RBSE Class 12th 2020 Physics-SS-40-2020 Previous Year Papers

उत्तर / Answer: प्रकाश के प्रकीर्णन का अर्थ है जब प्रकाश किसी माध्यम में उपस्थित छोटे कणों या अणुओं से टकराकर विभिन्न दिशाओं में फैल जाता है। यह घटना तब होती है जब प्रकाश तरंगदैर्ध्य के बराबर या उससे छोटे कणों से संपर्क करता है। उदाहरण: आकाश का नीला दिखना (रेले प्रकीर्णन) और सूर्योदय/सूर्यास्त के समय सूर्य का लाल दिखना।

Scattering of light refers to the phenomenon where light is deflected in various directions after interacting with small particles or molecules in a medium. This occurs when the particles are comparable to or smaller than the wavelength of light. Examples: blue color of the sky (Rayleigh scattering) and red appearance of the sun at sunrise/sunset.

उत्तर / Answer: डेविसन और जर्मर के प्रयोग का मुख्य उद्देश्य इलेक्ट्रॉनों की तरंग प्रकृति को प्रदर्शित करना था। उन्होंने निकल क्रिस्टल से इलेक्ट्रॉनों के विवर्तन का अध्ययन किया और डी-ब्रॉग्ली की परिकल्पना की पुष्टि की, जिसमें कहा गया था कि गतिशील कण तरंगों की तरह व्यवहार करते हैं।

The main objective of the Davisson and Germer experiment was to demonstrate the wave nature of electrons. They studied the diffraction of electrons from a nickel crystal and confirmed de Broglie's hypothesis that moving particles exhibit wave-like behavior.

हाइजेनबर्ग का अनिश्चितता सिद्धान्त: इस सिद्धान्त के अनुसार, किसी कण के स्थान (position) और संवेग (momentum) को एक साथ पूर्ण यथार्थता से मापना असंभव है। स्थान में अनिश्चितता (Δx) और संवेग में अनिश्चितता (Δp) का गुणनफल हमेशा h/4π से अधिक या बराबर होता है।

गणितीय रूप: Δx · Δp ≥ h/4π

जहाँ h = प्लांक स्थिरांक (6.63 × 10⁻³⁴ Js) है।

शीतलक का कार्य: नाभिकीय भट्टी (नाभिकीय रिएक्टर) में शीतलक का मुख्य कार्य नाभिकीय विखंडन के दौरान उत्पन्न अत्यधिक ऊष्मा को अवशोषित करना और इसे रिएक्टर कोर से बाहर निकालना है। यह ऊष्मा आगे चलकर भाप बनाने और टरबाइन चलाकर विद्युत उत्पादन में उपयोग होती है। सामान्य शीतलकों में पानी, भारी जल (D₂O), और गैस (जैसे हीलियम) शामिल हैं।

XOR गेट का प्रतीक:

    A ──╮
        ╰──[=1]── Y = A ⊕ B
    B ──╯

जहाँ A और B इनपुट हैं, और Y आउटपुट है। XOR गेट का आउटपुट तब 1 (उच्च) होता है जब इनपुट भिन्न होते हैं (एक 0 और दूसरा 1)।

संचार तन्त्र का ब्लॉक आरेख:

[सूचना स्रोत] → [प्रेषक (ट्रांसमीटर)] → [संचार माध्यम (चैनल)] → [ग्राही (रिसीवर)] → [गंतव्य]

व्याख्या:

• सूचना स्रोत: संदेश उत्पन्न करता है (जैसे माइक्रोफोन, कैमरा)।
• प्रेषक: संदेश को संचार माध्यम के लिए उपयुक्त संकेत में बदलता है (मॉड्यूलेशन, प्रवर्धन)।
• संचार माध्यम: संकेत को प्रेषक से ग्राही तक पहुँचाता है (जैसे तार, ऑप्टिकल फाइबर, वायु)।
• ग्राही: संकेत को वापस मूल संदेश में बदलता है (डिमॉड्यूलेशन, डिकोडिंग)।
• गंतव्य: अंतिम उपयोगकर्ता (जैसे स्पीकर, स्क्रीन)।

नैनो तकनीकी: यह विज्ञान और इंजीनियरिंग की वह शाखा है जो 1 से 100 नैनोमीटर (1 nm = 10⁻⁹ m) के आकार के पदार्थों के अध्ययन, डिजाइन, निर्माण और उपयोग से संबंधित है। इस स्तर पर पदार्थों के भौतिक, रासायनिक और जैविक गुण बदल जाते हैं, जिससे नए अनुप्रयोग संभव होते हैं, जैसे दवा वितरण, इलेक्ट्रॉनिक्स, और सामग्री विज्ञान।

हल:

दिया गया है:

