RBSE Class 9th 2024 Mathematics-2024 Previous Year Papers
You opened the RBSE Class 9th 2024 Mathematics-2024 Previous Year Papers page — a focused place to read the real previous year question paper for that subject and year. RBSE Solution keeps exam-year sets together so you can practise the same cycle your seniors faced.
Previous year papers reward patience: read instructions, note mark distribution, then attempt questions before peeking at solutions elsewhere on the site. This URL always loads the same free previous year papers content for Mathematics-2024 (2024).
Use the details table to confirm class and year, then scroll to the paper images or PDF below. More subjects from 2024 are linked later on this page.
Paper details
Quick reference for this previous year papers page — confirm board, class, and year & subject before you study.
| Board | RBSE |
|---|---|
| Class | Class 9th |
| Exam year | 2024 |
| Subject | Mathematics-2024 |
| Resource type | Previous Year Papers |
| Category | RBSE Previous Year Question Papers |
| Website | RBSE Solution |
The table summarises this Previous Year Papers resource. Confirm RBSE, Class 9th, year 2024, and subject Mathematics-2024 before studying.
RBSE Solution organises previous year papers so each URL carries chapter-specific guidance — better for students and for search engines than one generic paragraph for the whole class.
How to practise with this question paper
Stage one: read the Mathematics-2024 question paper from 2024 without a timer and highlight command words — explain, prove, calculate, discuss. Stage two: attempt selected questions closed-book. Stage three: compare with solutions or teacher feedback.
Previous Year Papers work best when you log mistakes by topic, not only by question number. That log becomes your revision index before pre-boards.
RBSE Class 9th 2024 Mathematics-2024
Scroll through the Previous Year Papers pages for Mathematics-2024 (2024).
Rajasthan Board Class 9th Mathematics-2024 2024 solved Previous Year Question Papers
वार्षिक परीक्षा - 2023-24
विषय- गणित (Mathematics)
समय : 3.5 घण्टे कक्षा : IX पूर्णांक : 80
निर्देश:
- सभी प्रश्न करने अनिवार्य हैं। (All the questions are compulsory.)
- प्रश्नों के उत्तर दी गई उत्तर-पुस्तिका में ही अंकित करें। (Write the answers to the questions only in the answer sheet provided.)
खण्ड - अ (Section - A)
बहुविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)
(i) निम्न में से अपरिमेय संख्या है-
Which of the following is an irrational number?
- √2
- √4
- √6
- √9
सही उत्तर: (a) √2
स्पष्टीकरण: √2 = 1.414... एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि इसे p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता। √4 = 2, √9 = 3 परिमेय संख्याएँ हैं।
(ii) (64)1/2 का मान है-
The value of (64)1/2 is-
- 3
- 4
- 8
- 6
सही उत्तर: (c) 8
स्पष्टीकरण: (64)1/2 = √64 = 8
(iii) बहुपद 5x3 - 4x2 + 7x की घात है-
Power of polynomial 5x3 - 4x2 + 7x is-
- 2
- 1
- 3
- 4
सही उत्तर: (c) 3
स्पष्टीकरण: बहुपद की घात सबसे बड़े घातांक वाले पद की घात होती है। यहाँ 5x3 की घात 3 है।
(iv) बिन्दु (4, 6) की X-अक्ष से दूरी होगी-
The distance of a point (4, 6) from X-axis will be-
- 3
- 4
- 6
- 0
सही उत्तर: (c) 6
स्पष्टीकरण: X-अक्ष से दूरी y-निर्देशांक के बराबर होती है। यहाँ y = 6 है।
(v) एक दिए गए बिन्दु से कितनी रेखाएँ गुजर सकती हैं?
How many lines can pass through a given point?
- 1
- 2
- 3
- अनंत (Infinite)
सही उत्तर: (d) अनंत
स्पष्टीकरण: एक बिन्दु से अनंत रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
(vi) समकोण का मान होता है-
What is the measure of right angle?
- 90°
- 60°
- 80°
- 100°
सही उत्तर: (a) 90°
स्पष्टीकरण: समकोण का माप 90° होता है।
(vii) निम्न में कौन कोण युग्म पूरक नहीं है?
