RBSE Class 12th 2026 MATHEMATICS-SS-15 Previous Year Papers

हल / Solution:

स्वतंत्र घटनाओं के लिए, P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = 0.3 × 0.4 = 0.12

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0.3 + 0.4 − 0.12 = 0.58

सही उत्तर / Correct Answer: A) 0.58

हल / Solution:

एक पासे पर सम अभाज्य संख्या केवल 2 होती है। एक पासे पर 2 आने की प्रायिकता = 1/6

दो पासों पर प्रत्येक पर 2 आने की प्रायिकता = (1/6) × (1/6) = 1/36

सही उत्तर / Correct Answer: C) 1/36

उत्तर / Answer: [−1, 1]

हल / Solution:

सारणिक का प्रसार करने पर:

= 1(3×0 − 0×(−5)) − 2((−1)×0 − 0×4) + 4((−1)×(−5) − 3×4)

= 1(0 − 0) − 2(0 − 0) + 4(5 − 12)

= 0 − 0 + 4(−7) = −28

उत्तर / Answer: −28

हल / Solution:

माना घन का किनारा = x सेमी, आयतन = V = x³

दिया है: dx/dt = 3 cm/s

dV/dt = d(x³)/dt = 3x² (dx/dt) = 3x² × 3 = 9x²

जब x = 10 सेमी, तब dV/dt = 9 × (10)² = 9 × 100 = 900 cm³/s

अतः घन का आयतन 900 cm³/s की दर से बढ़ रहा है।

हल / Solution:

∫(2x³ – 3 cos x + eˣ) dx = 2∫x³ dx – 3∫cos x dx + ∫eˣ dx

= 2(x⁴/4) – 3(sin x) + eˣ + C

= (x⁴/2) – 3 sin x + eˣ + C

हल / Solution:

dy/dx = (1 + y²)/(1 + x²)

⇒ dy/(1 + y²) = dx/(1 + x²)

समाकलन करने पर:

∫dy/(1 + y²) = ∫dx/(1 + x²)

⇒ tan⁻¹ y = tan⁻¹ x + C

⇒ tan⁻¹ y – tan⁻¹ x = C

या tan⁻¹[(y – x)/(1 + xy)] = C

व्यापक हल: tan⁻¹ y – tan⁻¹ x = C

हल / Solution:

सदिश PQ = Q – P = (–1 – 2, –2 – 3, –4 – 0) = (–3, –5, –4)

अतः अभीष्ट सदिश = –3î – 5ĵ – 4k̂

हल / Solution:

A एक 2×2 आव्यूह है और B एक 3×2 आव्यूह है।

AB की परिभाषा के लिए, A के स्तंभों की संख्या (2) और B की पंक्तियों की संख्या (3) बराबर होनी चाहिए, जो यहाँ नहीं है।

अतः AB परिभाषित नहीं है।

हल / Solution:

यह एक विषम-सममित सारणिक है (विकर्ण के सापेक्ष a_ij = –a_ji और विकर्ण के अवयव शून्य हैं)।

विषम-सममित सारणिक का मान सदैव शून्य होता है।

अतः A = 0

हल: \( y = \frac{1}{\sin x} = \csc x \)

\(\frac{dy}{dx} = -\csc x \cot x\)

Solution: \( y = \frac{1}{\sin x} = \csc x \)

\(\frac{dy}{dx} = -\csc x \cot x\)

हल: \(\frac{dy}{dx} = 5e^{5x} - 5e^{-5x}\)

Solution: \(\frac{dy}{dx} = 5e^{5x} - 5e^{-5x}\)

हल: गोले का आयतन \( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \)

\(\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}\)

दिया है: \(\frac{dr}{dt} = 4\) सेमी/से, \( r = 1 \) सेमी

\(\frac{dV}{dt} = 4\pi (1)^2 \times 4 = 16\pi\) सेमी³/से

Solution: Volume of sphere \( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \)

\(\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}\)

Given: \(\frac{dr}{dt} = 4\) cm/s, \( r = 1 \) cm

\(\frac{dV}{dt} = 4\pi (1)^2 \times 4 = 16\pi\) cm³/s

हल: सीमांत आय \( MR = \frac{dR}{dx} = 6x + 26 \)

x = 7 पर, \( MR = 6(7) + 26 = 42 + 26 = 68 \) रुपये

Solution: Marginal revenue \( MR = \frac{dR}{dx} = 6x + 26 \)

