RBSE Class 12th 2026 HALF-YEARLY-MATHEMATICS-1204 Previous Year Papers

खण्ड-अ / Section-A

वस्तुनिष्ठ प्रश्न / Multiple Choice Questions

1. यदि cos⁻¹x = y हो, तो -

   • (A) 0 ≤ y ≤ π
   • (B) 0 ≤ y ≤ π
   • (C) -π/2 ≤ y ≤ π/2
   • (D) -π < y < π

   सही उत्तर: (A) 0 ≤ y ≤ π

   स्पष्टीकरण: cos⁻¹x का मुख्य मान शाखा [0, π] में होता है।

2. यदि आव्यूह A = [aᵢⱼ]ₘₓₙ एक वर्ग आव्यूह है, तब -

   • (A) m > n
   • (B) m = n
   • (C) m < n
   • (D) इनमें से कोई नहीं

   सही उत्तर: (B) m = n

   स्पष्टीकरण: वर्ग आव्यूह में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान होती है, अतः m = n.

3. यदि [x 2] = [7 -2] हो, तो x बराबर है -

   • (A) 6
   • (B) -6
   • (C) -8
   • (D) 0

   सही उत्तर: (A) 6

   स्पष्टीकरण: आव्यूह समानता के अनुसार, संगत अवयव समान होते हैं। अतः x = 7 - 1 = 6.

खण्ड (ब) / Section (B)

4. यदि \(x^y = e^{x-y}\), तो \(\frac{dy}{dx} =\)

   • (A) \(\frac{\log x}{(1+\log x)^2}\)
   • (B) \(\frac{1}{(1+\log x)^2}\)
   • (C) \(\frac{\log x}{(1+\log x)^2}\)
   • (D) \(\frac{1}{1+\log x}\)

   Explanation: Taking log on both sides, \(y \log x = x - y\). Then \(y = \frac{x}{1+\log x}\). Differentiating gives \(\frac{dy}{dx} = \frac{\log x}{(1+\log x)^2}\).

5. \(\int (\sin^{-1}x + \cos^{-1}x) \, dx\) बराबर है —

   • (A) \(\frac{\pi}{2}x + c\)
   • (B) \(\frac{\pi}{2}x + c\)
   • (C) \(\frac{\pi}{2}x + c\)
   • (D) \(\frac{\pi}{2}x + c\)

   Explanation: Since \(\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2}\), the integral is \(\frac{\pi}{2}x + c\).

6. y-अक्ष, \(y = \cos x\) एवं \(y = \sin x\), \(0 \le x \le \frac{\pi}{2}\) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है —

   • (A) \(2(\sqrt{2} - 1)\)
   • (B) \(\sqrt{2} - 1\)
   • (C) \(\sqrt{2} + 1\)
   • (D) \(\sqrt{2}\)

   Explanation: Area = \(\int_0^{\pi/4} (\cos x - \sin x) \, dx = [\sin x + \cos x]_0^{\pi/4} = \sqrt{2} - 1\).

7. अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx} + y \tan x = \cos x\) का समाकल गुणक होगा —

   • (A) \(\sin x\)
   • (B) \(-\cos x\)
   • (C) \(\sec x\)
   • (D) \(e^x\)

   Explanation: Integrating factor = \(e^{\int \tan x \, dx} = e^{\log \sec x} = \sec x\).

8. दो रेखाओं के परस्पर लम्बवत् होने का प्रतिबंध है —

   • (A) \(a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0\)
   • (B) \(a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 1\)
   • (C) \(a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = -1\)
   • (D) \(a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0\)

   Explanation: For perpendicular lines with direction ratios \((a_1,b_1,c_1)\) and \((a_2,b_2,c_2)\), the condition is \(a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0\).