• वृत्ताकार पथ का व्यास (d) = 0.30 m, अतः त्रिज्या (r) = d/2 = 0.15 m
• रेखीय आवेश घनत्व (λ) = 10⁻⁶ C/m
• इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान (mₑ) = 9.0 × 10⁻³¹ kg
• इलेक्ट्रॉन का आवेश (e) = 1.6 × 10⁻¹⁹ C
• निर्वात की विद्युतशीलता (ε₀) = 8.85 × 10⁻¹² C²/N·m²

चरण 1: अनन्त रेखीय आवेश के कारण दूरी r पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता:

E = λ / (2π ε₀ r)

चरण 2: इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला विद्युत बल (Fₑ):

Fₑ = eE = e × λ / (2π ε₀ r)

चरण 3: यह बल इलेक्ट्रॉन को वृत्ताकार पथ पर घुमाने के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल (centripetal force) प्रदान करता है:

Fₑ = mₑ v² / r

अतः, eλ / (2π ε₀ r) = mₑ v² / r

चरण 4: r को दोनों ओर से काटने पर:

eλ / (2π ε₀) = mₑ v²

चरण 5: इलेक्ट्रॉन की चाल v के लिए हल करने पर:

v² = eλ / (2π ε₀ mₑ)

v = √[ eλ / (2π ε₀ mₑ) ]

चरण 6: मान रखने पर:

v = √[ (1.6 × 10⁻¹⁹ × 10⁻⁶) / (2 × 3.14 × 8.85 × 10⁻¹² × 9.0 × 10⁻³¹) ]

v = √[ 1.6 × 10⁻²⁵ / (2 × 3.14 × 8.85 × 9.0 × 10⁻⁴³) ]

v = √[ 1.6 × 10⁻²⁵ / (500.202 × 10⁻⁴³) ]

v = √[ 1.6 × 10⁻²⁵ / (5.00202 × 10⁻⁴¹) ]

v = √[ 0.3198 × 10¹⁶ ]

v = √[ 3.198 × 10¹⁵ ]

v ≈ 5.655 × 10⁷ m/s

अतः इलेक्ट्रॉन की चाल लगभग 5.66 × 10⁷ m/s है।

हल:

दिया गया है:

• वोल्टता (V) = 30 V
• कुल धारा (I) = 7.5 A
• प्रतिरोध R₁ = 0 Ω (शून्य प्रतिरोध, अर्थात् लघुपथ)
• प्रतिरोध R₂ = 2 Ω
• तीसरा प्रतिरोध = R₃ (ज्ञात करना है)

समानांतर संयोजन में कुल प्रतिरोध (R_p) का सूत्र:

1/R_p = 1/R₁ + 1/R₂ + 1/R₃

चूँकि R₁ = 0 Ω, 1/R₁ = ∞, अतः कुल प्रतिरोध शून्य होगा। परंतु यह व्यावहारिक नहीं है। प्रश्न में संभवतः R₁ = 0 Ω नहीं है। मान लेते हैं कि R₁ = 0 Ω नहीं, बल्कि कोई अन्य मान है। परंतु दिए गए आंकड़ों के अनुसार:

ओम के नियम से: R_p = V/I = 30 V / 7.5 A = 4 Ω

अब, 1/R_p = 1/R₁ + 1/R₂ + 1/R₃

⇒ 1/4 = 1/0 + 1/2 + 1/R₃

यहाँ 1/0 अपरिभाषित है। अतः प्रश्न में त्रुटि है। यदि R₁ = 0 Ω न होकर कोई अन्य मान हो, तो हल संभव है। मान लेते हैं कि R₁ = 0 Ω नहीं है, बल्कि प्रश्न में दिए गए मानों को सही मानते हुए:

यदि R₁ = 0 Ω हो, तो वह लघुपथ होगा और सारी धारा उसी से प्रवाहित होगी, जिससे कुल प्रतिरोध शून्य होगा, जो कि 4 Ω के बराबर नहीं है। अतः प्रश्न में असंगति है।

सही उत्तर: प्रश्न में दिए गए मानों में त्रुटि है। यदि R₁ = 0 Ω न होकर कोई अन्य मान हो, तो तीसरे प्रतिरोध का मान ज्ञात किया जा सकता है।

उत्तर:

किरखॉफ का द्वितीय नियम (वोल्टता नियम): किसी बंद लूप में सभी विद्युत वाहक बलों (emf) तथा विभव पतनों (IR) का बीजगणितीय योग शून्य होता है।

गणितीय रूप: Σ E + Σ IR = 0

Kirchhoff’s second law (Voltage law): The algebraic sum of all electromotive forces (emf) and potential drops (IR) in a closed loop is zero.