At x = 7, \( MR = 6(7) + 26 = 42 + 26 = 68 \) rupees

हल: \( ax - x^2 = -(x^2 - ax) = -\left[(x - \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{4}\right] = \frac{a^2}{4} - (x - \frac{a}{2})^2 \)

\(\int \frac{dx}{\sqrt{ax - x^2}} = \int \frac{dx}{\sqrt{\frac{a^2}{4} - (x - \frac{a}{2})^2}} = \sin^{-1}\left(\frac{x - \frac{a}{2}}{\frac{a}{2}}\right) + C = \sin^{-1}\left(\frac{2x - a}{a}\right) + C\)

Solution: \( ax - x^2 = -(x^2 - ax) = -\left[(x - \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{4}\right] = \frac{a^2}{4} - (x - \frac{a}{2})^2 \)

\(\int \frac{dx}{\sqrt{ax - x^2}} = \int \frac{dx}{\sqrt{\frac{a^2}{4} - (x - \frac{a}{2})^2}} = \sin^{-1}\left(\frac{x - \frac{a}{2}}{\frac{a}{2}}\right) + C = \sin^{-1}\left(\frac{2x - a}{a}\right) + C\)

हल: वृत्त का क्षेत्रफल = \(\pi a^2\) वर्ग इकाई

Solution: Area of circle = \(\pi a^2\) square units

हल: \( y = a \cos x + b \sin x \)

\(\frac{dy}{dx} = -a \sin x + b \cos x\)

\(\frac{d^2y}{dx^2} = -a \cos x - b \sin x = -(a \cos x + b \sin x) = -y\)

अतः \(\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0\) सत्यापित होता है।

Solution: \( y = a \cos x + b \sin x \)

\(\frac{dy}{dx} = -a \sin x + b \cos x\)

\(\frac{d^2y}{dx^2} = -a \cos x - b \sin x = -(a \cos x + b \sin x) = -y\)

Thus \(\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0\) is verified.

हल: माना कोण θ है। सदिशों के अदिश गुणनफल के सूत्र से:

a · b = |a| |b| cos θ

⇒ √6 = 3 × 5 × cos θ

⇒ √6 = 15 cos θ

⇒ cos θ = √6 / 15

⇒ θ = cos^-1(√6 / 15)

अतः अभीष्ट कोण θ = cos^-1(√6 / 15) है।

हल: माना बिंदु A(2, 4, 5) और B(1, 2, 3) हैं।

रेखा AB के दिक्-अनुपात = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁)

= (1 - 2, 2 - 4, 3 - 5) = (-1, -2, -2)

दिक्-अनुपातों का परिमाण = √[(-1)² + (-2)² + (-2)²] = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3

अतः दिक्-कोसाइन = (-1/3, -2/3, -2/3)

अतः अभीष्ट दिक्-कोसाइन (-1/3, -2/3, -2/3) हैं।

हल: दो बच्चों के लिए प्रतिदर्श समष्टि: {BB, BG, GB, GG} (जहाँ B = लड़का, G = लड़की)

माना घटना A = दोनों बच्चे लड़के हैं = {BB}

माना घटना B = कम से कम एक बच्चा लड़का है = {BB, BG, GB}

अभीष्ट प्रायिकता P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

P(A ∩ B) = P({BB}) = 1/4

P(B) = 3/4

⇒ P(A|B) = (1/4) / (3/4) = 1/3

अतः अभीष्ट प्रायिकता 1/3 है।

हल:

स्वतुल्यता: किसी भी वास्तविक संख्या a के लिए, a < a सत्य नहीं है। अतः (a, a) ∉ R. इसलिए R स्वतुल्य नहीं है।

(नोट: प्रश्न में "स्वतुल्य" लिखा है, परंतु वास्तव में यह संबंध स्वतुल्य नहीं है। सही कथन यह है कि R असममित है।)

सममितता: माना (a, b) ∈ R, अर्थात a < b. तब b < a सत्य नहीं है, इसलिए (b, a) ∉ R. अतः R सममित नहीं है।

