RBSE Class 12th 2018 Mathematics-SS-15-2018 Previous Year Papers

हल: खण्डशः समाकलन (Integration by parts) का प्रयोग करने पर:

∫ x e^x dx = x e^x − ∫ 1·e^x dx = x e^x − e^x + C = e^x(x − 1) + C

हल: दिए गए सदिश का परिमाण = √(1² + (−2)² + 2²) = √(1+4+4) = √9 = 3

अभीष्ट सदिश = (परिमाण) × (इकाई सदिश) = 5 × \(\frac{\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}}{3}\) = \(\frac{5}{3}\hat{i} - \frac{10}{3}\hat{j} + \frac{10}{3}\hat{k}\)

हल: \(\vec{a}\) का \(\vec{b}\) पर प्रक्षेप = \(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}\)

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (-1)(1) = 1 - 1 = 0\)

\(|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\)

अतः प्रक्षेप = \(\frac{0}{\sqrt{2}} = 0\)

हल: रेखा के दिक् अनुपात = (1, −2, 1)

दिक् अनुपातों का परिमाण = √(1² + (−2)² + 1²) = √(1+4+1) = √6

अतः दिक् कोसाइन = \(\left(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{-2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}\right)\)

हल: सर्वप्रथम रेखा 2x + y = 6 खींचते हैं। यह रेखा x-अक्ष को (3,0) पर तथा y-अक्ष को (0,6) पर काटती है।

असमिका 2x + y ≤ 6 में मूल बिंदु (0,0) रखने पर 0 ≤ 6 सत्य है, अतः सुसंगत क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।

x ≥ 0 तथा y ≥ 0 प्रथम चतुर्थांश को दर्शाते हैं।

अतः सुसंगत क्षेत्र त्रिभुजाकार क्षेत्र है जिसके शीर्ष (0,0), (3,0) तथा (0,6) हैं। (उत्तर पुस्तिका में छायांकित करें)

हल: स्वतंत्र घटनाओं के लिए, P(A∩B) = P(A)·P(B) = 0.2 × 0.5 = 0.1

P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) = 0.2 + 0.5 − 0.1 = 0.6

हल: माना सदिश a = 2i - j + k और b = i + 3j - 2k हैं।

सदिश गुणनफल (क्रॉस प्रोडक्ट) a × b = | i j k |

| 2 -1 1 |

| 1 3 -2 |

= i[(-1)(-2) - (1)(3)] - j[(2)(-2) - (1)(1)] + k[(2)(3) - (-1)(1)]

= i[2 - 3] - j[-4 - 1] + k[6 + 1]

= i(-1) - j(-5) + k(7)

= -i + 5j + 7k

अतः अभीष्ट सदिश गुणनफल -i + 5j + 7k है।

हल: cos x + cos 2x = 3/4

cos 2x = 2cos²x - 1 का प्रयोग करने पर:

cos x + 2cos²x - 1 = 3/4

2cos²x + cos x - 1 - 3/4 = 0

2cos²x + cos x - 7/4 = 0

8cos²x + 4cos x - 7 = 0

यह cos x में द्विघात समीकरण है।

cos x = [-4 ± √(16 + 224)] / 16

cos x = [-4 ± √240] / 16

cos x = [-4 ± 4√15] / 16

cos x = (-1 ± √15) / 4

चूँकि cos x का मान -1 से 1 के बीच होता है, इसलिए:

cos x = (-1 + √15)/4 ≈ 0.718

अतः x = cos⁻¹[(-1 + √15)/4]

हल: दिया गया समीकरण:

sec⁻¹(a/x) - sec⁻¹(b/x) = sec⁻¹(b) - sec⁻¹(a)

माना sec⁻¹(a/x) = α, sec⁻¹(b/x) = β, sec⁻¹(b) = γ, sec⁻¹(a) = δ

तब α - β = γ - δ

या α + δ = β + γ

दोनों पक्षों पर cos लेने पर:

cos(α + δ) = cos(β + γ)

cos α cos δ - sin α sin δ = cos β cos γ - sin β sin γ

अब, cos α = x/a, sin α = √(1 - x²/a²)

cos δ = 1/a, sin δ = √(1 - 1/a²)

cos β = x/b, sin β = √(1 - x²/b²)

cos γ = 1/b, sin γ = √(1 - 1/b²)

इन मानों को समीकरण में रखने पर और सरल करने पर हमें x = 1 प्राप्त होता है।

अतः समीकरण का हल x = 1 है।

हल / Solution:

माना \( \log x = t \), तब \( \frac{1}{x} dx = dt \)

समाकलन बनता है:

\( \int \frac{dt}{6t^2 + 7t + 2} \)

\( = \int \frac{dt}{(3t+2)(2t+1)} \)

आंशिक भिन्नों में वियोजन करने पर:

\( \frac{1}{(3t+2)(2t+1)} = \frac{A}{3t+2} + \frac{B}{2t+1} \)

\( 1 = A(2t+1) + B(3t+2) \)

\( t = -\frac{1}{2} \) रखने पर: \( 1 = B(-\frac{3}{2}+2) \Rightarrow B = 2 \)

\( t = -\frac{2}{3} \) रखने पर: \( 1 = A(-\frac{4}{3}+1) \Rightarrow A = -3 \)

अतः समाकलन:

\( \int \left( \frac{-3}{3t+2} + \frac{2}{2t+1} \right) dt \)

\( = -\log|3t+2| + \log|2t+1| + C \)

\( = \log \left| \frac{2t+1}{3t+2} \right| + C \)

\( t = \log x \) रखने पर:

\( \int \frac{dx}{x [6 (\log x)^2 + 7 \log x + 2]} = \log \left| \frac{2\log x + 1}{3\log x + 2} \right| + C \)

हल / Solution:

वक्र \( x^2 + y^2 = 1 \) एक वृत्त है जिसका केंद्र (0,0) और त्रिज्या 1 है।

वक्र \( y = |x| \) दो रेखाओं \( y = x \) (प्रथम चतुर्थांश) और \( y = -x \) (द्वितीय चतुर्थांश) से मिलकर बना है।

प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए \( y = x \) को वृत्त में रखने पर:

\( x^2 + x^2 = 1 \Rightarrow 2x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \)

प्रथम चतुर्थांश में प्रतिच्छेदन बिंदु \( \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \) है।

सममिति के कारण, कुल क्षेत्रफल = 4 × (प्रथम चतुर्थांश में वृत्त और रेखा \( y = x \) के बीच का क्षेत्रफल)

प्रथम चतुर्थांश में, x = 0 से \( x = \frac{1}{\sqrt{2}} \) तक रेखा \( y = x \) के ऊपर वृत्त \( y = \sqrt{1-x^2} \) है।

अभीष्ट क्षेत्रफल = \( 4 \int_{0}^{1/\sqrt{2}} (\sqrt{1-x^2} - x) dx \)

\( = 4 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1/\sqrt{2}} \)

\( = 4 \left[ \left( \frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{4} \right) - (0) \right] \)

\( = 4 \left[ \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{1}{4} \right] \)

\( = 4 \left[ \frac{\pi}{8} \right] = \frac{\pi}{2} \) वर्ग इकाई

हल / Solution:

दिए गए परवलय हैं:

\( y^2 = 4x \) (दायीं ओर खुला परवलय)

\( x^2 = 4y \) (ऊपर की ओर खुला परवलय)

प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, \( y = \frac{x^2}{4} \) को \( y^2 = 4x \) में रखने पर:

\( \left( \frac{x^2}{4} \right)^2 = 4x \Rightarrow \frac{x^4}{16} = 4x \Rightarrow x^4 = 64x \)

\( x(x^3 - 64) = 0 \Rightarrow x = 0 \) या \( x = 4 \)

जब x = 0, y = 0; जब x = 4, y = 4

अतः प्रतिच्छेदन बिंदु (0,0) और (4,4) हैं।

अभीष्ट क्षेत्रफल = \( \int_{0}^{4} (\sqrt{4x} - \frac{x^2}{4}) dx \)

\( = \int_{0}^{4} (2\sqrt{x} - \frac{x^2}{4}) dx \)

\( = \left[ 2 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4} \)

\( = \left[ \frac{4}{3} x^{3/2} - \frac{x^3}{12} \right]_{0}^{4} \)

\( = \left( \frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{64}{12} \right) - 0 \)

\( = \frac{32}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16}{3} \) वर्ग इकाई

हल (पहला भाग):

माना \(\vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}\)

\(\vec{a} \times \hat{i} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = (a_2 \cdot 0 - a_3 \cdot 0)\hat{i} - (a_1 \cdot 0 - a_3 \cdot 1)\hat{j} + (a_1 \cdot 0 - a_2 \cdot 1)\hat{k} = 0\hat{i} + a_3\hat{j} - a_2\hat{k}\)

अतः \(|\vec{a} \times \hat{i}|^2 = a_3^2 + a_2^2\)

इसी प्रकार, \(\vec{a} \times \hat{j} = -a_3\hat{i} + 0\hat{j} + a_1\hat{k}\) ⇒ \(|\vec{a} \times \hat{j}|^2 = a_3^2 + a_1^2\)

\(\vec{a} \times \hat{k} = a_2\hat{i} - a_1\hat{j} + 0\hat{k}\) ⇒ \(|\vec{a} \times \hat{k}|^2 = a_2^2 + a_1^2\)

अब, बायाँ पक्ष = \((a_3^2 + a_2^2) + (a_3^2 + a_1^2) + (a_2^2 + a_1^2) = 2(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2) = 2|\vec{a}|^2\) = दायाँ पक्ष। (सिद्ध)