उत्तर:

विभवमापी द्वारा दो सेलों के emf की तुलना का परिपथ चित्र:

        +---[R]---+
        |         |
   [Battery]    [Key]
        |         |
        +----+----+
             |
          [AB] (विभवमापी तार)
             |
        +----+----+
        |         |
      [G]       [K]
        |         |
   +----+----+   |
   |         |   |
 [E1]      [E2]  |
   |         |   |
   +----+----+---+
        |
      [J] (जॉकी)
  

व्याख्या: विभवमापी के तार AB पर एक स्थायी धारा प्रवाहित की जाती है। सेल E₁ और E₂ को एक द्विमार्गी कुंजी (K) के माध्यम से जोड़ा जाता है। जॉकी (J) को तार पर सरकाकर शून्य विक्षेप बिंदु ज्ञात किया जाता है। माना E₁ के लिए संतुलन लंबाई l₁ और E₂ के लिए l₂ है, तो E₁/E₂ = l₁/l₂.

उत्तर:

दो चुम्बकीय आघूर्णों M₁ और M₂ के बीच कोण θ होने पर परिणामी चुम्बकीय आघूर्ण (M) का मान:

M = √(M₁² + M₂² + 2 M₁ M₂ cos θ)

यह सदिश योग के नियम पर आधारित है।

उत्तर:

नर्म लोहे का उपयोग विद्युत चुम्बक बनाने में निम्नलिखित कारणों से किया जाता है:

• उच्च चुम्बकीय पारगम्यता: नर्म लोहे की चुम्बकीय पारगम्यता अधिक होती है, जिससे यह आसानी से चुम्बकित हो जाता है और चुम्बकीय क्षेत्र को प्रबल बनाता है।
• निम्न धारणशीलता: नर्म लोहे में चुम्बकत्व धारण करने की क्षमता कम होती है, अर्थात् जैसे ही विद्युत धारा बंद की जाती है, यह शीघ्र ही अपना चुम्बकत्व खो देता है। यह विद्युत चुम्बक के लिए आवश्यक है ताकि इसे चालू/बंद किया जा सके।
• कम शैथिल्य हानि: नर्म लोहे में चुम्बकीय शैथिल्य हानि कम होती है, जिससे ऊर्जा की बचत होती है।

Solution:

Lens maker's formula: \(\frac{1}{f} = (n_{lg} - 1)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)\)

In air: \(n_{lg} = \frac{n_g}{n_{air}} = \frac{3/2}{1} = 1.5\)

\(\frac{1}{25} = (1.5 - 1)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) = 0.5 \times K\) where \(K = \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)\)

So, \(K = \frac{1}{25 \times 0.5} = \frac{1}{12.5}\)

In water: \(n_{lg} = \frac{n_g}{n_w} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{3}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{8} = 1.125\)

\(\frac{1}{f_w} = (1.125 - 1) \times K = 0.125 \times \frac{1}{12.5} = \frac{0.125}{12.5} = \frac{1}{100}\)

Therefore, \(f_w = 100\) cm.

Answer: The focal length of the lens in water is 100 cm.

Answer:

1. Nature of sources: Interference occurs due to superposition of light from two coherent sources, while diffraction occurs due to superposition of secondary wavelets from different parts of the same wavefront (single source).
2. Fringe pattern: In interference, all fringes are of equal width and intensity. In diffraction, the central maximum is brightest and widest, with intensity decreasing rapidly for secondary maxima.

Answer:

1. Threshold frequency: Wave theory predicts that photoemission should occur for any frequency of light if intensity is sufficient, but experimentally, no emission occurs below a certain threshold frequency, regardless of intensity.
2. Instantaneous emission: Wave theory suggests a time lag between light incidence and electron emission (to accumulate energy), but experimentally, emission is instantaneous (within 10^-9 s) even for very low intensity light.

Solution:

Power factor, \(\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (\omega L)^2}}\)

At 50 Hz: \(\cos \phi_1 = 0.707 = \frac{1}{\sqrt{2}}\)

So, \(\frac{R}{\sqrt{R^2 + (2\pi \times 50 \times L)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\)

Squaring both sides: \(\frac{R^2}{R^2 + (100\pi L)^2} = \frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow 2R^2 = R^2 + (100\pi L)^2\)

\(\Rightarrow R^2 = (100\pi L)^2\)

\(\Rightarrow R = 100\pi L\)

When frequency is doubled to 100 Hz: \(\omega' = 2 \times 2\pi \times 50 = 200\pi\)

\(\cos \phi_2 = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (200\pi L)^2}} = \frac{100\pi L}{\sqrt{(100\pi L)^2 + (200\pi L)^2}}\)

\(= \frac{100\pi L}{\sqrt{(100\pi L)^2 + 4(100\pi L)^2}} = \frac{100\pi L}{\sqrt{5}(100\pi L)} = \frac{1}{\sqrt{5}} = 0.447\)

Answer: The power factor becomes 0.447.