संक्रामकता: माना (a, b) ∈ R और (b, c) ∈ R, अर्थात a < b और b < c. तब a < c, इसलिए (a, c) ∈ R. अतः R संक्रामक है।

अतः R स्वतुल्य नहीं है, सममित नहीं है, परंतु संक्रामक है।

हल: माना sin⁻¹ x = θ, तब x = sin θ

चूँकि x ∈ [-1/√2, 1/√2], इसलिए θ ∈ [-π/4, π/4]

अब, 2x√(1-x²) = 2 sin θ √(1 - sin² θ)

= 2 sin θ √(cos² θ)

= 2 sin θ |cos θ|

चूँकि θ ∈ [-π/4, π/4], cos θ ≥ 0, अतः |cos θ| = cos θ

= 2 sin θ cos θ = sin 2θ

इसलिए, sin⁻¹(2x√(1-x²)) = sin⁻¹(sin 2θ)

चूँकि θ ∈ [-π/4, π/4], 2θ ∈ [-π/2, π/2] जो sin⁻¹ का मुख्य मान परिसर है।

अतः sin⁻¹(sin 2θ) = 2θ = 2 sin⁻¹ x

अतः sin⁻¹(2x√(1-x²)) = 2 sin⁻¹ x सिद्ध हुआ।

हल / Solution:

दिया है: 3x + y = 5 ⇒ y = 5 - 3x

समीकरण |x| + |y| = 5 में रखने पर:

|x| + |5 - 3x| = 5

अब विभिन्न स्थितियों पर विचार करते हैं:

• स्थिति 1: x ≥ 0 और 5 - 3x ≥ 0 ⇒ x ≥ 0 और x ≤ 5/3 ⇒ 0 ≤ x ≤ 5/3
  तब x + (5 - 3x) = 5 ⇒ 5 - 2x = 5 ⇒ x = 0, तब y = 5
• स्थिति 2: x ≥ 0 और 5 - 3x < 0 ⇒ x > 5/3
  तब x - (5 - 3x) = 5 ⇒ 4x - 5 = 5 ⇒ 4x = 10 ⇒ x = 2.5, तब y = 5 - 7.5 = -2.5
• स्थिति 3: x < 0 और 5 - 3x ≥ 0 ⇒ 5 - 3x ≥ 0 हमेशा सत्य (क्योंकि x < 0)
  तब -x + (5 - 3x) = 5 ⇒ 5 - 4x = 5 ⇒ x = 0 (अमान्य, क्योंकि x < 0)
• स्थिति 4: x < 0 और 5 - 3x < 0 ⇒ x > 5/3 (असंभव, क्योंकि x < 0)

अतः हल हैं: (x, y) = (0, 5) और (2.5, -2.5)

हल / Solution:

त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ |x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)|

यहाँ (x₁, y₁) = (1, 0), (x₂, y₂) = (6, 0), (x₃, y₃) = (4, 3)

क्षेत्रफल = ½ |1(0 - 3) + 6(3 - 0) + 4(0 - 0)|

= ½ |(-3) + 18 + 0| = ½ × 15 = 7.5 वर्ग इकाई

हल / Solution:

dx/dθ = -sin θ + 2 sin 2θ = 2 sin 2θ - sin θ

dy/dθ = cos θ - 2 cos 2θ

dy/dx = (dy/dθ) / (dx/dθ) = (cos θ - 2 cos 2θ) / (2 sin 2θ - sin θ)

सरल करने पर: dy/dx = (cos θ - 2 cos 2θ) / (2 sin 2θ - sin θ)

हल / Solution:

y = sin⁻¹ x

dy/dx = 1/√(1 - x²)

d²y/dx² = d/dx [1/√(1 - x²)] = -½ (1 - x²)^(-3/2) × (-2x) = x/(1 - x²)^(3/2)

अब LHS = (1 - x²) × [x/(1 - x²)^(3/2)] - x × [1/√(1 - x²)]

