram shows the concave mirror, principal axis, object AB, focus F, center of curvature C, and image A'B'.)

Coherent Sources: Two light sources that maintain a constant phase difference over time are called coherent sources. The waves emitted from these sources have the same frequency and a fixed phase relationship.

Conditions for Constructive and Destructive Interference:

Let two coherent sources S₁ and S₂ emit waves with equations:

y₁ = a₁ sin(ωt) and y₂ = a₂ sin(ωt + φ)

where φ is the phase difference.

By the superposition principle, the resultant displacement:

y = y₁ + y₂ = a₁ sin(ωt) + a₂ sin(ωt + φ)

y = R sin(ωt + θ)

where R = √(a₁² + a₂² + 2a₁a₂ cos φ)

Intensity I ∝ R², so:

I = I₁ + I₂ + 2√(I₁I₂) cos φ

Condition for Constructive Interference: When cos φ = +1, i.e., φ = 2nπ (n = 0, 1, 2, ...)

Then I_max = (√I₁ + √I₂)²

Path difference Δ = nλ (where λ is wavelength)

Condition for Destructive Interference: When cos φ = -1, i.e., φ = (2n+1)π (n = 0, 1, 2, ...)

Then I_min = (√I₁ - √I₂)²

Path difference Δ = (2n+1)λ/2

Intensity Distribution Curve: The intensity distribution is shown by a cosine curve, where the intensity varies regularly between maximum (I_max) and minimum (I_min). The x-axis represents path difference and the y-axis represents intensity.