Solution:

Given: V = 50 sin 314t, I = 10 sin (314t + π/3)

Phase difference between voltage and current: \(\phi = \pi/3\) (current leads voltage)

(i) Wattless current = I_rms sin φ

I₀ = 10 A, so I_rms = I₀/√2 = 10/√2 = 5√2 A

Wattless current = (5√2) × sin(π/3) = 5√2 × (√3/2) = (5√6)/2 ≈ 6.12 A

(ii) RMS voltage = V₀/√2 = 50/√2 = 25√2 ≈ 35.36 V

Answer: (i) Wattless current = (5√6)/2 A ≈ 6.12 A, (ii) RMS voltage = 25√2 V ≈ 35.36 V.

Solution:

Power factor (cos φ) = R / Z, where Z = √(R² + (ωL)²) and ω = 2πf.

At f = 50 Hz, cos φ₁ = 0.707 = 1/√2. This implies R = ωL (since cos φ = 1/√2 when R = ωL).

So, ωL = 2π × 50 × L = R.

When frequency is doubled, f' = 100 Hz, so ω' = 2π × 100 = 2ω.

New impedance Z' = √(R² + (ω'L)²) = √(R² + (2ωL)²) = √(R² + 4R²) = √(5R²) = R√5.

New power factor cos φ₂ = R / Z' = R / (R√5) = 1/√5 ≈ 0.447.

Answer: The power factor becomes approximately 0.447.

Solution:

Given: V = 50 sin 314t V, I = 10 sin (314t + π/4) A.

Peak voltage V₀ = 50 V, peak current I₀ = 10 A, phase difference φ = π/4 (current leads voltage).

(i) Wattless current = I₀ sin φ = 10 × sin(π/4) = 10 × (1/√2) = 10/√2 = 5√2 ≈ 7.07 A.

(ii) RMS voltage V_rms = V₀ / √2 = 50 / √2 = 25√2 ≈ 35.36 V.

Answer: (i) Wattless current = 5√2 A (≈ 7.07 A), (ii) RMS voltage = 25√2 V (≈ 35.36 V).

Solution:

Starting nucleus: ²³⁵₉₂D (atomic number Z = 92, mass number A = 235).

• α decay: emits α particle (⁴₂He). Z decreases by 2, A decreases by 4.
  D₁: Z = 90, A = 231.
• β decay: emits β⁻ particle (⁰₋₁e). Z increases by 1, A unchanged.
  D₂: Z = 91, A = 231.
• α decay: Z decreases by 2, A decreases by 4.
  D₃: Z = 89, A = 227.
• β decay: Z increases by 1, A unchanged.
  D₄: Z = 90, A = 227.
• γ decay: no change in Z or A (only energy emission).
  D₅: Z = 90, A = 227.

Answer: D₅ has atomic number 90 and mass number 227.

Answer:

Intrinsic semiconductor: A pure semiconductor with no impurities added. Its electrical conductivity depends only on temperature. Example: Pure Silicon (Si) or Pure Germanium (Ge).

Extrinsic semiconductor: A semiconductor doped with a small amount of impurity to increase its conductivity. It is of two types: n-type (doped with pentavalent atoms like Phosphorus) and p-type (doped with trivalent atoms like Boron). Example: Silicon doped with Arsenic (n-type) or Silicon doped with Indium (p-type).

Solution:

Given: Maximum amplitude A_max = 10 V, Minimum amplitude A_min = 2 V.

Modulation index (m) = (A_max - A_min) / (A_max + A_min)

= (10 - 2) / (10 + 2) = 8 / 12 = 2/3 ≈ 0.667.

Answer: The modulation index is 2/3 (≈ 0.667).

व्यंजक प्राप्त करना:

मान लीजिए एक आयताकार कुंडली जिसमें N फेरे हैं, एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र B में कोणीय वेग ω से घूर्णन कर रही है। कुंडली का क्षेत्रफल A है।

प्रारम्भ में कुंडली का तल चुम्बकीय क्षेत्र के लम्बवत् है। किसी समय t पर, कुंडली के तल का अभिलम्ब चुम्बकीय क्षेत्र से कोण θ = ωt बनाता है।

कुंडली से सम्बद्ध चुम्बकीय फ्लक्स: Φ = NBA cos θ = NBA cos ωt

फैराडे के नियम से प्रेरित विद्युत वाहक बल: e = -dΦ/dt = -d(NBA cos ωt)/dt = NBA ω sin ωt

अतः e = e₀ sin ωt, जहाँ e₀ = NBA ω (अधिकतम प्रेरित विद्युत वाहक बल)

e-t आरेख:

यह एक ज्यावक्रीय (sinusoidal) वक्र होता है। समय t के साथ e का मान sin ωt के अनुसार बदलता है। प्रारम्भ में (t=0) e=0, फिर बढ़कर t=T/4 पर अधिकतम e₀ होता है, t=T/2 पर पुनः शून्य, t=3T/4 पर -e₀ (न्यूनतम), और t=T पर पुनः शून्य। यह चक्र दोहराता है।

व्याख्या:

दे-ब्रॉग्ली परिकल्पना के अनुसार, गतिशील इलेक्ट्रॉन एक तरंग की तरह व्यवहार करता है जिसकी तरंगदैर्ध्य λ = h/p होती है, जहाँ h प्लांक नियतांक और p संवेग है।

बोर के द्वितीय अभिगृहीत (कोणीय संवेग क्वाण्टीकरण) के अनुसार, इलेक्ट्रॉन केवल उन्हीं कक्षाओं में घूम सकता है जहाँ इसका कोणीय संवेग mvr = nh/2π होता है (n = 1, 2, 3, ...)।

दे-ब्रॉग्ली के अनुसार, स्थायी कक्षा में इलेक्ट्रॉन की तरंग को अप्रगामी तरंग बनाना चाहिए। इसके लिए कक्षा की परिधि (2πr) तरंगदैर्ध्य λ का पूर्ण गुणज होनी चाहिए:

2πr = nλ = n(h/p) = n(h/mv)

⇒ mvr = nh/2π

यह बोर के द्वितीय अभिगृहीत के समान है। अतः दे-ब्रॉग्ली परिकल्पना बोर के द्वितीय अभिगृहीत की व्याख्या करती है।

n = 3 के लिए अप्रगामी तरंग प्रतिरूप:

n=3 के लिए, कक्षा की परिधि पर तीन तरंगदैर्ध्य फिट होते हैं। अतः अप्रगामी तरंग में तीन पूर्ण लूप होंगे।

P-N संधि डायोड: यह एक अर्धचालक युक्ति है जिसमें P-प्रकार और N-प्रकार के अर्धचालकों को एक साथ जोड़ा जाता है। यह केवल एक दिशा में धारा प्रवाहित करता है (अग्र अभिनति में) और दूसरी दिशा में नहीं (पश्च अभिनति में)।

जेनर डायोड वोल्टता नियमन परिपथ:

परिपथ में एक असंगुलित DC स्रोत (Vᵢ), एक श्रेणी प्रतिरोध Rₛ, और जेनर डायोड (Z) भार प्रतिरोध Rₗ के समान्तर जुड़ा होता है। आउटपुट वोल्टता Vₒ भार प्रतिरोध के सिरों पर ली जाती है।

कार्यविधि:

जेनर डायोड पश्च अभिनति में कार्य करता है। जब इनपुट वोल्टता Vᵢ बदलती है, तो जेनर डायोड अपने भंजक वोल्टता (Vz) पर स्थिर वोल्टता बनाए रखता है। यदि Vᵢ बढ़ता है, तो डायोड के माध्यम से अतिरिक्त धारा प्रवाहित होती है, जिससे Rₛ पर वोल्टता पात बढ़ जाता है और आउटपुट वोल्टता स्थिर रहती है। यदि Vᵢ घटता है, तो डायोड धारा घटती है, Rₛ पर पात घटता है, और आउटपुट फिर से स्थिर रहता है। इस प्रकार जेनर डायोड भार पर स्थिर वोल्टता बनाए रखता है।

प्रवर्धन: प्रवर्धन वह प्रक्रिया है जिसमें किसी कमजोर विद्युत संकेत (इनपुट) के आयाम को बढ़ाकर एक प्रबल संकेत (आउटपुट) प्राप्त किया जाता है। यह ट्रांजिस्टर जैसे सक्रिय अवयवों द्वारा किया जाता है।

NPN ट्रांजिस्टर उभयनिष्ठ उत्सर्जक प्रवर्धक परिपथ:

परिपथ में NPN ट्रांजिस्टर का उत्सर्जक (E) उभयनिष्ठ (भू-सम्पर्कित) होता है। आधार (B) पर इनपुट संकेत (Vᵢ) एक संधारित्र C₁ के माध्यम से दिया जाता है। संग्राहक (C) से आउटपुट (Vₒ) एक संधारित्र C₂ के माध्यम से लिया जाता है। आधार-उत्सर्जक जंक्शन अग्र अभिनत (VBB) और संग्राहक-आधार जंक्शन पश्च अभिनत (VCC) होता है। Rₑ और Rₗ क्रमशः उत्सर्जक और संग्राहक प्रतिरोध हैं।

कार्यविधि:

जब इनपुट संकेत Vᵢ आधार पर लगाया जाता है, तो यह आधार धारा Iₐ में परिवर्तन उत्पन्न करता है। ट्रांजिस्टर के धारा प्रवर्धन गुणांक β के कारण, संग्राहक धारा Iₑ = βIₐ में बहुत बड़ा परिवर्तन होता है। यह संग्राहक धारा संग्राहक प्रतिरोध Rₗ पर वोल्टता पात उत्पन्न करती है। परिणामस्वरूप, आउटपुट वोल्टता Vₒ = IₑRₗ इनपुट संकेत का प्रवर्धित रूप होता है। आउटपुट संकेत इनपुट से 180° कला विपरीत होता है।

विद्युत विभव की परिभाषा: किसी बिन्दु पर विद्युत विभव वह कार्य है जो एकांक धन परीक्षण आवेश को अनन्त से उस बिन्दु तक लाने में किया जाता है। इसे V से व्यक्त करते हैं।

विद्युत द्विध्रुव के कारण विभव का व्यंजक:

माना एक विद्युत द्विध्रुव AB है जिसके आवेश +q और -q हैं तथा द्विध्रुव की लम्बाई 2l है। द्विध्रुव के मध्य बिन्दु O से r दूरी पर एक बिन्दु P है। OP रेखा द्विध्रुव अक्ष से θ कोण बनाती है।

बिन्दु P पर विभव = V_+q + V_-q

V = (1/4πε₀) [q/r₁ - q/r₂]

जहाँ r₁ = AP और r₂ = BP

r₁ ≈ r - l cosθ, r₂ ≈ r + l cosθ (r >> l के लिए)

V = (1/4πε₀) [q/(r - l cosθ) - q/(r + l cosθ)]

V = (1/4πε₀) [q(2l cosθ)/(r² - l² cos²θ)]

r >> l होने पर, r² - l² cos²θ ≈ r²

V = (1/4πε₀) [2ql cosθ/r²]

चूँकि p = 2ql (द्विध्रुव आघूर्ण)

V = (1/4πε₀) [p cosθ/r²]

चित्र: एक विद्युत द्विध्रुव AB, जिसके मध्य बिन्दु O से r दूरी पर बिन्दु P है। OP रेखा द्विध्रुव अक्ष से θ कोण बनाती है।

संधारित्र की परिभाषा: संधारित्र एक ऐसा उपकरण है जो विद्युत आवेश और ऊर्जा को संचित करता है। इसमें दो चालक प्लेटें होती हैं जो एक विद्युतरोधी माध्यम (परावैद्युत) द्वारा पृथक की जाती हैं।

गोलीय संधारित्र की धारिता का व्यंजक:

माना एक गोलीय संधारित्र में त्रिज्या a का आंतरिक गोला और त्रिज्या b का बाह्य गोला है। आंतरिक गोले पर +Q आवेश दिया जाता है।

आंतरिक गोले के पृष्ठ पर विभव: V₁ = (1/4πε₀) (Q/a)

बाह्य गोले के पृष्ठ पर विभव: V₂ = (1/4πε₀) (Q/b)

दोनों गोलों के बीच विभवांतर: V = V₁ - V₂

V = (1/4πε₀) [Q/a - Q/b]

V = (Q/4πε₀) [(b - a)/(ab)]

धारिता C = Q/V = 4πε₀ [ab/(b - a)]

C = 4πε₀ [ab/(b - a)]

चित्र: दो संकेंद्री गोले, आंतरिक त्रिज्या a और बाह्य त्रिज्या b। आंतरिक गोला +Q आवेश से आवेशित है।

संरचना: निलम्बित कुण्डली धारामापी में निम्नलिखित भाग होते हैं:

• स्थायी चुम्बक: शक्तिशाली अश्वनालाकार चुम्बक जो एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है।
• कुण्डली: ताँबे के तार की आयताकार कुण्डली जो एक नर्म लोहे के क्रोड पर लपेटी जाती है।
• निलम्बन तार: कुण्डली को एक पतले फॉस्फर ब्रॉन्ज के तार से लटकाया जाता है।
• दर्पण: निलम्बन तार पर एक हल्का दर्पण लगा होता है जो विक्षेप मापने में सहायक होता है।
• पैमाना: दर्पण से परावर्तित प्रकाश किरण को पैमाने पर पढ़ा जाता है।

सिद्ध करना: I ∝ θ

जब कुण्डली में धारा I प्रवाहित होती है, तो उस पर बल आघूर्ण τ = nBIA cosθ (जहाँ n फेरों की संख्या, B चुम्बकीय क्षेत्र, A क्षेत्रफल) लगता है।

प्रारंभ में कुण्डली चुम्बकीय क्षेत्र के लंबवत होती है, अतः τ = nBIA

इस बल आघूर्ण के कारण कुण्डली में विक्षेप θ उत्पन्न होता है।

निलम्बन तार में प्रत्यानयन बल आघूर्ण τ' = Cθ (जहाँ C ऐंठन स्थिरांक) उत्पन्न होता है।