The following does not have a complementary angle pair-
- 60°, 30°
- 56°, 34°
- 45°, 45°
- 90°, 120°
सही उत्तर: (d) 90°, 120°
स्पष्टीकरण: पूरक कोणों का योग 90° होता है। 90° + 120° = 210° ≠ 90°
(viii) चित्र में, ∠A का मान होगा, यदि AB = BC एवं ∠B = 70°
In the figure, the value of ∠A will be, if AB = BC and ∠B = 70°
- 70°
- 40°
- 55°
- 60°
सही उत्तर: (c) 55°
स्पष्टीकरण: AB = BC, अतः ∠A = ∠C (समद्विबाहु त्रिभुज)। त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है। ∠A + ∠B + ∠C = 180° ⇒ 2∠A + 70° = 180° ⇒ 2∠A = 110° ⇒ ∠A = 55°
(ix) 'r' त्रिज्या वाले गोले का आयतन है-
The volume of a sphere of radius 'r' is-
- (4/3)πr3
- (4/3)πr2
- πr2h
- (1/3)πr2h
सही उत्तर: (a) (4/3)πr3
स्पष्टीकरण: गोले का आयतन = (4/3)πr3
(x) 8, 3, 7, 0, 5, 6, 14, 9, 24, 25 का परिसर है-
The range of 8, 3, 7, 0, 5, 6, 14, 9, 24, 25 is-
- 22
- 17
- 25
- 14
सही उत्तर: (c) 25
स्पष्टीकरण: परिसर = अधिकतम मान - न्यूनतम मान = 25 - 0 = 25
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए (Fill in the blanks)
(i) दो सम्पूरक कोण युग्म का माप 180° होता है।
The measure of a pair of supplementary angles is 180°.
खण्ड - अ (Section – A)
-
त्रिभुज का अर्द्ध परिमाप s होता है।
The half perimeter of a triangle is s. -
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल πrl होता है।
Curved surface area of cone is πrl. -
किसी त्रिभुज के अन्तः कोणों का योग 180° होता है।
The sum of all the interior angles of a triangle is 180°. -
द्विघात वाले बहुपद को द्विघात बहुपद कहते हैं।
A polynomial of degree two is called quadratic polynomial. -
बहुपद x – 5 का शून्यक ज्ञात कीजिए।
Find the zero of polynomial x – 5.हल: x – 5 = 0 ⇒ x = 5
Solution: x – 5 = 0 ⇒ x = 5 -
त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का हीरोन सूत्र लिखो।
Write the Heron's formula to find the area of the triangle.हल: त्रिभुज का क्षेत्रफल = √[s(s – a)(s – b)(s – c)], जहाँ s = (a + b + c)/2 है।
Solution: Area of triangle = √[s(s – a)(s – b)(s – c)], where s = (a + b + c)/2. -
मूल बिन्दु के निर्देशांक लिखिए।
Write the co-ordinate of the origin.हल: (0, 0)
Solution: (0, 0) -
बिन्दु (6, 7) की कोटि लिखिए।
Write the ordinate of point (6, 7).हल: 7
Solution: 7 -
अर्द्धवृत्त में बने कोण का माप कितना होता है?
What is the measurement of an angle in a semi-circle?हल: 90°
Solution: 90° -
अर्द्धगोले का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र लिखिए।
Write the formula of total surface area of hemisphere.हल: 3πr²
Solution: 3πr² -
यदि दो आसन्न कोणों का योग 180° हो तो वे क्या बनाते हैं?
If two adjacent angles’ sum is 180° then what do they form?हल: रैखिक युग्म (Linear pair)
Solution: Linear pair -
समचतुर्भुज किसे कहते हैं?
What is called rhombus?हल: समचतुर्भुज एक ऐसा चतुर्भुज है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।
Solution: A rhombus is a quadrilateral with all sides equal. -
यूक्लिड ने सांत रेखा किसे कहा था?