= x/√(1 - x²) - x/√(1 - x²) = 0 = RHS

अतः सिद्ध हुआ।

हल / Solution:

f'(x) = 12x³ + 12x² - 24x = 12x(x² + x - 2) = 12x(x + 2)(x - 1)

f'(x) = 0 ⇒ x = 0, x = -2, x = 1

f''(x) = 36x² + 24x - 24

• x = -2 पर: f''(-2) = 36(4) - 48 - 24 = 144 - 72 = 72 > 0 ⇒ स्थानीय निम्नतम
  f(-2) = 3(16) + 4(-8) - 12(4) + 2 = 48 - 32 - 48 + 2 = -30
• x = 0 पर: f''(0) = -24 < 0 ⇒ स्थानीय उच्चतम
  f(0) = 2
• x = 1 पर: f''(1) = 36 + 24 - 24 = 36 > 0 ⇒ स्थानीय निम्नतम
  f(1) = 3 + 4 - 12 + 2 = -3

अतः स्थानीय उच्चतम मान = 2 (x = 0 पर), स्थानीय निम्नतम मान = -30 (x = -2 पर) और -3 (x = 1 पर)

हल / Solution:

वृत्त x² + y² = 4 ⇒ y = √(4 - x²) (प्रथम चतुर्थाश में)

अभीष्ट क्षेत्रफल = ∫₀² √(4 - x²) dx

= [x√(4 - x²)/2 + 2 sin⁻¹(x/2)]₀²

= [2√0/2 + 2 sin⁻¹(1)] - [0 + 2 sin⁻¹(0)]

= 2 × π/2 = π वर्ग इकाई

हल / Solution:

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = |a × b|

a × b = |i j k|

|3 1 4|

|1 -1 1|

= i(1×1 - 4×(-1)) - j(3×1 - 4×1) + k(3×(-1) - 1×1)

= i(1 + 4) - j(3 - 4) + k(-3 - 1)

= 5i + j - 4k

|a × b| = √(5² + 1² + (-4)²) = √(25 + 1 + 16) = √42

अतः क्षेत्रफल = √42 वर्ग इकाई

हल:

माना I = ∫ √(1 + x²) dx

हम जानते हैं कि ∫ √(a² + x²) dx = (x/2) √(a² + x²) + (a²/2) log |x + √(a² + x²)| + C

यहाँ a² = 1, अतः a = 1

I = (x/2) √(1 + x²) + (1/2) log |x + √(1 + x²)| + C

अतः अभीष्ट समाकलन: (x/2) √(1 + x²) + (1/2) log |x + √(1 + x²)| + C

हल:

माना I = ∫ 1/(x² + 9x + 8) dx

हर का गुणनखंड: x² + 9x + 8 = (x + 1)(x + 8)

अतः 1/(x² + 9x + 8) = 1/[(x + 1)(x + 8)]

आंशिक भिन्नों में वियोजन:

1/[(x + 1)(x + 8)] = A/(x + 1) + B/(x + 8)

⇒ 1 = A(x + 8) + B(x + 1)

x = -1 रखने पर: 1 = A(7) ⇒ A = 1/7

x = -8 रखने पर: 1 = B(-7) ⇒ B = -1/7

अतः I = ∫ [1/7(x + 1) - 1/7(x + 8)] dx

I = (1/7) ∫ [1/(x + 1) - 1/(x + 8)] dx

I = (1/7) [log |x + 1| - log |x + 8|] + C

I = (1/7) log |(x + 1)/(x + 8)| + C

अतः अभीष्ट समाकलन: (1/7) log |(x + 1)/(x + 8)| + C

हल:

दिया है: dy/dx = y/x

चर पृथक्करण विधि से:

dy/y = dx/x

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:

∫ dy/y = ∫ dx/x

log |y| = log |x| + log C

log |y| = log |Cx|

y = Cx

अतः व्यापक हल: y = Cx, जहाँ C स्वेच्छ अचर है।

हल:

दिया है: dy/dx + y cot x = 2x + x² cot x

यह एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ P = cot x, Q = 2x + x² cot x

समाकलन गुणांक (I.F.) = e^{∫ P dx} = e^{∫ cot x dx} = e^{log |sin x|} = sin x

अतः व्यापक हल:

y · sin x = ∫ (2x + x² cot x) · sin x dx + C

y sin x = ∫ (2x sin x + x² cot x sin x) dx + C

y sin x = ∫ (2x sin x + x² cos x) dx + C

अब, ∫ (2x sin x + x² cos x) dx = ∫ d(x² sin x) = x² sin x

(क्योंकि d(x² sin x)/dx = 2x sin x + x² cos x)