साम्यावस्था में: τ = τ'

nBIA = Cθ

I = (C/nBA) θ

चूँकि C, n, B, A स्थिरांक हैं, अतः I ∝ θ

अतः धारामापी की कुण्डली में प्रवाहित धारा विक्षेप के अनुक्रमानुपाती होती है।

नामांकित चित्र: स्थायी चुम्बक, कुण्डली, निलम्बन तार, दर्पण, नर्म लोहे का क्रोड, पैमाना दर्शाता हुआ चित्र।

हैल्महोल्ट्ज कुण्डलियाँ: ये दो समान वृत्ताकार कुण्डलियाँ होती हैं जिनकी त्रिज्या R होती है और ये एक-दूसरे से R दूरी पर समाक्षीय रूप से रखी जाती हैं। इनमें समान धारा I एक ही दिशा में प्रवाहित की जाती है। इनके मध्य बिन्दु पर एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र प्राप्त होता है।

सिद्ध करना:

एक वृत्ताकार कुण्डली के केन्द्र पर चुम्बकीय क्षेत्र: B₀ = μ₀I/2R

दोनों कुण्डलियों के मध्य बिन्दु O पर, प्रत्येक कुण्डली से दूरी R/2 होती है।

एक कुण्डली के कारण अक्ष पर x दूरी पर चुम्बकीय क्षेत्र: B = (μ₀IR²)/[2(R² + x²)^(3/2)]

मध्य बिन्दु O पर x = R/2

B₁ = (μ₀IR²)/[2(R² + (R/2)²)^(3/2)]

B₁ = (μ₀IR²)/[2(R² + R²/4)^(3/2)]

B₁ = (μ₀IR²)/[2(5R²/4)^(3/2)]

B₁ = (μ₀IR²)/[2 × (5^(3/2)R³/8)]

B₁ = (μ₀I × 8)/(2 × 5^(3/2) × R)

B₁ = (4μ₀I)/(5^(3/2)R)

दोनों कुण्डलियों के कारण कुल क्षेत्र: B = 2B₁ = (8μ₀I)/(5^(3/2)R)

B = (8μ₀I)/(5√5 R)

अब B₀ = μ₀I/2R

B/B₀ = [(8μ₀I)/(5√5 R)] / [μ₀I/2R]

B/B₀ = (8 × 2)/(5√5) = 16/(5√5)

B/B₀ = 16/(5 × 2.236) = 16/11.18 ≈ 1.432

B = 1.432 B₀

अतः हैल्महोल्ट्ज कुण्डली में प्राप्त एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र प्रत्येक कुण्डली द्वारा इसके केन्द्र पर उत्पन्न चुम्बकीय क्षेत्र का 1.432 गुना होता है।

आरेख: दो समाक्षीय वृत्ताकार कुण्डलियाँ, त्रिज्या R, दूरी R, मध्य बिन्दु O पर चुम्बकीय क्षेत्र की दिशा दर्शाता हुआ चित्र।

खंड 1: जरा दृष्टि दोष (Presbyopia)

जरा दृष्टि दोष (Presbyopia): यह एक ऐसा दृष्टि दोष है जो सामान्यतः 40-45 वर्ष की आयु के बाद होता है। इसमें आँख के क्रिस्टलीय लेंस की लोच कम हो जाती है और पास की वस्तुओं को स्पष्ट देखने की क्षमता क्षीण हो जाती है। इस दोष में निकट बिंदु दूर हट जाता है।

कारण: आँख के लेंस का कठोर हो जाना और सिलियरी पेशियों की कार्यक्षमता में कमी।

निवारण: उत्तल लेंस (Convex lens) का उपयोग करके इस दोष को दूर किया जाता है।

खंड 2: परावर्तक दूरदर्शी (Reflecting Telescope)

बनावट (Construction): परावर्तक दूरदर्शी में निम्नलिखित भाग होते हैं:

• अभिदृश्यक (Objective): यह एक बड़ा अवतल दर्पण (Parabolic concave mirror) होता है जो दूर की वस्तु से आने वाली प्रकाश किरणों को एकत्र करता है।
• द्वितीयक दर्पण (Secondary mirror): यह एक छोटा समतल या उत्तल दर्पण होता है जो अभिदृश्यक द्वारा परावर्तित प्रकाश को नेत्रिका की ओर मोड़ता है।
• नेत्रिका (Eyepiece): यह एक छोटा उत्तल लेंस होता है जिससे प्रतिबिंब को देखा जाता है।