9. यदि \(\vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}\) है, तो \(\vec{a} \cdot \hat{j}\) बराबर है —

   • (A) \(a_1\)
   • (B) \(a_2\)
   • (C) \(a_3 - a_1\)
   • (D) \(a_1 + a_3\)

   Explanation: \(\vec{a} \cdot \hat{j} = a_2\) because \(\hat{i}\cdot\hat{j}=0\), \(\hat{j}\cdot\hat{j}=1\), \(\hat{k}\cdot\hat{j}=0\).

10. अंतराल \((-2, 2)\) में फलन \(f(x) = x^2 - x + 1\) है —

    • (A) वर्धमान (Increasing)
    • (B) हासमान (Decreasing)
    • (C) न तो वर्धमान न ही हासमान (Neither increasing nor decreasing)
    • (D) इनमें से कोई नहीं (None of these)

    Explanation: \(f'(x) = 2x - 1\). In \((-2,2)\), \(f'(x) > 0\) for \(x > 0.5\) and \(f'(x) < 0\) for \(x < 0.5\), so it is neither purely increasing nor decreasing.

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए / Fill in the blanks

1. \(\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma =\) 1

   Solution: For direction cosines, \(\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1\).

2. अवकल समीकरण \(\frac{d^2y}{dx^2} + 3\frac{dy}{dx} + 5 = 0\) की घात 1 है।

   Solution: The highest order derivative is \(\frac{d^2y}{dx^2}\) with power 1, so degree is 1.

3. \(\int \cos 3x \, dx =\) \(\frac{1}{3}\sin 3x + c\)

   Solution: \(\int \cos 3x \, dx = \frac{1}{3}\sin 3x + c\).

4. सदिश \(3\hat{i} + 4\hat{j} - 3\hat{k}\) का परिमाण \(\sqrt{34}\) है।

   Solution: Magnitude = \(\sqrt{3^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{9+16+9} = \sqrt{34}\).

5. यदि \(f(x) = 5x + 3\), तो \(f(-3) =\) -12

   Solution: \(f(-3) = 5(-3) + 3 = -15 + 3 = -12\).

6. \(\frac{d}{dx} \tan^{-1} \left(\frac{y}{x}\right)\) का मान \(\frac{x\frac{dy}{dx} - y}{x^2 + y^2}\) होगा।

   Solution: \(\frac{d}{dx} \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{1+(y/x)^2} \cdot \frac{x\frac{dy}{dx} - y}{x^2} = \frac{x\frac{dy}{dx} - y}{x^2 + y^2}\).

Very Short Answer Type Questions

1. यदि A = [3 5; 2 1] हो, तो A⁻¹ ज्ञात कीजिए।
   If A = [3 5; 2 1], then find A⁻¹.

   दिया है: A = [3 5; 2 1]

   |A| = (3×1) - (5×2) = 3 - 10 = -7

   adj A = [1 -5; -2 3]

   A⁻¹ = adj A / |A| = [1 -5; -2 3] / (-7) = [-1/7 5/7; 2/7 -3/7]

2. सारणिक |2 3; 2 4; 3 6 -5| का मान ज्ञात कीजिए।
   Find the value of determinant |2 3; 2 4; 3 6 -5|.

   सारणिक = 2(4×(-5) - 2×6) - 3(2×(-5) - 2×3) + 0(2×6 - 4×3)

   = 2(-20 - 12) - 3(-10 - 6) + 0

   = 2(-32) - 3(-16)

   = -64 + 48 = -16

3. फलन f(x) = cos x, x ∈ R किस अंतराल में वर्धमान है?
   Function f(x) = cos x, x ∈ R is increasing in which interval?

   f'(x) = -sin x

   f(x) वर्धमान होगा जब f'(x) > 0, अर्थात -sin x > 0 या sin x < 0

   sin x < 0 अंतराल (π, 2π) में होता है।

   अतः f(x) = cos x अंतराल (π, 2π) में वर्धमान है।

4. cos(√x) का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए।
   Differentiate cos(√x) with respect to x.