अतः y sin x = x² sin x + C

⇒ y = x² + C cosec x

दिया है: y = 0 जब x = π/2

0 = (π/2)² + C · 1

⇒ C = -π²/4

अतः विशिष्ट हल: y = x² - (π²/4) cosec x

हल: माना पहली रेखा की दिक्-कोसाइन \(l_1 = \frac{2}{3}, m_1 = -\frac{1}{3}, n_1 = -\frac{2}{3}\)

दूसरी रेखा की दिक्-कोसाइन \(l_2 = \frac{1}{3}, m_2 = \frac{2}{3}, n_2 = -\frac{2}{3}\)

तीसरी रेखा की दिक्-कोसाइन \(l_3 = \frac{2}{3}, m_3 = -\frac{2}{3}, n_3 = \frac{1}{3}\)

पहली और दूसरी रेखा के लिए लम्बवत् होने की शर्त: \(l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0\)

\(= \left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{1}{3}\right) + \left(-\frac{1}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right) + \left(-\frac{2}{3}\right)\left(-\frac{2}{3}\right)\)

\(= \frac{2}{9} - \frac{2}{9} + \frac{4}{9} = \frac{4}{9} \neq 0\)

पहली और तीसरी रेखा के लिए: \(l_1 l_3 + m_1 m_3 + n_1 n_3\)

\(= \left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right) + \left(-\frac{1}{3}\right)\left(-\frac{2}{3}\right) + \left(-\frac{2}{3}\right)\left(\frac{1}{3}\right)\)

\(= \frac{4}{9} + \frac{2}{9} - \frac{2}{9} = \frac{4}{9} \neq 0\)

दूसरी और तीसरी रेखा के लिए: \(l_2 l_3 + m_2 m_3 + n_2 n_3\)

\(= \left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right) + \left(\frac{2}{3}\right)\left(-\frac{2}{3}\right) + \left(-\frac{2}{3}\right)\left(\frac{1}{3}\right)\)

\(= \frac{2}{9} - \frac{4}{9} - \frac{2}{9} = -\frac{4}{9} \neq 0\)

चूँकि कोई भी दो रेखाओं के दिक्-कोसाइनों का योग शून्य नहीं है, अतः ये रेखाएँ परस्पर लम्बवत् नहीं हैं।

नोट: प्रश्न में दिए गए दिक्-कोसाइनों की जाँच करने पर पता चलता है कि ये रेखाएँ परस्पर लम्बवत् नहीं हैं।

हल: दिया है, बिन्दु का स्थिति सदिश \(\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}\)

रेखा की दिशा का सदिश \(\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}\)

सदिश रूप में समीकरण: \(\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}\)

\(\vec{r} = (2\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})\)

कार्तीय रूप में समीकरण: माना बिन्दु के निर्देशांक (x, y, z) हैं।

\(\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}\)

जहाँ (x₁, y₁, z₁) = (2, -1, 4) और (a, b, c) = (1, 2, -1)

अतः कार्तीय समीकरण: \(\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 4}{-1}\)

हल: दो पाँसे फेंकने पर कुल संभावित परिणाम = 6 × 6 = 36

माना घटना A: दोनों संख्याएँ भिन्न हैं।

घटना B: दोनों संख्याओं का योग 4 है।

हमें P(B|A) ज्ञात करना है।

घटना A के अनुकूल परिणाम = कुल परिणाम - समान संख्याओं वाले परिणाम

= 36 - 6 = 30

घटना A ∩ B: दोनों संख्याएँ भिन्न हैं और उनका योग 4 है।

संभावित युग्म: (1,3), (3,1), (2,2) लेकिन (2,2) में संख्याएँ समान हैं, अतः इसे छोड़ देंगे।

अतः अनुकूल परिणाम = (1,3) और (3,1) = 2

P(A ∩ B) = \(\frac{2}{36}\)

P(A) = \(\frac{30}{36}\)

P(B|A) = \(\frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{2/36}{30/36} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}\)

अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac{1}{15}\)