What did Euclid call a finite line?हल: रेखाखण्ड (Line segment)
Solution: Line segment -
समीकरण 4x + 5y = K में यदि x = 0 तथा y = 1 हो तो K का मान ज्ञात कीजिए।
In the equation 4x + 5y = K, if x = 0 and y = 1, then find the value of K.हल: 4(0) + 5(1) = K ⇒ 0 + 5 = K ⇒ K = 5
Solution: 4(0) + 5(1) = K ⇒ 0 + 5 = K ⇒ K = 5
खण्ड - ब (Section – B)
-
1/(√3 – √2) के हर का परिमेयकरण कीजिए।
Rationalise the denominator of 1/(√3 – √2).हल: 1/(√3 – √2) = [1 × (√3 + √2)] / [(√3 – √2)(√3 + √2)] = (√3 + √2) / (3 – 2) = √3 + √2
Solution: 1/(√3 – √2) = [1 × (√3 + √2)] / [(√3 – √2)(√3 + √2)] = (√3 + √2) / (3 – 2) = √3 + √2 -
गुणनखण्ड कीजिए — 4y² – 4y + 1
Factorise — 4y² – 4y + 1हल: 4y² – 4y + 1 = (2y)² – 2(2y)(1) + 1² = (2y – 1)²
Solution: 4y² – 4y + 1 = (2y)² – 2(2y)(1) + 1² = (2y – 1)² -
बिन्दु कौनसे चतुर्थांश में स्थित हैं?
In which quadrant the below points will be located?- (a) (3, 5) — प्रथम चतुर्थांश (First quadrant)
- (b) (–1, 3) — द्वितीय चतुर्थांश (Second quadrant)
- (c) (–2, –4) — तृतीय चतुर्थांश (Third quadrant)
- (d) (3, –4) — चतुर्थ चतुर्थांश (Fourth quadrant)
-
14 सेमी त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Find the surface area of sphere of radius 14 cm.हल: गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr² = 4 × (22/7) × 14 × 14 = 4 × 22 × 2 × 14 = 2464 वर्ग सेमी
Solution: Surface area of sphere = 4πr² = 4 × (22/7) × 14 × 14 = 4 × 22 × 2 × 14 = 2464 cm² -
बहुपद 5x² – 3x + 7 में x = 2 रखने पर मान ज्ञात करो।
Find the value of polynomial 5x² – 3x + 7 at x = 2.हल: 5(2)² – 3(2) + 7 = 5(4) – 6 + 7 = 20 – 6 + 7 = 21
Solution: 5(2)² – 3(2) + 7 = 5(4) – 6 + 7 = 20 – 6 + 7 = 21 -
उस समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी एक भुजा 6 सेमी हो।
Find the area of the equilateral triangle whose side is 6 cm.हल: समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = (√3/4) × भुजा² = (√3/4) × 6² = (√3/4) × 36 = 9√3 वर्ग सेमी
Solution: Area of equilateral triangle = (√3/4) × side² = (√3/4) × 6² = (√3/4) × 36 = 9√3 cm² -
एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 12 : 17 : 25 है और उसका परिमाप 540 सेमी है। त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Find the area of triangle whose sides ratio are 12 : 17 : 25 and whose perimeter is 540 cm.हल: माना भुजाएँ 12x, 17x और 25x हैं।
परिमाप = 12x + 17x + 25x = 54x = 540 ⇒ x = 10
भुजाएँ: a = 120 सेमी, b = 170 सेमी, c = 250 सेमी
अर्द्धपरिमाप s = 540/2 = 270 सेमी
हीरोन सूत्र से क्षेत्रफल = √[s(s – a)(s – b)(s – c)] = √[270(270 – 120)(270 – 170)(270 – 250)]
= √[270 × 150 × 100 × 20] = √(270 × 150 × 2000) = √(81,00,00,000) = 9000 वर्ग सेमी
Solution: Let sides be 12x, 17x, 25x.
Perimeter = 12x + 17x + 25x = 54x = 540 ⇒ x = 10
Sides: a = 120 cm, b = 170 cm, c = 250 cm
Semi-perimeter s = 540/2 = 270 cm
By Heron's formula, area = √[s(s – a)(s – b)(s – c)] = √[270(270 – 120)(270 – 170)(270 – 250)]
= √[270 × 150 × 100 × 20] = √(270 × 150 × 2000) = √(81,00,00,000) = 9000 cm²
खण्ड - सी (Section - C)
प्रश्न 4.
आकृति में, यदि AB = AC हो तो ∠C का मान ज्ञात करो।
In diagram, if AB = AC then find the value of ∠C.
हल: चूँकि AB = AC, इसलिए त्रिभुज ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है। समद्विबाहु त्रिभुज में बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
अतः ∠B = ∠C
यदि ∠B = 69° दिया गया है, तो ∠C = 69° होगा।
उत्तर: ∠C = 69°
प्रश्न 5.
आकृति में, यदि AB || CD, ∠APQ = 50° और ∠PRD = 127° हैं, तो x और y ज्ञात कीजिए।
In the figure, if AB || CD, ∠APQ = 50° and ∠PRD = 127°, then find x and y.