कार्यविधि (Working): दूर की वस्तु से आने वाली समांतर प्रकाश किरणें अभिदृश्यक (अवतल दर्पण) पर पड़ती हैं। दर्पण इन किरणों को परावर्तित करके अपने फोकस पर एक वास्तविक, उल्टा और छोटा प्रतिबिंब बनाता है। यह प्रतिबिंब द्वितीयक दर्पण द्वारा नेत्रिका की ओर मोड़ दिया जाता है। नेत्रिका इस प्रतिबिंब को बड़ा करके आभासी प्रतिबिंब बनाती है जिसे आँख द्वारा देखा जाता है।

लाभ: इसमें वर्ण विपथन (Chromatic aberration) नहीं होता, बड़ा द्वारक (Aperture) संभव है, और अधिक प्रकाश एकत्र कर सकता है।

आवश्यक किरण चित्र:

[यहाँ एक किरण चित्र होना चाहिए जिसमें दूर की वस्तु से आती समांतर किरणें अवतल दर्पण (अभिदृश्यक) पर पड़ती हैं, परावर्तित होकर फोकस पर प्रतिबिंब बनाती हैं, फिर द्वितीयक दर्पण द्वारा नेत्रिका की ओर मोड़ी जाती हैं, और नेत्रिका से निकलकर आँख तक पहुँचती हैं।]

वैकल्पिक खंड: तरंगाग्र एवं हाइगेन्स सिद्धान्त

तरंगाग्र (Wave front):

किसी तरंग स्रोत से उत्पन्न तरंगों में, उन सभी बिंदुओं का बिंदुपथ जो एक ही कला (Phase) में कंपन कर रहे हों, तरंगाग्र कहलाता है। उदाहरण के लिए, जल में फेंके गए पत्थर से उत्पन्न वृत्ताकार तरंगों का अग्रभाग।

तरंगाग्र के प्रकार:

• गोलीय तरंगाग्र (Spherical wave front): जब स्रोत बिंदु आकार का हो।
• समतल तरंगाग्र (Plane wave front): जब स्रोत बहुत दूर हो (जैसे सूर्य से आने वाला प्रकाश)।
• बेलनाकार तरंगाग्र (Cylindrical wave front): जब स्रोत रेखीय हो।

हाइगेन्स के तरंग सिद्धान्त के आधार पर अपवर्तन के नियम:

हाइगेन्स का सिद्धान्त: तरंगाग्र का प्रत्येक बिंदु द्वितीयक तरंगिकाओं (Secondary wavelets) का स्रोत होता है, और ये तरंगिकाएँ उस माध्यम में तरंग के वेग से सभी दिशाओं में फैलती हैं। इन द्वितीयक तरंगिकाओं की स्पर्श रेखा (Envelope) नए तरंगाग्र का निर्माण करती है।

अपवर्तन के नियमों की व्याख्या:

मान लीजिए एक समतल तरंगाग्र AB विरल माध्यम (1) से सघन माध्यम (2) में पृष्ठ XY पर तिरछा आपतित होता है। माना माध्यम 1 में प्रकाश का वेग v₁ और माध्यम 2 में v₂ है (v₁ > v₂)।

• जब तरंगाग्र का बिंदु A पृष्ठ पर पहुँचता है, तो बिंदु B को अभी भी पृष्ठ तक पहुँचने में समय t लगता है।
• इस समय t में, बिंदु A से द्वितीयक तरंगिका माध्यम 2 में v₂t दूरी तय करती है।
• इसी समय में, बिंदु B से द्वितीयक तरंगिका माध्यम 1 में v₁t दूरी तय करती है।
• नए तरंगाग्र की स्थिति A'B' होगी, जहाँ A' वह बिंदु है जहाँ A से उत्पन्न तरंगिका पहुँची है, और B' वह बिंदु है जहाँ B से उत्पन्न तरंगिका पहुँची है।

अपवर्तन का प्रथम नियम: आपतित किरण, अपवर्तित किरण और अभिलंब एक ही तल में होते हैं। यह हाइगेन्स सिद्धान्त से स्पष्ट है क्योंकि तरंगाग्र और किरणें एक ही तल में होती हैं।

अपवर्तन का द्वितीय नियम (स्नेल का नियम):

त्रिभुज ABB' और AA'B' से:

sin i = (BB') / (AB') = (v₁t) / (AB')

sin r = (AA') / (AB') = (v₂t) / (AB')

अतः, sin i / sin r = v₁ / v₂ = स्थिरांक (n₂₁, जहाँ n₂₁ माध्यम 2 का माध्यम 1 के सापेक्ष अपवर्तनांक है)।

यही स्नेल का नियम है।

आवश्यक किरण चित्र:

[यहाँ एक किरण चित्र होना चाहिए जिसमें दो माध्यमों का पृष्ठ XY दिखाया गया हो, आपतित तरंगाग्र AB, अपवर्तित तरंगाग्र A'B', आपतन कोण i और अपवर्तन कोण r अंकित हों।]