   माना y = cos(√x)

   dy/dx = -sin(√x) × d(√x)/dx

   = -sin(√x) × (1/(2√x))

   = -sin(√x) / (2√x)

5. यदि y = sin²x, तो dy/dx ज्ञात कीजिए।
   If y = sin²x, then find dy/dx.

   y = sin²x

   dy/dx = 2 sin x × cos x

   = sin 2x

6. ∫(2x² + eˣ) dx का मान ज्ञात कीजिए।
   Find the value of ∫(2x² + eˣ) dx.

   ∫(2x² + eˣ) dx = 2∫x² dx + ∫eˣ dx

   = 2(x³/3) + eˣ + C

   = (2x³/3) + eˣ + C

7. वृत्त के क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर इसकी त्रिज्या के सापेक्ष ज्ञात कीजिए, जबकि r = 3 cm है।
   Find the rate of change of the area of the circle with respect to its radius r, when r = 3 cm.

   वृत्त का क्षेत्रफल A = πr²

   dA/dr = 2πr

   जब r = 3 cm, dA/dr = 2π(3) = 6π cm²/cm

8. परवलय x² = 4ay की नियता का समीकरण लिखिए।
   Find equation of directrix for parabola x² = 4ay.

   परवलय x² = 4ay के लिए, नियता का समीकरण y = -a है।

9. यदि सदिश a = 2i - j + k और b = 3i + j - 3k, तो a·b का मान ज्ञात कीजिए।
   If vector a = 2i - j + k and b = 3i + j - 3k, then find the value of a·b.

   a·b = (2)(3) + (-1)(1) + (1)(-3)

   = 6 - 1 - 3 = 2

10. सदिश i + j का सदिश i + k पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
    Find the projection of vector i + j on vector i + k.

    प्रक्षेप = |(i+j)·(i+k)| / |i+k|

    = |1(1) + 1(0) + 0(1)| / √(1²+0²+1²)

    = 1 / √2

11. दीर्घवृत्त x²/16 + y²/9 = 1 के शीर्षों के निर्देशांक लिखिए।
    Find co-ordinates of vertices of ellipse x²/16 + y²/9 = 1.

    दीर्घवृत्त x²/16 + y²/9 = 1 में, a² = 16, b² = 9

    a = 4, b = 3

    शीर्षों के निर्देशांक: (±4, 0) = (4, 0) और (-4, 0)

12. aˣ का x के सापेक्ष अवकलन ज्ञात कीजिए।
    Find derivative of aˣ with respect to x.

    d(aˣ)/dx = aˣ ln a

Section-C / खण्ड-सी

लघु उत्तरीय प्रश्न - Short Answer Type Questions

13. सिद्ध कीजिए कि f(x) = 2x + 5 द्वारा प्रदत्त फलन f : R → R एकैकी है।
    Show that the function f : R → R given by f(x) = 2x + 5 is injective.

    माना f(x₁) = f(x₂)

    ⇒ 2x₁ + 5 = 2x₂ + 5

    ⇒ 2x₁ = 2x₂

    ⇒ x₁ = x₂

    अतः f एकैकी (injective) फलन है।

14. यदि A = [3 1; 5 7] और B = [1 3; 2 4], तो BA ज्ञात कीजिए।
    Find BA if A = [3 1; 5 7] and B = [1 3; 2 4].

    BA = [1 3; 2 4] × [3 1; 5 7]

    = [(1×3+3×5) (1×1+3×7); (2×3+4×5) (2×1+4×7)]

    = [(3+15) (1+21); (6+20) (2+28)]

    = [18 22; 26 30]

15. यदि [x 2; 3 x] - [x 4; 0 x-2] = [4 2; 3 3], तो x का मान ज्ञात कीजिए।
    If [x 2; 3 x] - [x 4; 0 x-2] = [4 2; 3 3], then find the value of x.