हल: चूँकि AB || CD, इसलिए ∠APQ = ∠PQR (एकान्तर कोण)
अतः x = ∠PQR = ∠APQ = 50°
अब, ∠PRD = 127° है। ∠PRD + ∠PRQ = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ 127° + y = 180°
⇒ y = 180° - 127° = 53°
उत्तर: x = 50°, y = 53°
प्रश्न 6.
एक रेखाखण्ड AB पर AD और BC दो बराबर लम्ब रेखाखण्ड हैं। सिद्ध कीजिए कि CD, रेखाखण्ड AB को समद्विभाजित करता है।
AD and BC are two equal perpendicular line segments on a line segment AB. Show that CD bisects the line segment AB.
हल: माना AD और BC, AB पर लम्ब हैं तथा AD = BC है।
त्रिभुज AOD और त्रिभुज BOC में:
- ∠OAD = ∠OBC = 90° (दिया है)
- AD = BC (दिया है)
- ∠AOD = ∠BOC (शीर्षाभिमुख कोण)
अतः ASA सर्वांगसमता नियम से, ΔAOD ≅ ΔBOC
इसलिए, AO = OB (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
अतः CD, AB को समद्विभाजित करता है।
प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
Prove that the opposite angles of a parallelogram are equal.
हल: माना ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसमें AB || CD और AD || BC है।
विकर्ण AC खींचिए।
त्रिभुज ABC और त्रिभुज CDA में:
- ∠BAC = ∠DCA (एकान्तर कोण, AB || CD)
- ∠BCA = ∠DAC (एकान्तर कोण, AD || BC)
- AC = AC (उभयनिष्ठ)
अतः ASA सर्वांगसमता नियम से, ΔABC ≅ ΔCDA
इसलिए, ∠B = ∠D (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
इसी प्रकार, ∠A = ∠C सिद्ध किया जा सकता है।
अतः समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
प्रश्न 8.
सिद्ध कीजिए कि चक्रीय समान्तर चतुर्भुज आयत होता है।
Prove that a cyclic parallelogram is a rectangle.
हल: माना ABCD एक चक्रीय समान्तर चतुर्भुज है।
समान्तर चतुर्भुज में सम्मुख कोण बराबर होते हैं, अतः ∠A = ∠C और ∠B = ∠D
चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग 180° होता है, अतः ∠A + ∠C = 180°
⇒ ∠A + ∠A = 180° (∵ ∠A = ∠C)
⇒ 2∠A = 180°
⇒ ∠A = 90°
इसी प्रकार, ∠B = ∠D = 90°
अतः चक्रीय समान्तर चतुर्भुज का प्रत्येक कोण 90° है, इसलिए यह एक आयत है।
प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx)
Prove that x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx)
हल: दायाँ पक्ष = (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx)
= x(x² + y² + z² - xy - yz - zx) + y(x² + y² + z² - xy - yz - zx) + z(x² + y² + z² - xy - yz - zx)
= x³ + xy² + xz² - x²y - xyz - x²z + x²y + y³ + yz² - xy² - y²z - xyz + x²z + y²z + z³ - xyz - yz² - xz²
= x³ + y³ + z³ - 3xyz
अतः सिद्ध हुआ।
प्रश्न 10.
पीतल से बने एक अर्धगोलाकार कटोरे का आन्तरिक व्यास 0.8 मीटर है। 16 रुपये प्रति 100 सेमी² की दर से इसके आन्तरिक पृष्ठ पर कलई कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
The internal diameter of a hemispherical bowl is 0.8 m. Find the cost of galvanizing its inner surface at the rate of Rs 16 per 100 cm².
हल: आन्तरिक व्यास = 0.8 मीटर = 80 सेमी
आन्तरिक त्रिज्या (r) = 80/2 = 40 सेमी
अर्धगोले का आन्तरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr²
= 2 × 3.14 × 40 × 40
= 2 × 3.14 × 1600
= 10048 सेमी²
कलई की दर = 16 रुपये प्रति 100 सेमी²
कुल व्यय = (10048/100) × 16
= 100.48 × 16
= 1607.68 रुपये
उत्तर: कुल व्यय = 1607.68 रुपये
प्रश्न 11.