हल: पाँसे को एक बार उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

n(S) = 6

घटना E: संख्या 3 का गुणज है = {3, 6}

n(E) = 2, P(E) = \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)

घटना F: संख्या सम है = {2, 4, 6}

n(F) = 3, P(F) = \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)

घटना E ∩ F: संख्या 3 का गुणज और सम है = {6}

n(E ∩ F) = 1, P(E ∩ F) = \(\frac{1}{6}\)

स्वतंत्र घटनाओं के लिए शर्त: P(E ∩ F) = P(E) × P(F)

P(E) × P(F) = \(\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}\)

चूँकि P(E ∩ F) = \(\frac{1}{6}\) = P(E) × P(F)

अतः घटनाएँ E और F स्वतंत्र हैं।

हल (Solution):

चरण 1: असमिकाओं को समीकरणों में बदलें और सुसंगत क्षेत्र ज्ञात करें।

• x + y = 50 ⇒ बिंदु: (0, 50) और (50, 0)
• 3x + y = 90 ⇒ बिंदु: (0, 90) और (30, 0)

चरण 2: प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात करें:

x + y = 50 और 3x + y = 90 को हल करने पर:

(3x + y) - (x + y) = 90 - 50 ⇒ 2x = 40 ⇒ x = 20

y = 50 - 20 = 30

प्रतिच्छेद बिंदु: (20, 30)

चरण 3: सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु (Corner points):

• O(0, 0)
• A(30, 0) (x-अक्ष पर 3x + y = 90 से)
• B(20, 30) (प्रतिच्छेद बिंदु)
• C(0, 50) (y-अक्ष पर x + y = 50 से)

चरण 4: प्रत्येक कोणीय बिंदु पर z = 4x + y का मान ज्ञात करें:

• O(0, 0): z = 4(0) + 0 = 0
• A(30, 0): z = 4(30) + 0 = 120
• B(20, 30): z = 4(20) + 30 = 80 + 30 = 110
• C(0, 50): z = 4(0) + 50 = 50

चरण 5: अधिकतम मान:

z का अधिकतम मान 120 है, जो बिंदु A(30, 0) पर प्राप्त होता है।

अतः, z का अधिकतम मान = 120, बिंदु (30, 0) पर।

Hence, the maximum value of z is 120 at the point (30, 0).

हल (Solution):

चरण 1: असमिकाओं को समीकरणों में बदलें और सुसंगत क्षेत्र ज्ञात करें।

• x + 2y = 10 ⇒ बिंदु: (0, 5) और (10, 0)
• 3x + 4y = 24 ⇒ बिंदु: (0, 6) और (8, 0)

चरण 2: प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात करें:

x + 2y = 10 और 3x + 4y = 24 को हल करने पर:

पहले समीकरण को 2 से गुणा करें: 2x + 4y = 20

दूसरे से घटाएं: (3x + 4y) - (2x + 4y) = 24 - 20 ⇒ x = 4

y = (10 - 4)/2 = 3

प्रतिच्छेद बिंदु: (4, 3)

चरण 3: सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु (Corner points):

• A(0, 5) (y-अक्ष पर x + 2y = 10 से)
• B(4, 3) (प्रतिच्छेद बिंदु)
• C(8, 0) (x-अक्ष पर 3x + 4y = 24 से)
• D(10, 0) (x-अक्ष पर x + 2y = 10 से, लेकिन यह 3x + 4y ≤ 24 को संतुष्ट नहीं करता, इसलिए सुसंगत नहीं)

सही कोणीय बिंदु: A(0, 5), B(4, 3), C(8, 0)

चरण 4: प्रत्येक कोणीय बिंदु पर z = 200x + 500y का मान ज्ञात करें:

• A(0, 5): z = 200(0) + 500(5) = 0 + 2500 = 2500
• B(4, 3): z = 200(4) + 500(3) = 800 + 1500 = 2300
• C(8, 0): z = 200(8) + 500(0) = 1600 + 0 = 1600

चरण 5: न्यूनतम मान:

z का न्यूनतम मान 1600 है, जो बिंदु C(8, 0) पर प्राप्त होता है।

अतः, z का न्यूनतम मान = 1600, बिंदु (8, 0) पर।

Hence, the minimum value of z is 1600 at the point (8, 0).