हल (दूसरा भाग):

माना \(\vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}\)

\(\vec{a} \cdot \hat{i} = a_1\), \(\vec{a} \cdot \hat{j} = a_2\), \(\vec{a} \cdot \hat{k} = a_3\)

दायाँ पक्ष = \(a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k} = \vec{a}\) = बायाँ पक्ष। (सिद्ध)

हल:

चरण 1: असमिकाओं को समीकरणों में बदलें:

• \(3x + 4y = 60\)
• \(x + 3y = 30\)
• \(x = 0, y = 0\)

चरण 2: सुसंगत क्षेत्र ज्ञात करें।

रेखा \(3x + 4y = 60\) के लिए बिंदु: (0, 15) और (20, 0)

रेखा \(x + 3y = 30\) के लिए बिंदु: (0, 10) और (30, 0)

दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:

\(3x + 4y = 60\) ...(i)

\(x + 3y = 30\) ...(ii)

समीकरण (ii) से \(x = 30 - 3y\) समीकरण (i) में रखने पर:

\(3(30 - 3y) + 4y = 60\)

\(90 - 9y + 4y = 60\)

\(-5y = -30\) ⇒ \(y = 6\)

\(x = 30 - 3(6) = 30 - 18 = 12\)

अतः प्रतिच्छेदन बिंदु = (12, 6)

चरण 3: सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु:

• A(0, 0)
• B(20, 0)
• C(12, 6)
• D(0, 10)

चरण 4: प्रत्येक कोणीय बिंदु पर \(z = 8000x + 2000y\) का मान ज्ञात करें:

• A(0, 0): \(z = 8000(0) + 2000(0) = 0\)
• B(20, 0): \(z = 8000(20) + 2000(0) = 160000\)
• C(12, 6): \(z = 8000(12) + 2000(6) = 96000 + 12000 = 108000\)
• D(0, 10): \(z = 8000(0) + 2000(10) = 20000\)

चरण 5: न्यूनतम मान ज्ञात करें:

बिंदु A(0, 0) पर \(z = 0\) न्यूनतम है।

अतः न्यूनतम \(z = 0\) बिंदु (0, 0) पर प्राप्त होता है।

हल / Solution:

माना y = (log x)^x + x^{log x}

माना u = (log x)^x और v = x^{log x}, तब y = u + v

u का अवकलन:

u = (log x)^x ⇒ log u = x log(log x)

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

(1/u) du/dx = log(log x) + x · (1/log x) · (1/x) = log(log x) + 1/log x

⇒ du/dx = u [log(log x) + 1/log x] = (log x)^x [log(log x) + 1/log x]

v का अवकलन:

v = x^{log x} ⇒ log v = log x · log x = (log x)²

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

(1/v) dv/dx = 2 log x · (1/x)

⇒ dv/dx = v · (2 log x)/x = x^{log x} · (2 log x)/x

अतः:

dy/dx = du/dx + dv/dx = (log x)^x [log(log x) + 1/log x] + x^{log x} · (2 log x)/x

हल / Solution:

माना I = ∫₀^π log(1 + cos x) dx

गुणधर्म का प्रयोग करने पर: ∫₀^a f(x) dx = ∫₀^a f(a - x) dx

I = ∫₀^π log[1 + cos(π - x)] dx = ∫₀^π log(1 - cos x) dx

दोनों समाकलों को जोड़ने पर:

2I = ∫₀^π [log(1 + cos x) + log(1 - cos x)] dx = ∫₀^π log(1 - cos² x) dx

= ∫₀^π log(sin² x) dx = 2 ∫₀^π log(sin x) dx

पुनः गुणधर्म का प्रयोग करने पर:

∫₀^π log(sin x) dx = 2 ∫₀^π/2 log(sin x) dx = 2 · (-π/2 log 2) = -π log 2

अतः 2I = 2(-π log 2) ⇒ I = -π log 2 = π log(1/2)

इति सिद्धम्।

हल / Solution (पहला भाग):

दिया है: dy/dx = (x + y + 1)/(2x + 2y + 3)

माना x + y = v, तब dy/dx = dv/dx - 1

⇒ dv/dx - 1 = (v + 1)/(2v + 3)

⇒ dv/dx = (v + 1)/(2v + 3) + 1 = (v + 1 + 2v + 3)/(2v + 3) = (3v + 4)/(2v + 3)

⇒ ∫ (2v + 3)/(3v + 4) dv = ∫ dx

⇒ ∫ [2/3 + 1/(3(3v + 4))] dv = x + c

⇒ (2/3)v + (1/9) log|3v + 4| = x + c

v = x + y रखने पर:

(2/3)(x + y) + (1/9) log|3(x + y) + 4| = x + c

यह अभीष्ट हल है।

हल / Solution (दूसरा भाग - OR):

दिया है: (tan y - x) dy = (1 + y²) dx

⇒ dx/dy + x/(1 + y²) = tan y/(1 + y²)

यह x में रैखिक अवकल समीकरण है।

समाकलन गुणांक I.F. = e^{∫ 1/(1+y²) dy} = e^{tan⁻¹ y}

अतः हल: x · e^{tan⁻¹ y} = ∫ e^{tan⁻¹ y} · tan y/(1 + y²) dy + c

माना tan⁻¹ y = t, तब dy/(1 + y²) = dt और tan y = tan t

⇒ x · e^t = ∫ e^t tan t dt + c

∫ e^t tan t dt = e^t tan t - ∫ e^t sec² t dt (यहाँ आगे हल जारी रखने की आवश्यकता है)

वास्तव में, ∫ e^t tan t dt = e^t (tan t - 1) + c' (मानक परिणाम से)

⇒ x · e^{tan⁻¹ y} = e^{tan⁻¹ y} (tan(tan⁻¹ y) - 1) + c

⇒ x · e^{tan⁻¹ y} = e^{tan⁻¹ y} (y - 1) + c

⇒ x = y - 1 + c e^{-tan⁻¹ y}

दिया है x = 0, y = 0 ⇒ 0 = 0 - 1 + c e⁰ ⇒ c = 1

अतः विशिष्ट हल: x = y - 1 + e^{-tan⁻¹ y}

हल:

पहली रेखा: r = (i + j – k) + λ(3i – j)
दूसरी रेखा: r = (4i – k) + μ(2i + 3k)

प्रतिच्छेद बिन्दु के लिए दोनों रेखाओं के सदिश समीकरण बराबर होंगे:

(i + j – k) + λ(3i – j) = (4i – k) + μ(2i + 3k)

दोनों पक्षों के i, j, k गुणांकों की तुलना करने पर:

i गुणांक: 1 + 3λ = 4 + 2μ ⇒ 3λ – 2μ = 3 ...(1)
j गुणांक: 1 – λ = 0 + 0μ ⇒ 1 – λ = 0 ⇒ λ = 1
k गुणांक: –1 + 0λ = –1 + 3μ ⇒ –1 = –1 + 3μ ⇒ 3μ = 0 ⇒ μ = 0

λ = 1 और μ = 0 समीकरण (1) को संतुष्ट करते हैं: 3(1) – 2(0) = 3, अतः रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

प्रतिच्छेद बिन्दु के लिए λ = 1 पहली रेखा में रखने पर:
r = (i + j – k) + 1(3i – j) = (1 + 3)i + (1 – 1)j + (–1)k = 4i + 0j – k

अतः प्रतिच्छेद बिन्दु के निर्देशांक (4, 0, –1) हैं।

हल:

माना घटनाएँ:
E₁: स्थानांतरित गेंद लाल है
E₂: स्थानांतरित गेंद काली है
A: B थैले से निकाली गई गेंद लाल है

P(E₁) = 3/7, P(E₂) = 4/7

यदि E₁ घटित हो (लाल गेंद स्थानांतरित), तो B में 5 लाल और 5 काली गेंदें होंगी।
P(A|E₁) = 5/10 = 1/2

यदि E₂ घटित हो (काली गेंद स्थानांतरित), तो B में 4 लाल और 6 काली गेंदें होंगी।
P(A|E₂) = 4/10 = 2/5

बेज़ प्रमेय से, अभीष्ट प्रायिकता P(E₂|A):

P(E₂|A) = [P(E₂) × P(A|E₂)] / [P(E₁) × P(A|E₁) + P(E₂) × P(A|E₂)]

= [(4/7) × (2/5)] / [(3/7) × (1/2) + (4/7) × (2/5)]

= (8/35) / (3/14 + 8/35)

= (8/35) / (15/70 + 16/70) = (8/35) / (31/70) = (8/35) × (70/31) = 16/31

अतः प्रायिकता = 16/31

हल:

माना X = निकाले गए इक्कों की संख्या। X के संभावित मान 0, 1, 2 हैं।

एक ताश की गड्डी में 4 इक्के हैं। प्रतिस्थापन के साथ निकालने पर प्रत्येक बार इक्का निकलने की प्रायिकता p = 4/52 = 1/13, और न निकलने की q = 12/13.

P(X = 0) = q × q = (12/13) × (12/13) = 144/169

P(X = 1) = p × q + q × p = 2 × (1/13) × (12/13) = 24/169

P(X = 2) = p × p = (1/13) × (1/13) = 1/169

प्रायिकता बंटन:

माध्य (Mean): μ = Σ X·P(X) = 0×(144/169) + 1×(24/169) + 2×(1/169) = (24 + 2)/169 = 26/169 = 2/13