किस चतुर्थांश में या किस अक्ष पर बिन्दु (-2, 4), (3, -1), (0, 2) और (-3, -3) स्थित हैं? कार्तीय तल पर इनका स्थान निर्धारण करके अपने उत्तर को सत्यापित कीजिए।
In which quadrant or on which axis do the points (-2, 4), (3, -1), (0, 2) and (-3, -3) lie? Verify your answer by locating them on the cartesian plane.
हल:
- बिन्दु (-2, 4): x ऋणात्मक, y धनात्मक → द्वितीय चतुर्थांश
- बिन्दु (3, -1): x धनात्मक, y ऋणात्मक → चतुर्थ चतुर्थांश
- बिन्दु (0, 2): x = 0 → y-अक्ष पर
- बिन्दु (-3, -3): x ऋणात्मक, y ऋणात्मक → तृतीय चतुर्थांश
कार्तीय तल पर इन बिन्दुओं को अंकित करके सत्यापित किया जा सकता है।
प्रश्न 12.
ABCD एक समचतुर्भुज है और P, Q, R, S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD, DA के मध्य बिन्दु हैं। दर्शाइए कि चतुर्भुज PQRS एक आयत है।
ABCD is a rhombus and P, Q, R, S are the mid-points of sides AB, BC, CD and DA respectively. Show that quadrilateral PQRS is a rectangle.
हल: समचतुर्भुज ABCD में, P, Q, R, S क्रमशः AB, BC, CD, DA के मध्य बिन्दु हैं।
मध्य बिन्दु प्रमेय से, त्रिभुज ABC में, PQ || AC और PQ = ½ AC
इसी प्रकार, त्रिभुज ADC में, SR || AC और SR = ½ AC
अतः PQ || SR और PQ = SR
इसी प्रकार, PS || QR और PS = QR
अतः PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है।
अब, चूँकि ABCD एक समचतुर्भुज है, इसके विकर्ण AC और BD परस्पर लम्ब होते हैं।
PQ || AC और PS || BD, इसलिए PQ ⟂ PS
अतः समान्तर चतुर्भुज PQRS का एक कोण 90° है, इसलिए PQRS एक आयत है।
खण्ड - द (Section - D)
प्रश्न 23.
यदि \( x + \frac{1}{x} = 5 \) है, तो \( x^4 + \frac{1}{x^4} \) का मान ज्ञात कीजिए।
If \( x + \frac{1}{x} = 5 \), then find the value of \( x^4 + \frac{1}{x^4} \).
हल (Solution):
दिया है: \( x + \frac{1}{x} = 5 \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\( \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = 5^2 \)
\( x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 25 \)
\( x^2 + \frac{1}{x^2} = 23 \)
पुनः दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\( \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)^2 = 23^2 \)
\( x^4 + 2 + \frac{1}{x^4} = 529 \)
\( x^4 + \frac{1}{x^4} = 527 \)
अतः अभीष्ट मान 527 है।
प्रश्न 24.
सिद्ध कीजिए कि एक ही वृत्त खण्ड में स्थित कोण समान होते हैं।
Prove that the angles in the same segment of a circle are equal.
हल (Solution):
माना O वृत्त का केंद्र है। वृत्त के एक ही खण्ड APB में स्थित ∠ACB और ∠ADB दो कोण हैं।
चाप AB द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण ∠AOB है।
हम जानते हैं कि किसी चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, वृत्त के शेष भाग पर स्थित किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दुगुना होता है।
∴ ∠AOB = 2∠ACB और ∠AOB = 2∠ADB
अतः 2∠ACB = 2∠ADB ⇒ ∠ACB = ∠ADB
इस प्रकार, एक ही वृत्त खण्ड में स्थित कोण समान होते हैं। (सिद्ध)
अथवा (OR)
यदि किसी वृत्त की दो जीवाओं द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण बराबर हों, तो सिद्ध कीजिए कि वे जीवाएँ बराबर होती हैं।
If the angle subtended at the center by two chords of a circle is equal, then prove that those chords are equal.
हल (Solution):
माना O वृत्त का केंद्र है। AB और CD दो जीवाएँ हैं जिनके द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण क्रमशः ∠AOB और ∠COD हैं।
दिया है: ∠AOB = ∠COD
त्रिभुज AOB और त्रिभुज COD में:
- OA = OC (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
- OB = OD (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
- ∠AOB = ∠COD (दिया है)
SAS सर्वांगसमता नियम से, ΔAOB ≅ ΔCOD
अतः AB = CD (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
इस प्रकार, यदि केंद्र पर अंतरित कोण बराबर हों, तो जीवाएँ बराबर होती हैं। (सिद्ध)
प्रश्न 25.