    [x 2; 3 x] - [x 4; 0 x-2] = [x-x 2-4; 3-0 x-(x-2)]

    = [0 -2; 3 2]

    दिया है: [0 -2; 3 2] = [4 2; 3 3]

    यह संभव नहीं है क्योंकि संगत अवयव समान नहीं हैं।

    प्रश्न में त्रुटि प्रतीत होती है।

16. सिद्ध कीजिए कि 2 sin⁻¹(3/5) = tan⁻¹(24/7)
    Prove that 2 sin⁻¹(3/5) = tan⁻¹(24/7)

    माना sin⁻¹(3/5) = θ, तो sin θ = 3/5

    cos θ = √(1 - 9/25) = √(16/25) = 4/5

    tan θ = sin θ/cos θ = (3/5)/(4/5) = 3/4

    अब, 2 sin⁻¹(3/5) = 2θ

    tan 2θ = 2 tan θ / (1 - tan²θ)

    = 2(3/4) / (1 - 9/16)

    = (3/2) / (7/16)

    = (3/2) × (16/7) = 24/7

    अतः 2θ = tan⁻¹(24/7)

    ⇒ 2 sin⁻¹(3/5) = tan⁻¹(24/7)

खण्ड-सी / Section-C

प्र.22

सरलतम रूप में लिखिए: tan⁻¹(√(1+x²) - 1)/x, x ≠ 0

Write the function tan⁻¹(√(1+x²) - 1)/x, x ≠ 0 in simplest form.

प्र.23

log(log x), x > 1 का x के सापेक्ष अवकलज ज्ञात कीजिए।

Find the derivative of log(log x), x > 1 with respect to x.

प्र.24

अंतराल ज्ञात कीजिए जिसमें f(x) = x² + 2x + 5 द्वारा प्रदत्त फलन f वर्धमान है।

Find the interval in which function f given by f(x) = x² + 2x + 5 is increasing.

प्र.25

दीर्घवृत्त x²/a² + y²/b² = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Find the area of the region bounded by ellipse x²/a² + y²/b² = 1.

प्र.26

∫₀^π/2 sin x dx का मान ज्ञात कीजिए।

Find the value of ∫₀^π/2 sin x dx.

प्र.27

एक रेखा का कार्तीय समीकरण (x-5)/3 = (y+4)/7 = (z-6)/2 है। इसका सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।

If Cartesian equation of line is (x-5)/3 = (y+4)/7 = (z-6)/2, find its vector equation.

खण्ड-डी / Section-D

दीर्घ उत्तरात्मक प्रश्न - Long Answer Type Questions

प्र.28

निम्न अवरोधों के अंतर्गत z = 3x + 4y का न्यूनतमीकरण कीजिए —

x + 2y ≤ 8, 3x + 2y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0

Minimize z = 3x + 4y subjected to the following conditions —

x + 2y ≤ 8, 3x + 2y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0.

प्र.29

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष A(1, 2, 2), B(2, 3, 5) और C(1, 5, 5) हैं।

Find area of triangle with vertices A(1, 2, 2), B(2, 3, 5) and C(1, 5, 5).

प्र.30

∫ dx/(x² - 1) का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए।

Integrate ∫ dx/(x² - 1) with respect to x.

प्र.31

ऐसी दो धन संख्याएं x और y ज्ञात कीजिए ताकि x + y = 60 और xy³ उच्चतम हो।

Find two positive numbers x and y such that x + y = 60 and xy³ is maximum.

खण्ड-ई / Section-E

प्र.32

∫₀^π/2 log sin x dx का मान ज्ञात कीजिए।

Find the value of ∫₀^π/2 log sin x dx.

अथवा / OR

प्र.32

∫₀^π/2 √(sin x) / (√(sin x) + √(cos x)) dx का मान ज्ञात कीजिए।

Find the value of ∫₀^π/2 √(sin x) / (√(sin x) + √(cos x)) dx.

प्र.33

रेखाओं (x-1)/2 = (y-2)/3 = (z-3)/4