ABC और DBC समान आधार BC पर स्थित दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं। दर्शाइए कि ∠ABD = ∠ACD.
ABC and DBC are two isosceles triangles on the same base BC. Show that ∠ABD = ∠ACD.
हल (Solution):
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है।
DBC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें DB = DC है।
त्रिभुज ABD और त्रिभुज ACD में:
- AB = AC (दिया है)
- BD = CD (दिया है)
- AD = AD (उभयनिष्ठ भुजा)
SSS सर्वांगसमता नियम से, ΔABD ≅ ΔACD
अतः ∠ABD = ∠ACD (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत कोण)
इस प्रकार, ∠ABD = ∠ACD सिद्ध होता है।
अथवा (OR)
दर्शाइए कि किसी समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° होता है।
Show that each angle of an equilateral triangle is 60°.
हल (Solution):
माना ABC एक समबाहु त्रिभुज है। अतः AB = BC = CA
चूँकि AB = BC, इसलिए ∠C = ∠A (समान भुजाओं के सम्मुख कोण) ...(1)
चूँकि BC = CA, इसलिए ∠A = ∠B (समान भुजाओं के सम्मुख कोण) ...(2)
(1) और (2) से, ∠A = ∠B = ∠C
त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है:
∠A + ∠B + ∠C = 180°
3∠A = 180°
∠A = 60°
अतः ∠A = ∠B = ∠C = 60°
इस प्रकार, समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° होता है। (सिद्ध)
प्रश्न 26.
दवाई का एक कैप्सूल 3.5 मिमी व्यास का एक गोला है। इस कैप्सूल को भरने के लिए कितनी दवाई (मिमी³) की आवश्यकता होगी?
A capsule of medicine is a sphere of 3.5 mm diameter. How much medicine (mm³) will be required to fill this capsule?
हल (Solution):
दिया है: गोले का व्यास = 3.5 मिमी
गोले की त्रिज्या (r) = व्यास/2 = 3.5/2 = 1.75 मिमी
गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\pi r^3\)
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (1.75)^3\)
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 5.359375\)
= \(\frac{4 \times 22 \times 5.359375}{3 \times 7}\)
= \(\frac{471.625}{21}\)
= 22.458 मिमी³ (लगभग)
अतः कैप्सूल को भरने के लिए लगभग 22.46 मिमी³ दवाई की आवश्यकता होगी।
अथवा (OR)
व्यास 0.5 सेमी वाले एक अर्द्धगोलाकार कटोरे में कितने लीटर दूध आ सकता है?
How many liters of milk can be held in a hemispherical bowl of diameter 0.5 cm?
हल (Solution):
दिया है: अर्द्धगोले का व्यास = 0.5 सेमी
अर्द्धगोले की त्रिज्या (r) = 0.5/2 = 0.25 सेमी
अर्द्धगोले का आयतन = \(\frac{2}{3}\pi r^3\)
= \(\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (0.25)^3\)
= \(\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 0.015625\)
= \(\frac{2 \times 22 \times 0.015625}{3 \times 7}\)
= \(\frac{0.6875}{21}\)
= 0.032738 सेमी³ (लगभग)
चूँकि 1 लीटर = 1000 सेमी³,
अतः लीटर में दूध = 0.032738 / 1000 = 0.000032738 लीटर
अतः कटोरे में लगभग 0.000033 लीटर दूध आ सकता है।
प्रश्न 27.
एक पार्क में खेल रहे विभिन्न आयु वर्गों के बच्चों की संख्या का एक यादृच्छिक सर्वेक्षण करने पर निम्नलिखित आंकड़े प्राप्त हुए:
On conducting a random survey of the number of children of different age groups playing in a park, the following data was obtained:
| आयु (वर्षों में) / Age (in years) | बच्चों की संख्या / Number of children |
|---|---|
| 1-2 | 5 |
| 2-3 | 3 |
| 3-5 | 6 |
| 5-7 | 12 |
| 7-10 | 9 |
| 10-15 | 10 |
| 15-17 | 4 |
दिए गए आंकड़ों का आयतचित्र (हिस्टोग्राम) खींचिए।